§5微积分实际应用举例 微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积S的步骤:对区间[a,b作划分 a=x 0 <x1<x<…< 2 x=b 然后在小区间[x,x]中任取点,并记Ax,=x1-x21,这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值AS,≈f(5,)Ax,。最后,将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加,再取极限,就得到 S=m∑/(5A=Jf(x)dx
微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积S 的步骤：对区间[a, b]作划分 a = x0 x1 x2 xn = b， 然后在小区间[ , ] i 1 i x x − 中任取点 i ，并记 i = i − i−1 x x x ，这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值 i i i S f ( )x 。最后，将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加，再取极限，就得到 = → = n i i i S f x 1 0 lim ( ) ( )d b a = f x x 。 §5 微积分实际应用举例
对于上述步骤,我们可以换一个角度来看:将分点x1和x,分别记 为x和x+Ax,将区间[x,x+Ax上的小曲边梯形的面积记为AS,并取 =x,于是就有ΔS≈f(x)Ax。然后令Ax→>0,这相当于对自变量作微 分,这样Ax变成dx,AS变成dS,于是上面的近似等式就变为微分形 式下的严格等式dS=f(x)dx。最后,把对小曲边梯形面积的近似值进 行相加,再取极限的过程视作对微分形式dS=f(x)dx在区间[a,b上求 定积分,就得到 S=Sf(dx
对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点 xi−1 和 xi 分别记 为 x 和 x + x ，将区间[x, x + x]上的小曲边梯形的面积记为S ，并取 x i = ，于是就有S f (x)x 。然后令x → 0，这相当于对自变量作微 分，这样x 变成dx，S 变成dS ，于是上面的近似等式就变为微分形 式下的严格等式d ( )d S f x x = 。最后，把对小曲边梯形面积的近似值进 行相加，再取极限的过程视作对微分形式d ( )d S f x x = 在区间[a, b]上求 定积分，就得到 ( )d b a S f x x =
根据上面的理解,在解决实际问题时,我们可以简捷地按照以下 的步骤 自变量 科学 转为 直接 分割 x x+△x]-概 健>△S≈f(x△x-做ydS=f(x)dxS=[f(x)dx 来直接求解 了解了方法的实质以后,上述过程还可以进一步简化:即一开始 就将小区间形式地取为[x,x+dx](dx称为x的微元),然后根据实际 题得出微分形式dS=∫(x)dx(dS称为S的微元),再在区间[ab上求积 分。也就是 dx一→)dS=fx)dx>S=Jf(x)dx 这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非 常方便,在解决实际问题中应用得极为广泛,如§4中计算曲线的弧长、 几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导出, 下面我们举一些其他类型的例子
根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以简捷地按照以下 的步骤 ⎯⎯⎯→[x, x + x]⎯ ⎯→S f (x)x 规律 科学 分割 自变量 d ( )d ( )d b a ⎯⎯⎯→ = ⎯⎯⎯→ = S f x x S f x x 转为 直接 微分 积分 来直接求解。 了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步简化：即一开始 就将小区间形式地取为[ , d ] x x x + （dx称为x的微元），然后根据实际问 题得出微分形式d ( )d S f x x = （dS 称为S 的微元），再在区间[a,b]上求积 分。也就是 d d ( )d ( )d b a x S f x x S f x x ⎯⎯→ = ⎯⎯→ = 。 这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非 常方便，在解决实际问题中应用得极为广泛，如§4 中计算曲线的弧长、 几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导出， 下面我们举一些其他类型的例子
由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为1的直线段上分布着 某种物理量(如质量、热量、电荷量等等),将其平放在x轴的正半 轴上,使它的一头与原点重合,若它在x处的密度(称为线密度)可 由某个连续的分布函数o(x)表示(x∈[0,1]),由微元法,它在[x,x+dx 上的物理量dO为 do=p(x)dx, 对等式两边在[0,1上积分,就得到由分布函数求总量的公式 0=p(x)dx
由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为l 的直线段上分布着 某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在 x 轴的正半 轴上，使它的一头与原点重合，若它在 x 处的密度（称为线密度）可 由某个连续的分布函数 ( ) x 表示( x [0,l ])，由微元法，它在[ , d ] x x x + 上的物理量dQ 为 d ( )d Q x x = ， 对等式两边在[0, l ]上积分，就得到由分布函数求总量的公式 0 ( )d l Q x x =
例7.5.1如图7.5.1的一根 金属棒,其密度分布为 p(x)=2x2+3x+6(kgm) 求这根金属棒的质量M。 解 2x2+3x+6dx =23 图7.5.1 x+x2+6x=234(kg)
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 ( ) 2 3 6 (kg/m) 2 x = x + x + ， 求这根金属棒的质量M 。 解 6 2 0 M x x x = + + (2 3 6)d 6 234 (kg) 2 3 3 2 6 0 3 2 = = x + x + x 。 0 6 x 图 7.5.1
