第三章函数极限与连续函数 §1函数极限 函数极限的定义 在半径为r的圆上任取一小段圆弧,记它所对的圆心角的弧度为 2x,则圆弧长度为2x,而圆弧所对的弦的长度为2sinx,弦长与弧长 之比值y是x的函数,其关系式为y SInx x
第三章 函数极限与连续函数 §1 函数极限 函数极限的定义 在半径为r 的圆上任取一小段圆弧，记它所对的圆心角的弧度为 2x，则圆弧长度为2xr,而圆弧所对的弦的长度为2 sin r x，弦长与弧长 之比值 y是 x 的函数，其关系式为 y x x = sin
猜想:当x趋于0时,y=x趋于1。 DX 以后将对这一极限给出严格证明,并记为imsx=1。 注意:在x趋于0的过程中,不取x=0(事实上,当x=0时,函数 sInx 没有定义)。我们关心的是在x趋于0的过程中,函数y SIn x 的 变化趋势,而不关心函数在x=0处是否有定义,如果有定义的话函数 值为多少
猜想：当 x 趋于0时， y x x = sin 趋于1。 以后将对这一极限给出严格证明，并记为lim x→0 sin x x = 1。 注意：在 x 趋于0的过程中，不取 x = 0（事实上，当x = 0时，函数 sin x x 没有定义）。我们关心的是在 x 趋于0的过程中，函数 y x x = sin 的 变化趋势，而不关心函数在 x = 0处是否有定义，如果有定义的话函数 值为多少
定义3.1.1设函数y=f(x)在点x0的某个去心邻域中有定义, 即存在p>0,使 O(o P)Xo)CD 如果存在实数A,对于任意给定的E>0,可以找到δ>0,使得当 0<x-xkδ时,成立 If(x)Ae, 则称A是函数f(x)在点x的极限,记为 lim f(x)=A, x→x0 或 f(x)→A(x→x) 如果不存在具有上述性质的实数A,则称函数f(x)在点x0的极限不 存在
定义3.1.1 设函数 y = f (x)在点 x 0 的某个去心邻域中有定义， 即存在 ＞0,使 0 0 O x x ( , ) \{ } Df 。 如果存在实数 A，对于任意给定的 0，可以找到 0，使得当 0 0 | | − x x 时，成立 | ( ) | f x A − ， 则称 A是函数 f (x) 在点 x 0 的极限，记为 lim x→x0 f (x) = A, 或 f (x) → A ( x → x 0 )。 如果不存在具有上述性质的实数 A，则称函数 f (x) 在点 x 0 的极限不 存在
定义3.1.1设函数y=f(x)在点x的某个去心邻域中有定义, 即存在p>0,使 如果存在实数A,对于任意给定的ε>0,可以找到δ>0,使得当 0x0 或 f(x)→A(x→x0) 如果不存在具有上述性质的实数A,则称函数f(x)在点x的极限不 存在 函数极限定义的符号表述: lim f(x)=A 8>0,38>0, Vx(0xx-xok8): If(x)-Aka x→
函数极限定义的符号表述： lim x→x0 f (x) = A 0， 0，x ( 0 0 | | − x x )：| ( ) | f x A − 。 定义3.1.1 设函数 y = f (x)在点 x 0 的某个去心邻域中有定义， 即存在 ＞0,使 0 0 O x x ( , ) \{ } Df 。 如果存在实数 A，对于任意给定的 0，可以找到 0，使得当 0 0 | | − x x 时，成立 | ( ) | f x A − ， 则称 A是函数 f (x) 在点 x 0 的极限，记为 lim x→x0 f (x) = A, 或 f (x) → A ( x → x 0 )。 如果不存在具有上述性质的实数 A，则称函数 f (x) 在点 x 0 的极限不 存在
例3.1.1证明lime=1 证E>0(不妨设00,使得当00,当x满足0<冈<时,成立 <8, 所以 li
例 3.1.1 证明 0 lime 1 x x→ = 。 证 0 (不妨设0 1 )，要找 0，使得当0 x 时，成 立 ｜e 1 x − ｜ 。 上式等价于 ln(1 ) − x ln(1 ) + ， 取 = min{ ln(1+ ) , ln(1 )} 0 − − ，当x 满足0 x 时，成立 ｜e 1 x − ｜ ， 所以 lim x→0 e 1 x =
例3.1.1证明lime=1。 证V>0(不妨设00,使得当00,当x满足00,正数δ并不要求取最大的或最佳的值, 所以对具体的函数极限问题,常常采用与数列极限证明时类似的适度 放大技巧
同样，对任意给定的 0，正数 并不要求取最大的或最佳的值， 所以对具体的函数极限问题，常常采用与数列极限证明时类似的适度 放大技巧。 例 3.1.1 证明 0 lime 1 x x→ = 。 证 0 (不妨设0 1 )，要找 0，使得当0 x 时，成 立 ｜e 1 x − ｜ 。 上式等价于 ln(1 ) − x ln(1 ) + ， 取 = min{ ln(1+ ) , ln(1 )} 0 − − ，当x 满足0 x 时，成立 ｜e 1 x − ｜ ， 所以 lim x→0 e 1 x =
