第六章不定积分 s1不定积分的概念和运算法则 微分的逆运算 不定积分 定义6.1.若在某个区间上,函数F(x)和f(x)成立关系 F'(x)=f(x), 或等价地, d(F(x))=f(x)dx 则称F(x)是f(x)在这个区间上的一个原函数
微分的逆运算 ── 不定积分 定义6.1.1 若在某个区间上，函数F(x)和 f (x)成立关系 F(x) = f (x)， 或等价地， d d ( ( )) ( ) F x f x x = ， 则称 F(x)是 f (x)在这个区间上的一个原函数。 第六章 不定积分 §1 不定积分的概念和运算法则
注意,如果一个函数存在原函数,那么它的原函数必定是不唯 的。比如,若F(x)是f(x)的原函数,那么对任何常数C,F(x)+C也是 f(x)的原函数 反之,若G(x)是f(x)的任一个原函数,则[F(x)-G(x)=0。于是 F(x)-G(x)=C,即G(x)=F(x)+C。 所以,只要求出了f(x)的任意一个原函数F(x),就可以用F(x)+C 来代表∫(x)的原函数全体了
注意，如果一个函数存在原函数，那么它的原函数必定是不唯一 的。比如，若F(x)是 f (x)的原函数，那么对任何常数 C ，F(x) + C 也是 f (x)的原函数。 反之，若G(x)是 f (x)的任一个原函数，则[F(x) − G(x)] = 0。于是 F(x) − G(x) C，即G(x) = F(x) + C 。 所以，只要求出了 f (x)的任意一个原函数 F(x)，就可以用 F(x) + C 来代表 f (x)的原函数全体了
定义6.1.2一个函数f(x)的原函数全体称为这个函数的不定积 分,记作∫f(x)x 这里,“∫”称为积分号,f(x)称为被积函数,x称为积分变量 微分运算“d”与不定积分运算“∫”构成了一对逆运算: F(x) f(x)dx, F(x)+C〈 或者具体写成 4((x)-)=/(x)x(即:(J八(x)x)=f(x) 与 dF(x)=F(x)+C
定义6.1.2 一个函数 f (x)的原函数全体称为这个函数的不定积 分，记作 f x x ( )d 。 这里，“ ”称为积分号， f (x)称为被积函数，x 称为积分变量。 微分运算“d ”与不定积分运算“ ”构成了一对逆运算： ( ) ( ) ( ) F x f x x F x C ⎯⎯→ + ⎯⎯ d d ， 或者具体写成( f x x f x x ( ) ( ) ) = d d d （ 即 ( f x x f x ( ) ( ) ) x = d d d ） 与 F x F x C ( ) ( ) = + d
例6.1.1求∫ Sin xdx o 解由于d(cosx)=- sin xdx,即d(-cosx)= sin xdx,因此得到 sin xdx =-cosx+c
例6.1.1 求 sin x x d 。 解 由于d d (cos ) sin x x x = − ，即d d ( cos ) sin − = x x x ，因此得到 sin cos x x x C = − + d
例6.1.1求∫ Sin xdx o 解由于d(cosx)=- sin xdx,即d(-cosx)= sin xdx,因此得到 sin xdx =-cosx+c 例6.12求∫ (a≠-1) 解由于x+1=x“,因此有 a dx C +1
例6.1.2 求 x x d ，（ −1 ）。 解 由于 x = x + +1 1 1 ，因此有 1 1 1 x x x C + = + + d 。 例6.1.1 求 sin x x d 。 解 由于d d (cos ) sin x x x = − ，即d d ( cos ) sin − = x x x ，因此得到 sin cos x x x C = − + d
例6.1.3求 解 时,有(nx) 因此 Inx+C (x>0) x<0时,有[n(-x)=-(-1)=-,因此 ln(-x)+C(x<0) 把两式结合起来,便得到 In x +C
例6.1.3 求 x x d 。 解 当x 0时，有(ln x) x = 1 ，因此 ln x x C x = + d (x 0)。 当x 0时，有[ln(− )] = ( ) − x − = x x 1 1 1 ，因此 ln( ) x x C x = − + d (x 0)。 把两式结合起来，便得到 ln | | x x C x = + d
不定积分的线性性质 定理6.1.1(线性性)若函数f(x)和g(x)的原函数都存在, 则对任意常数k1和k2,函数kf(x)+k28(x)的原函数也存在,且有 ∫[kf(x)+kg(xx=∫f(xx+kg(x)x。 证略
