§2导数的意义和性质 产生导数的实际背景 微积分的发明人之 Newton最早用导数研究的是如何确定 力学中运动物体的瞬时速度问题。 个运动物体在时刻t的位移可以用函数s=s(n)来描述,它在时 间段[,+M中位移的改变量为As=t+M1)-s(1),所以当△t很小的时 候,它在时刻t瞬时速度可以近似地用它在[,t+Δ]中的平均速度 v(t)= As s(t+At)-s(t) 来代替。而瞬时速度是当Δ→0时v(1)的极限值,即 v(D)=hn、△Slms(t+△r)-s(t) M→>0△tM→>0 △t 于是 t)=S'(t), 也即运动物体的速度是它的位移函数的导数
产生导数的实际背景 微积分的发明人之一──Newton最早用导数研究的是如何确定 力学中运动物体的瞬时速度问题。 一个运动物体在时刻t 的位移可以用函数s = s(t)来描述，它在时 间段[t, t + t]中位移的改变量为s = s( t + t) − s(t)，所以当t 很小的时 候，它在时刻t的瞬时速度可以近似地用它在[t, t + t]中的平均速度 v t s t s t t s t t ( ) ( ) ( ) = = + − 来代替。而瞬时速度是当t →0时v (t)的极限值，即 v t s t s t t s t t t t ( ) lim lim ( ) ( ) = = + − → → 0 0 。 于是 v(t) = s(t)， 也即运动物体的速度是它的位移函数的导数。 §2 导数的意义和性质
将“速度”这个概念加以推广 凡是牵涉到某个量的变化快 慢的,诸如物理学中的光热磁电的各种传导率、化学中的反应速率、 经济学中的资金流动速率、人口学中的人口增长速率等等,统统都可 以看成是广义的“速度”,因而都可以用导数来表达。换句话说,导 数实际上是因变量关于自变量的变化率 比如,设函数p=D()表示某个地区在时刻t的人口数,那么当 M→0时,便得到该地区在时刻t的人口增长速率为 p'(t)=lim li p(t+△)-p(t) △t 即人口增长速率是人口数量函数的导数
将“速度”这个概念加以推广 ── 凡是牵涉到某个量的变化快 慢的，诸如物理学中的光热磁电的各种传导率、化学中的反应速率、 经济学中的资金流动速率、人口学中的人口增长速率等等，统统都可 以看成是广义的“速度”，因而都可以用导数来表达。换句话说，导 数实际上是因变量关于自变量的变化率。 比如，设函数 p = p(t)表示某个地区在时刻t 的人口数，那么当 t →0时，便得到该地区在时刻t的人口增长速率为 = = + − → → p t p t p t t p t t t t ( ) lim lim ( ) ( ) 0 0 ， 即人口增长速率是人口数量函数的导数
导数的几何意义 设y=f(x)是平面上的一条光滑的 连续曲线,(x,(x)是曲线上一个定点, 割线 (x+△x,f(x+△x)是曲线上的一个动点,x+△ 切线 过(x,f(x)和(x+Ax,f(x+△x)两点可 以唯一确定曲线的一条过点(x,f(x)的 f(r) 割线,并且,当点(x+Ax,f(x+Ax)在 x+△x 曲线上移动时将引起割线位置的不断 变化。曲线的切线定义应该是:如果 图4.2.3 在点(x+Ax,f(x+Δx)沿着曲线无限趋近于点(x,f(x))(即Ax→>0)时, 这些变化的割线存在着唯一的极限位置,则处于这个极限位置的直线 就被称为曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的切线(图4.2.3)
导数的几何意义 设 y = f (x)是平面上的一条光滑的 连续曲线，(x, f (x))是曲线上一个定点， (x + x, f (x + x))是曲线上的一个动点， 过(x, f (x))和(x + x, f (x + x))两点可 以唯一确定曲线的一条过点(x, f (x))的 割线，并且，当点(x + x, f (x + x))在 曲线上移动时将引起割线位置的不断 变化。曲线的切线定义应该是：如果 在点(x + x, f (x + x))沿着曲线无限趋近于点(x, f (x))（即x → 0）时， 这些变化的割线存在着唯一的极限位置，则处于这个极限位置的直线 就被称为曲线 y = f (x)在点( , ( )) x f x 处的切线（图4.2.3）
