§3 Green公式、 Gauss公式和 Stokes公式 Green公式 设L为平面上的一条曲线,它的方程是r()=x(1)i+y(t)j,a≤t≤B 如果r(a)=r(B),而且当t,l2∈(a,B),t1≠t2时总成立r(t1)≠r(t2),则称 L为简单闭曲线(或 Jordan曲线)。这就是说,简单闭曲线除两个端 点相重合外,曲线自身不相交 设D为平面上的一个区域。如果D内的任意一条封闭曲线都可以 不经过D外的点而连续地收缩成D中一点,那么D称为单连通区域。 否则它称为复连通区域。例如,圆盘{(x,y)x2+y2<l}是单连通区域, 而圆环(x)2x2+y2<1是复连通区域
Green 公式 设L 为平面上的一条曲线，它的方程是 r(t) = x(t)i + y(t) j ， t 。 如果r() = r()，而且当 , ( , ) t 1 t 2 ， 1 2 t t 时总成立 ( ) ( ) 1 2 r t r t ，则称 L 为简单闭曲线（或 Jordan 曲线）。这就是说，简单闭曲线除两个端 点相重合外，曲线自身不相交。 设 D为平面上的一个区域。如果D内的任意一条封闭曲线都可以 不经过D外的点而连续地收缩成D中一点，那么D称为单连通区域。 否则它称为复连通区域。例如，圆盘{( , ) | 1} 2 2 x y x + y 是单连通区域， 而圆环 + 1 2 1 ( , ) 2 2 x y x y 是复连通区域。 §3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式
单连通区域D也可以这样叙述:D内的任何一条封闭曲线所围的 点集仍属于D。因此,通俗地说,单连通区域之中不含有“洞”,而 复连通区域之中会有“洞”。 对于平面区域D,给它的边界∂D规定一个正向:如果一个人沿aD 的这个方向行走时,D总是在他左边。这个定向也称为D的诱导定向, 带有这样定向的D称为D的正向边界。例如,如图1431所示的区 域D由L与l所围成,那么在我们规定的正向下,L为逆时针方向,而 l为顺时针方向 L 图143.1
单连通区域 D 也可以这样叙述： D 内的任何一条封闭曲线所围的 点集仍属于 D 。因此，通俗地说，单连通区域之中不含有“洞”，而 复连通区域之中会有“洞”。 对于平面区域D，给它的边界D规定一个正向：如果一个人沿D 的这个方向行走时，D总是在他左边。这个定向也称为D的诱导定向， 带有这样定向的D称为D的正向边界。例如，如图 14.3.1 所示的区 域 D由L 与l 所围成，那么在我们规定的正向下，L 为逆时针方向，而 l 为顺时针方向。 D l L 图14.3.1
定理14.3.1( Green公式)设D为平面上由光滑或分段光滑的 简单闭曲线所围的单连通闭区域。如果函数P(x,y),Qx,y)在D上具有 连续偏导数,那么 aO oP Pdx+Od ax a 其中D取正向,即诱导定向
定理 14.3.1（Green 公式） 设 D 为平面上由光滑或分段光滑的 简单闭曲线所围的单连通闭区域。如果函数 P(x, y), Q(x, y)在D上具有 连续偏导数，那么 d d d d Q P P x Q y x y x y + = − D D ， 其中D取正向，即诱导定向
证先假设D可同时表示为以下两种形式 D={(x,y)y(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b} ={(x,y)kx1(y)≤x≤x2Oy),C≤y≤a} 的情形(这时平行于x轴或y轴的直线与区域D的边界至多交两点) 这样的区域称为标准区域 下面在这种假设下证明定理(参见图143.2)。 y=y2(x x=x,(y) y=y,(x) 图14.32
证 先假设 D 可同时表示为以下两种形式 1 2 D = {( , ) | ( ) ( ), } x y y x y y x a x b {( , )| ( ) ( ), } = x y x1 y x x2 y c y d 的情形（这时平行于x轴或 y 轴的直线与区域D的边界至多交两点）。 这样的区域称为标准区域。 下面在这种假设下证明定理（参见图 14.3.2）。 ( ) 2 x x y = ( ) 1 x = x y y=y x 2 ( ) y=y x 1 ( ) O a b x y c d 图14.3.2
aP dxdy=l d rr(aP (x) D SIP(x, y2(x))-P(x, y(x)]dx=- P(x, y,(x)dx-.P(x,y2(x)dx P(x, y)dx D 式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有 x2(y)O O ax x()ax ∫pCx().y-(x(yx())+∫gQx))y =∫(xy)y。 D 两式合并就得到所需的结果
2 1 ( ) ( ) 2 1 1 2 d d d d ( , ( )) ( , ( )) d ( , ( ))d ( , ( ))d ( , )d , b y x a y x b b a a a b P P x y x y y y P x y x P x y x x P x y x x P x y x x P x y x = = − = − − = − D D 式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 d d d d ( ( ), ) ( ( ), ) d ( ( ), )d ( ( ), )d ( , )d d x y c x y d d c c c d Q Q x y y x x x Q x y y Q x y y y Q x y y y Q x y y y Q x y y = = − = + = 。 D D 两式合并就得到所需的结果
