第八章反常积分 §1反常积分的概念和计算 反常积分 前面讨论 Riemann积分时,假定了积分区间[a,b有限且被积函 数f(x)在[a,b上有界,但在实际应用中经常会碰到不满足这两个条 件,却需要求积分的情况。所以,有必要突破 Riemann积分的限制 条件,考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题,这样的积分称 为反常积分(或广义积分),而以前学过的 Riemann积分相应地称 为正常积分(或常义积分)
反常积分 前面讨论 Riemann 积分时，假定了积分区间[a, b]有限且被积函 数 f (x)在[a, b]上有界，但在实际应用中经常会碰到不满足这两个条 件，却需要求积分的情况。所以，有必要突破 Riemann 积分的限制 条件，考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题，这样的积分称 为反常积分（或广义积分），而以前学过的 Riemann 积分相应地称 为正常积分(或常义积分)。 第八章 反常积分 §1 反常积分的概念和计算
先来看一个实际例子 例8.1.1由万有引力定律导出物体脱离地球引力范围的最低 初速度即第二宇宙速度。 解设从地面垂直向上发射的质量为m的物体飞出地球引力范 围所需的最低初速度为ν。若它从地球表面飞到无穷远处克服地球引 力所做的功为W,则由功能原理,v须满足 mv≥W。 因此,要求出第二宇宙速度,必须先求出物体从地球表面飞到无穷远 处克服地球引力所做的功
先来看一个实际例子。 例 8.1.1 由万有引力定律导出物体脱离地球引力范围的最低 初速度即第二宇宙速度。 解 设从地面垂直向上发射的质量为 m的物体飞出地球引力范 围所需的最低初速度为v0 。若它从地球表面飞到无穷远处克服地球引 力所做的功为W ，则由功能原理，v0 须满足 1 2 0 m v 2 W 。 因此，要求出第二宇宙速度，必须先求出物体从地球表面飞到无穷远 处克服地球引力所做的功
以地球质心为原点建立一维坐标,记 地球半径为R,设物体在r处所受到的地球 引力为F()(r≥R),则由功的定义和微元 法,有 dw=-f(r)dr W就是函数-F(r)在无穷区间[a,+)上的 积分值。我们将它形式地写成 R r)a7 图8.1.1
以地球质心为原点建立一维坐标，记 地球半径为 R ，设物体在 r 处所受到的地球 引力为 F(r) (r R)，则由功的定义和微元 法，有 d ( )d W F r r = − ， W 就是函数 − F(r) 在无穷区间[a,+) 上 的 积分值。我们将它形式地写成 ( )d R W F r r + = − 。 r x R 图8.1.1
为了求这个积分,先考虑物体从地面 (r=R)飞到r=x(x>R)处克服地球引力所做 的功W(x)(图81.1) w(x)=-. F(rdr 记M为地球的质量,由万有引力定律,有 Mm F(r=-G (G为万有引力常数) 而在地球表面,地球的引力即为重力,记g是重 力加速度,有 R Mm F(R)=G R mg g 解得G R28,从而 图8.1.1 w(x)=rmg],.dr=R'mgl x R
为 了 求 这 个 积 分 ， 先 考 虑 物 体 从 地 面 （r = R）飞到 r = x (x R)处克服地球引力所做 的功W (x)（图 8.1.1）： W(x) ( )d x R = − F r r 。 记 M 为地球的质量，由万有引力定律，有 F(r) = −G Mm r 2 （G 为万有引力常数）， 而在地球表面，地球的引力即为重力，记 g 是重 力加速度，有F(R) = −G Mm R2 = −mg， 解得G R g M = 2 ，从而 W(x) 2 2 1 d x R R mg r r = x R r R mg = − 2 1 = − x R Rmg 1 。 r x R 图8.1.1
W(x)=Rmg p.dr=R'mgl R 显然,W=mW(x),因此 F(rdr=lim lim Rmg/1饣 Rm g 将W=Rmg以及g=98ms2,地球半径R≈6371km代入关于v的不等式, 得到 2W √2R=√2×6371×98×107≈12km) 这就是第二宇宙速度
W(x) 2 2 1 d x R R mg r r = x R r R mg = − 2 1 = − x R Rmg 1 。 显然，W lim W (x) x→+ = ，因此 W = ( )d R F r r + − →+ = x lim ( ) ( )d x R − F r r →+ = x lim − x R Rmg 1 = Rmg 。 将W = Rmg 以及 2 g = 9.8m/s ，地球半径 R 6371 km代入关于v0的不等式， 得到 v W m 0 2 = 2Rg = 3 2 6371 9.8 10− 11.2 (km/s)。 这就是第二宇宙速度