现求过点(x,f(x)的切线的斜率。因为割线的斜率为 △yf(x+△x)-f(x) △ 因此,过点(x,∫(x)的切线斜率就是极限 lin f(x+△x)-f(x) △x→>0△x △x 的值,即f(x)在x处的导数值f(x)这就是导数的几何意义 由此进一步可得,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x)处的切线方程是 f(x0)=f(x)(x-x0) 过P点且与切线垂直的直线称为曲线y=f(x)在点P处的法线,于是 当f(x)≠0时,在点P处的法线方程是 y-f(xo) X-x f(x0)
现求过点(x, f (x))的切线的斜率。因为割线的斜率为 y x f x x f x x = ( + ) − ( ) ， 因此，过点(x, f (x))的切线斜率就是极限 lim lim ( ) ( ) x x y x f x x f x → → x = + − 0 0 的值，即 f (x)在x 处的导数值 f (x)──这就是导数的几何意义。 由此进一步可得，曲线 y = f (x)在点 ( , ( )) 0 0 0 P x f x 处的切线方程是 ( ) ( )( ) 0 0 0 y − f x = f x x − x 。 过P0 点且与切线垂直的直线称为曲线 y = f (x)在点P0 处的法线，于是 当 f (x0 ) 0时，在点P0 处的法线方程是 ( ) ( ) 1 ( ) 0 0 0 x x f x y f x − − = −
例4.2.1求抛物线y2=2px(p>0)上任意一点(x,y0)处的切线 斜率 解设(x0,y)属于上半平面(属于下半平面时是类似的),将方 程改写成 (x≥0), 则它在(x0,y)处的切线斜率应为 lim f(xo+Ax)-f()- lim X2p(xo+Ax)-v2pxo Ax→0 △x △x Im Ax→0(√(x0+△x) )·△x 由此很容易求得它在任意一点处的切线方程
例4.2.1 求抛物线 2 ( 0) 2 y = px p 上任意一点(x , y ) 0 0 处的切线 斜率。 解 设(x , y ) 0 0 属于上半平面（属于下半平面时是类似的），将方 程改写成 y = f (x) = 2px (x 0)， 则它在(x , y ) 0 0 处的切线斜率应为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) 2 lim lim 2 lim ( ( ) ) 2 x x x f x x f x p x x px x x x p p x x x x x → → → + − + − = = = + + ， 由此很容易求得它在任意一点处的切线方程
从这个结论出发可以得到抛物线的一个重要的光学性质。 记抛物线的方程为y2=2mx(p>0),设它在点(x,y0)处的切线与x 轴的夹角为a,由于y=√2mx0,该切线的斜率可以写成 tane 2x, yo 再记点(xn,y)与抛物线的焦点(P,0 切线 法线 的连线与x轴的夹角为O,该连线与 (x。ya) 抛物线在点(x,y3)处的切线的夹角为 e,(如图4.2.4) 图4.2
从这个结论出发可以得到抛物线的一个重要的光学性质。 记抛物线的方程为 2 ( 0) 2 y = px p ，设它在点(x , y ) 0 0 处的切线与x 轴的夹角为1，由于 y px 0 = 2 0 , 该切线的斜率可以写成 1 0 0 tan 2 p p x y = = ， 再记点(x , y ) 0 0 与抛物线的焦点 , 0 2 p 的连线与x 轴的夹角为2，该连线与 抛物线在点 0 0 ( , ) x y 处的切线的夹角为 ，（如图4.2.4）