例7.5.1如图7.5.1的一根 金属棒,其密度分布为 p(x)=2x2+3x+6(kgm) 求这根金属棒的质量M。 解 2x2+3x+6)dx =23 图7.5.1 x+x2+6x=234(kg)。 这个问题可以作以下的推广: (1)假定物理量分布在一个平面区域上,x的变化范围为区间[a,b]。 如果过x(a≤x≤b)点并且垂直于x轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用f(x)表示,或者说该平面区域在横坐标位于 [x,x+dx]中的部分上的物理量可以表示为f(x)dx,那么由类似的讨论, 可以得到这个区域上的总物理量为 0= f(xdx
这个问题可以作以下的推广： ⑴假定物理量分布在一个平面区域上， x 的变化范围为区间[a, b ]。 如果过 x（ a x b）点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用 f (x) 表示，或者说该平面区域在横坐标位于 [ , d ] x x x + 中的部分上的物理量可以表示为 f x x ( )d ，那么由类似的讨论， 可以得到这个区域上的总物理量为 ( )d b a Q f x x = 。 例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 ( ) 2 3 6 (kg/m) 2 x = x + x + ， 求这根金属棒的质量M 。 解 6 2 0 M x x x = + + (2 3 6)d 6 234 (kg) 2 3 3 2 6 0 3 2 = = x + x + x 。 0 6 x 图 7.5.1
例7.5.2求圆心在水下10m,半径为1m的竖直放置的圆形铁 片(图7.5.2)所受到的水压力。 解由物理定律,浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的压 强为 p=h pg 这里,p是液体的密度,g是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅 垂线方向向下为x轴的正向建立坐标系,于是铁片在深度为10+x处 (-1≤x≤1)受到的压强为(10+x)g,在圆铁 水面 片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的 x+10 条带域,则带域的面积为 ds=2 1 dx 所以带域上所受到的压力为 dF=2g√1-x2(10+x)dx 于是铁片所受到的水压力为 2s∫M=x2(04x=10g(N) 图7.52
例 7.5.2 求圆心在水下 10 m，半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁 片（图 7.5.2）所受到的水压力。 解 由物理定律，浸在液体中的物体在深度为h 的地方所受到的压 强为 p = h g ， 这里， 是液体的密度，g 是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅 垂线方向向下为 x 轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为10 + x处 ( −1 x 1)受到的压强为(10 + x)g ，在圆铁 片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的 一条带域，则带域的面积为 2 d 2 1 d S x x = − ， 所以带域上所受到的压力为 2 d 2 1 (10 )d F g x x x = − + ， 于是铁片所受到的水压力为 1 2 1 F g x x x g 2 1 (10 )d 10π − = − + = （N）
这个结论可以推广到立体区域去。事实上,§4的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面x=a和x=b之间的几何体的体积公式 设过x点且与x轴垂直的平面与该几何体相截,截面积为A(x),则 几何体的体积为 V= A(xdx 此式就可以看成是应用本方法的一个特例,其中物理量的密度函数 A(x)是截面的面积
这个结论可以推广到立体区域去。事实上，§4 的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面 x = a 和 x = b之间的几何体的体积公式： 设过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为 A(x)，则 几何体的体积为 ( )d b a V A x x = 。 此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数 A(x) 是截面的面积
(2)假定物理量是分布在一条平面曲线 t∈[272] 上,分布函数(即物理量的密度)为f(),在(x(1,y(1)处截取一段 长度为dl的弧,那么在这段弧上的物理量dO为 do=f(t)du 利用弧长的微分公式, d@= f(tdl=f(vx(t'+y(odt 关于t在,2上积分,就得到 o=f f(d/=5(x'(2)2+y(02dt 这个结论可以推广到空间曲线的情况
⑵假定物理量是分布在一条平面曲线 x x t y y t t T T = = ( ), ( ), [ , ] 1 2 上，分布函数（即物理量的密度）为 f (t)，在( x(t), y(t)) 处截取一段 长度为dl 的弧，那么在这段弧上的物理量dQ 为 d ( )d Q f t l = 。 利用弧长的微分公式，d ( )d Q f t l = = 2 2 f t x t y t t ( ) ( ) ( ) d + ， 关于t在[T ,T ] 1 2 上积分，就得到 2 2 1 1 2 2 ( )d ( ) ( ) ( ) d T T T T Q f t l f t x t y t t = = + 。 这个结论可以推广到空间曲线的情况
例7.5.3设上半个金属环x2+y2=R2(y≥0)上任一点处的电 荷线密度等于该点到y轴的距离的平方,求环上的总电量 解将金属环的方程写成参数形式 x=Rcos t y=sin,t∈O,x], 于是 d=√x(t)2+y(3dt=Rdro 分布函数f(t)=[x(1)P=R2cos2t,因此 do=f(tdl=rcos tdt 所以环上的总电量为 O=RIcoS tdt R3兀
例 7.5.3 设上半个金属环 2 2 2 x + y = R （ y 0）上任一点处的电 荷线密度等于该点到 y 轴的距离的平方，求环上的总电量。 解 将金属环的方程写成参数形式 x R t y R t t = = cos , sin , [0, ]， 于是 dl = 2 2 x t y t t R t ( ) ( ) d d + = 。 分布函数 f (t) = [x(t)] = R cos t 2 2 2 ，因此 d ( )d Q f t l = = 3 2 R t t cos d ， 所以环上的总电量为 3 π 3 2 0 π cos d 2 R Q R t t = =