不定积分的线性性质 定理6.1.1（线性性） 若函数 f (x)和 g( x)的原函数都存在， 则对任意常数k1 和 k2 ，函数k f x k g x 1 2 ( ) + ( )的原函数也存在，且有 1 2 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) k f x k g x x k f x x k g x x + = + d d d 。 证 略
基本的不定积分公式 微分 不定积分 =e+C d(In x) =In x+C axX d=a+<x小C(≠-1) d(sin x)=cos xdx coS xdx=sinx+C d(cos x)=-sin xdx sin xdx=-cosx+C d(tan x)=sec xdx sec xdx=tanx+C d(cot x)=-cSc xdx csc xdx=-cotx+C d(sec x)=tan xsec xdx tan x sec xdx=secx+C d(csc x)=-cot x csc xdx cot x csc xdx=-cscx+c arcsin) = arcsinx+C d(arctan x) = arctan+ 1+x 1+
基本的不定积分公式： 微 分 不 定 积 分 (e ) e x x d d = x e e x x x C = + d (ln ) x x x = d d ln | | x x C x = + d 1 ( ) x x x − d d = 1 1 1 x x x C ( 1) + + = + − d d d (sin ) cos x x x = cos sin x x x C = + d d d (cos ) sin x x x = − sin cos x x x C = − + d 2 d d (tan ) sec x x x = 2 sec tan x x x C = + d 2 d d (cot ) csc x x x = − 2 csc cot x x x C = − + d d d (sec ) tan sec x x x x = tan sec sec x x x x C = + d d d (csc ) cot csc x x x x = − cot csc csc x x x x C = − + d 2 (arcsin ) 1 x x x = − d d 2 arcsin 1 x x C x = + − d 2 (arctan ) 1 x x x = + d d 2 arctan 1 x x C x = + + d
不定积分的线性性质和上面的不定积分表可以帮助我们求出 些简单函数的不定积分。 例6.14求∫ tan xdx 解利用三角恒等式tan2x=sec2x-1, tan xdx (sec2x-1)dx= sec2xdx-l-dx=tanx-x+C
不定积分的线性性质和上面的不定积分表可以帮助我们求出一 些简单函数的不定积分。 例6.1.4 求 2 tan x x d 。 解 利用三角恒等式 tan sec 1 2 2 x = x − ， 2 tan x x d 2 2 = − = − (sec 1) sec 1 x x x x x d d d = tan x − x +C
不定积分的线性性质和上面的不定积分表可以帮助我们求出 些简单函数的不定积分。 例6.14求∫ tan xdx 解利用三角恒等式tan2x=sec2x-1, tan xdx (sec2x-1)dx= sec2xdx-l-dx=tanx-x+C 例.15求∫m2ax 解利用三角函数的半角公式sm2x=1=0sx sIn x=odx=l(1-cos x)dx=t(x-sin x)+C
例6.1.5 求 2 sin 2 x x d 。 解 利用三角函数的半角公式 2 1 cos 2 sin 2 x − x = ， 2 1 cos 1 1 sin (1 cos ) ( sin ) 2 2 2 2 x x x x x x x x C − = = − = − + d d d 。 不定积分的线性性质和上面的不定积分表可以帮助我们求出一 些简单函数的不定积分。 例6.1.4 求 2 tan x x d 。 解 利用三角恒等式 tan sec 1 2 2 x = x − ， 2 tan x x d 2 2 = − = − (sec 1) sec 1 x x x x x d d d = tan x − x +C