由此得到 tan e x 于是 tan 0 -tan 0 tan e 1+tane,·tanO, 切线 y 法线 P an e y 即θ恰好等于切线与x轴的夹角 图4.2.4
由此得到 0 2 0 2 tan p x y − = ， 于是 2 1 2 1 1 tan tan tan tan tan + − = 0 2 0 0 0 2 0 0 1 y p x y y p x y p p − + − − = 1 0 = = tan y p ， 即 恰好等于切线与x 轴的夹角1
根据光的反射定律,入射角(入射光线与反射面的法线的夹角) 等于反射角(反射光线与反射面的法线的夹角),可知任意一束从抛 物线焦点处出发的光线,经抛物线的反射,反射光线与抛物线的对称 轴平行。 根据这一原理,将抛物线绕它的对称轴旋转,得到一个旋转抛物 面,于是,放在焦点处的点光源发出的光线,经过旋转抛物面反射后, 成为一束平行于对称轴的光线射出;反过来,由于光路的可逆性,平 行于旋转抛物面对称轴的入射光线,经过旋转抛物面的反射,汇聚于 它的焦点上。 探照灯、伞形太阳灶、抛物面天线等都是这一原理实际应用的例
根据光的反射定律，入射角（入射光线与反射面的法线的夹角） 等于反射角（反射光线与反射面的法线的夹角），可知任意一束从抛 物线焦点处出发的光线，经抛物线的反射，反射光线与抛物线的对称 轴平行。 根据这一原理，将抛物线绕它的对称轴旋转，得到一个旋转抛物 面，于是，放在焦点处的点光源发出的光线，经过旋转抛物面反射后， 成为一束平行于对称轴的光线射出；反过来，由于光路的可逆性，平 行于旋转抛物面对称轴的入射光线，经过旋转抛物面的反射，汇聚于 它的焦点上。 探照灯、伞形太阳灶、抛物面天线等都是这一原理实际应用的例 子
例42.2求椭圆x+=1(ab>0)上任一点(x0y)处的切线方 程 解设(x,y)属于上半平面(属于下半平面时是类似的),将此 区域中的椭圆方程改写成 b y <x<a 则它在(x,y)处的切线斜率应为 lim (xo+4x)-f(xo2_b1 (o+Ax) Ax→0 a4x→0 b (x+△x)2 b as(ya2-(x+△x)2+√a2-x2) Ar a va2-x2 于是它在(xny3)处的切线方程为 b yo X-x
例4.2.2 求椭圆 1 ( , 0) 2 2 2 2 + = a b b y a x 上任一点(x , y ) 0 0 处的切线方 程。 解 设(x , y ) 0 0 属于上半平面（属于下半平面时是类似的），将此 区域中的椭圆方程改写成 ( ) ( ), 2 2 a x a x a a b y = f x = − − 则它在 0 0 ( , ) x y 处的切线斜率应为 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) lim ( ( ) ) x x x f x x f x b a x x a x x a x b b x x x x a a a x x a x x a x → → → + − − + − − = − + − = = − + + − − 。 于是它在 0 0 ( , ) x y 处的切线方程为 y y b a x a x − = x x − − 0 − 0 2 0 2 0 ( )
注意到(x0,y)位于椭圆上,即 满足 b Vo 两边整理后便得到切线方程 x0…x,yo·y b 这正是我们在平面解析几何 图4.2.5 中已知的结论 可以证明椭圆的一个光学性质:从椭圆的一个焦点发出的任意 束光线,经椭圆反射后,反射光线必定经过它的另一个焦点(图 4.2.5)
注意到(x , y ) 0 0 位于椭圆上，即 满足 y b a a x 0 2 0 2 = − , 两边整理后便得到切线方程 x x a y y b 0 2 0 2 1 + = , 这正是我们在平面解析几何 中已知的结论。 可以证明椭圆的一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的任意 一束光线，经椭圆反射后，反射光线必定经过它的另一个焦点（图 4.2.5）