例3.1.2证明lmx2=4。 证对任意给定的s>0,要找δ>0,使得当04x-2k<δ时,成立 4|<E 因为|x2-4|=x-2x+2,保留因子|x-2|,而将因子 x+2|放大,为此加上条件 即1<x<3 于是x+2<5,从而有 取。=m15,则当0kx-2<6时,成立 +2<5·-=E 所以 limx2=4
例3.1.2 证明 2 2 lim 4 x x → = 。 证 对任意给定的 0，要找 0，使得当0 | 2 | − x 时，成立 ｜ 2 x − 4｜ 。 因为｜ 2 x − 4｜= x − 2 x + 2 ， 保留因子｜ x − 2｜，而将因子 ｜ x + 2｜放大，为此加上条件 x − 2 1， 即1 3 x ， 于是 x + 2 5，从而有 2 x x − − 4 5 2 。 取 = min 5 1, ，则当0 2 − x 时，成立 ｜ 2 x − 4｜= x − 2 x + 2 5 5 = ， 所以 2 2 lim 4 x x → =
例3.1.3证明im x(x-1)1 x→1x2-1 证 (x-1)_1=1x 122|x+1 保留因子x-1,而将因子1,放大。为此,加上条件 0<x-1<1,即0<x<2 于是 < 取δ=min{12l},则当0<x-1<δ,成 x(x <2E=E, 所以 lim x(x 12
例3.1.3 证明lim ( ) x x x → x − 1 − 2 1 1 = 1 2 。 证 2 1 1 ( 1) 2 − − − x x x = | | | | x x − + 1 2 1 ， 保留因子| x −1|，而将因子 1 2 | x + 1 | 放大。为此，加上条件 0 1 1 − x ，即0 2 x , 于是 1 1 2 | 1| 2 x + 。 取 = min 1,2 ，则当0 1 − x ，成立 2 1 1 ( 1) 2 − − − x x x = | | | | x x − + 1 2 1 ＜ 1 2 = 2 ， 所以 2 1 ( 1) lim x 1 x x → x − = − 1 2
函数极限的性质 (1)极限的唯一性 定理3.1.1设A与B都是函数f(x)在点x的极限,则A=B 证根据函数极限的定义,可知: yE>0,彐1>0,x(04x-xnk) f(x)-A10,Vx(04x-x0k2):|f(x)-Bk。 取δ=min{,O2},当0<x-x0k<时, A-B|s/(x)-A|+|f(x)-B|<E 由于ε可以任意接近于0,可知A=B 证毕
函数极限的性质 (1) 极限的唯一性 定理3.1.1 设 A与 B都是函数 f (x) 在点 x0 的极限，则 A B = 。 证 根据函数极限的定义，可知： 0， 1 0， x ( 0 1 0 | | − x x )：| ( ) | 2 f x A − ； 2 0， x ( 0 2 0 | | − x x )：| ( ) | 2 f x B − 。 取 = min { 1 2 , }，当 0 0 | | − x x 时， | A- B | − + | ( ) | f x A | ( ) | f x B− 。 由于 可以任意接近于0，可知 A= B。 证毕
(2)局部保序性 定理3.1.2若limf(x)=A,limg(x)=B,且A>B,则存在δ>0, x→>x0 当 0g(x) 证取 A-B >0。由limf(x)=A,彐a>0,Vx(04x-x0ka) x→x f(x)-4ks0,从而 a+B 0,x(04x-x0k2) x→x0 A+B l8(x)-Bks,从而g( 2 取δ=min{1,2},当04x-x0k<δ,成立 a+B 证毕
(2) 局部保序性 定理3.1.2 若 lim x→x0 f (x) = A，lim x→x0 g(x) = B，且 A B，则存在 0， 当 0 0 | | − x x 时，成立 f x( ) g(x)。 证 取 0 = 0 2 A B− 。由 lim x→x0 f (x) = A， 1 0， x ( 0 1 0 | | − x x )： | ( ) | f x A − 0 ，从而 2 A B + f (x) ； 由 lim x→x0 g(x)= B , 2 0， x ( 0 2 0 | | − x x )： | ( ) | g x B− 0 ，从而 g x( ) A + B 2 。 取 = min { 1 2 , }，当 0 0 | | − x x ，成立 g(x) 2 A B + f (x) 。 证毕