再证区域D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图 14.3的区域,在这种区域上,平行于y轴的直线与D的边界的交点 可能会多于两个。如图所示用光滑曲线AB将D分割成两个标准区域 D与D,(D的边界为曲线ABMA,D的边界为曲线ANBA)。因此可以 应用 Green公式得到 oo aP Pdx+Od Iy dxd ax ay Pdx +ody ao aP xay o aD2 ax ay 二一二 B D 图14.33
再证区域 D 可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图 14.3.3 的区域，在这种区域上，平行于 y 轴的直线与 D 的边界的交点 可能会多于两个。如图所示用光滑曲线 AB 将D分割成两个标准区域 D1 与 D2（ D1 的边界为曲线 ABMA，D2 的边界为曲线 ANBA）。因此可以 应用 Green 公式得到 1 1 d d d d Q P P x Q y x y x y + = − D D , 2 2 d d d d Q P P x Q y x y x y + = − D D 。 D2 D1 O x N A B M y 图14.3.3
注意D与D2的公共边界AB,其方向相对于aD而言是从A到B, 相对于aD2而言是从B到A,两者方向正好相反,所以将上面的两式相 加便得 Pdx+ Ody 00P dxd aD d(dx dy) 对于Gren公式一般情形的证明比较复杂,这里从略
注意 D1 与 D2 的公共边界 AB ，其方向相对于 1 D 而言是从 A 到 B ， 相对于 2 D 而言是从B 到 A，两者方向正好相反，所以将上面的两式相 加便得 d d d d Q P P x Q y x y x y + = − D D 。 对于 Green 公式一般情形的证明比较复杂，这里从略
Gren公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去 以只有一个洞为例(见图14.34),用光滑曲线连结其外边界L上一 点M与内边界l上一点N,将D割为单连通区域。由定理14.3.1得到 N D 图1434 ag aP Pdx+Od D(or a y MN ∫+∫rax+cy=Jrax+c 其中L为逆时针方向,l为顺时针方向,这与D的诱导定向相同
Green 公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。 以只有一个洞为例（见图 14.3.4），用光滑曲线连结其外边界L 上一 点M 与内边界l上一点N ，将D割为单连通区域。由定理 14.3.1 得到 图 14.3.4 d d d d d d d d , L MN l NM L l Q P x y P x Q y x y P x Q y P x Q y − = + + + + = + + = + D D 其中 L 为逆时针方向，l为顺时针方向，这与D的诱导定向相同。 D l L M N
Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二 类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论: 1.记取诱导定向的∂D上的单位切向量为z,单位外法向量为n (见图143.5),那么显然有 cos(n, y)=-coS( t, x), cos(n, x)=sin( t, x) 因此得到 Green公式的另一种常用表示形式 aF aG dxd Fdy-Gdx= [Fsin(t, x)-Gcos(t, x)]ds [FcoS(n, x)+G cos(n, y)] 这个形式便于记忆和推广。 aD 图14.35
Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二 类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论： 1. 记取诱导定向的D上的单位切向量为 ，单位外法向量为n （见图 14.3.5），那么显然有 cos(n, y) = −cos( , x)，cos(n, x)=sin( , x)。 因此得到 Green 公式的另一种常用表示形式 d d d d F G x y F y G x x y + = − = D D D [ sin( , ) cos( , )]d F x G x s − = D [ cos( , ) cos( , )]d F x G y s n n + ， 这个形式便于记忆和推广。 D n D 图14.3.5
2. Green公式是 Newton- Leibniz公式的推广。设f(x)在[a,b]上具 有连续导数,取D=[a,b]×[0,1(见图1436)。在 Green公式中取P=0, Q=f(x),就得到 J/(x)drdy=/(xd D D 利用化累次积分的方法,等式左边就是∫4yJr(xdx=Jr(x)x。而等 式右边等于 ∫+∫+∫+∫fx)=∫+「(x)y=「/(b)y+/(a)y=()-/(a) AB BC CD DA BC DA 这就得到 Newton- Leibniz公式 f(xdx=f(b)-f(a) 图14.36
2. Green 公式是 Newton-Leibniz 公式的推广。设 f (x) 在[a,b]上具 有连续导数，取 D = [ , ] [0,1] a b （见图 14.3.6）。在 Green 公式中取P = 0， Q = f (x)，就得到 f x x y f x y ( )d d ( )d = D D 。 利用化累次积分的方法，等式左边就是 1 0 d ( )d ( )d b b a a y f x x f x x = 。而等 式右边等于 1 0 0 1 ( )d ( )d ( )d ( )d ( ) ( ) AB BC CD DA BC DA + + + = + = + = − f x y f x y f b y f a y f b f a 。 这就得到 Newton-Leibniz 公式 ( )d b a f x x = f (b) − f (a)。 a b x 1 D y O 图14.3.6