无穷区间上的积分有三种形式:f(xx,」f(x)dx和」。f(xd, 由于形式上有 f(xdx f(-1)dt=|f(-)dt 及 (x f(x)dx+ f(x)da 因此下面的讨论仅就∫。f(xkx形式来展开。 注意只有当「f(x)d和∫f(x)dx都收敛时,才认为∫二fx)x是 收敛的
无穷区间上的积分有三种形式： ( )d a f x x + ， ( )d a f x x − 和 f x x ( )d + − ， 由于形式上有 ( )d a f x x − x=−t = ( )d a f t t − + − − ( )d a f t t + − = − 及 f x x ( )d + − ( )d a f x x + = + ( )d a f x x − ， 因此下面的讨论仅就 ( )d a f x x + 形式来展开。 注意：只有当 ( )d a f x x + 和 ( )d a f x x − 都收敛时，才认为 f x x ( )d + − 是 收敛的
定义8.1.1设函数f(x)在[a,+∞)有定义,且在任意有限区间 a,Ac[a,+∞)上可积,若极限 lim f(x)dx A→+0 存在,则称反常积分∫。f(x)dx收敛(或称f(x)在+∞)上可积),其 积分值为 +0 f(x dx= lim f(x)dx: 4→+0Ja 否则称反常积分∫(x)发散。 对反常积分∫f(x)x与∫(x)x可类似地给出敛散性定义
定 义 8.1.1 设函数 f (x)在[a,+) 有定义，且在任意有限区间 [a, A] [a,+)上可积，若极限 A→+ lim ( )d A a f x x 存在，则称反常积分 ( )d a f x x + 收 敛（或称 f (x)在[a,+) 上可积），其 积分值为 ( )d a f x x + →+ = A lim ( )d A a f x x ； 否则称反常积分 ( )d a f x x + 发散。 对反常积分 ( )d a f x x − 与 f x x ( )d + − 可类似地给出敛散性定义
设f(x)在[a+∞)连续,F(x)是它在[a,+∞)上的一个原函数,由 Newton-Leibniz公式, f(x)dx=lim['f(x)dx=lim F(x)a=lm [F(A)-F(a) A→)+∞ 因此反常积分∫f(x)dx的敛散性等价 于函数极限mF(A)的敛散性。当函数 y=f(x) f(x)20时,反常积分「f(x)dx收敛表 示由曲线y=f(x),直线x=a和x轴所 界定区域的面积(图8.1.2)是个有限 值 图8.1.2
设 f (x)在[a,+)连续， F(x)是它在[a,+)上的一个原函数，由 Newton-Leibniz 公式， ( )d a f x x + →+ = A lim ( )d A a f x x →+ = A lim A a F(x) →+ = A lim [F(A) − F(a)]， 因此反常积分 ( )d a f x x + 的敛散性等价 于函数极限 lim F(A) A→+ 的敛散性。当函数 f (x) 0时，反常积分 ( )d a f x x + 收敛表 示由曲线 y = f (x)，直线 x = a和x 轴所 界定区域的面积（图 8.1.2）是个有限 值
例812讨论∫dx的敛散性(P∈R)。 解当p≠1时, A P x三lm A→+∞1 P A→+0 p(+∞,p1时,反常积分”收敛于n:当p≤1时,反 常积分∫,x发散
例 8.1.2 讨论 1 1 d p x x + 的敛散性（ p R ）。 解 当 p 1时， 1 1 d p x x + A p A p x 1 1 1 lim − = − + →+ p A p A − − = − →+ 1 1 lim 1 + = − , 1. , 1, 1 1 p p p 当 p = 1时， 1 1 dx x + A A x 1 lim ln →+ = A A lim ln →+ = = +。 因此，当 p 1时，反常积分 1 1 d p x x + 收敛于 1 p − 1 ；当 p 1时，反 常积分 1 1 d p x x + 发散
为了简便,通常我们仿照正常积分的 Newton- Leibniz公式的表达 形式,将反常积分形式地写成 f(x)dx= FO 其中F(+∞)理解为极限值lmF(x)。 x→+
为了简便，通常我们仿照正常积分的 Newton-Leibniz 公式的表达 形式，将反常积分形式地写成( )d a f x x + + = a F(x) ， 其中F(+) 理解为极限值 lim F(x) x→+