§2重积分的性质与计算 重积分的性质 性质1(线性性)设f和g都在区域Ω上可积,a,B为常数,则 o+Bg在Ω上也可积,并且 (af+Bg)dv=a fdv+Blgdv 性质2(区域可加性)设区域Ω被分成两个内点不相交的区域 Ω21和Ω2,如果∫在Ω上可积,则f在g1和Ω2上都可积;反之,如 果f在Ω21和g2上可积,则f也在g上可积。此时成立 fdv=fdv+fdv
重积分的性质 性质 1（线性性）设 f 和 g 都在区域 Ω 上可积，, 为常数，则 f + g 在 Ω 上也可积，并且 ( )d f g V + = f Vd + g Vd 。 性质 2（区域可加性） 设区域 Ω 被分成两个内点不相交的区域 Ω1和 Ω2，如果 f 在 Ω 上可积，则 f 在 Ω1和 Ω2上都可积；反之，如 果 f 在 Ω1和 Ω2上可积，则 f 也在 Ω 上可积。此时成立 f Vd 1 = f Vd + 2 f Vd 。 §2 重积分的性质与计算
性质3设被积函数∫=1。当n=2时 ∫dxdy=』dxdy=9的面积 当n≥3时 ∫d=∫ld=9的体积 性质4(保序性)设∫和g都在区域Ω上可积,且满足∫≤g, 则成立不等式 fdv≤|gd
性质 3 设被积函数 f 1。当 n = 2 时 d dx y = = 1 d dx y Ω 的面积； 当 n 3时 dV = = 1dV Ω 的体积。 性质 4 （保序性） 设 f 和g 都在区域 Ω 上可积，且满足 f g ， 则成立不等式 f Vd g Vd
性质5设∫在区域g上可积,M与m分别为f在g上的上确界 和下确界,则成立不等式 m≤fdW≤MV, 其中V当n=2时为g的面积,当n>2时为9的体积。 性质5是性质4的直接推论。 性质6(绝对可积性)设f在区域Ω上可积,则|∫也在Ω2上可 积,且成立不等式 ∫fdr|≤∫fd?
性质 5 设 f 在区域 Ω 上可积， M 与 m 分别为 f 在 Ω 上的上确界 和下确界，则成立不等式 m V f Vd M V ， 其中V 当n = 2时为 Ω 的面积，当n 2时为 Ω 的体积。 性质 5 是性质 4 的直接推论。 性质 6（绝对可积性） 设 f 在区域 Ω 上可积，则| f |也在 Ω 上可 积，且成立不等式 | f Vd | | | d f
性质7(乘积可积性)设∫和g都在区域g上可积,则∫·g也 在Ω2上可积 性质8(积分中值定理)设f和g都在区域Ω上可积,且g在g 上不变号。设M与m分别为f在Ω上的上确界和下确界,则存在常数 u∈[m,M],使得 f·gdV=|gdV。 特别地,如果∫在Ω上连续,则存在ξ∈Ω,使得 f gdv=f(5)gdv
性质 7 （乘积可积性） 设 f 和 g 都在区域 Ω 上可积，则 f g 也 在 Ω 上可积。 性质 8（积分中值定理） 设 f 和 g 都在区域 Ω 上可积，且 g 在 Ω 上不变号。设 M 与m分别为 f 在 Ω 上的上确界和下确界，则存在常数 [m,M ]，使得 f g V = d g Vd 。 特别地，如果 f 在 Ω 上连续，则存在 Ω，使得 f g V = d f ( ) g Vd
矩形区域上的重积分计算 设D=[an,b]×c,d是R2上的闭矩形,z=f(x,y是D上的非负连续函 数,则以D为底、曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积V正是二重积 分 f(x,y)dxdy f(x, y) 用过(x,00)(a≤x≤b)点,且与z yz平面平行的平面截这个曲顶柱 体,所得的截面是曲边梯形(见图 132.1),其面积为 A(x)=f(x,y)dy 图132.1
矩形区域上的重积分计算 设 D = [ , ] [ , ] a b c d 是 2 R 上的闭矩形，z = f (x, y)是D上的非负连续函 数，则以D为底、曲面z = f (x, y)为顶的曲顶柱体的体积 V 正是二重积 分 f x y x y ( , )d d D 。 用过(x,0,0) (a x b)点，且与 yz 平面平行的平面截这个曲顶柱 体，所得的截面是曲边梯形（见图 13.2.1），其面积为 = d c A(x) f (x, y)d y。 a x b x y z z = f (x, y) O A(x) 图13.2.1
利用定积分中的结论,即知此曲顶柱体的体积为 V= A(x)dx f(x,y)dydx (( Lx, D )dy dx;称为/(xy)先对y,再对x的累次积分,习惯上写成 rdxf(xy)dy,因此有等式 Js(x, y)dxdy= dxf(x,y)d
利用定积分中的结论，即知此曲顶柱体的体积为 = b a V A(x)d x = b a d c f (x, y)d y d x。 b a d c f (x, y)d y d x称为 f (x, y) 先对 y ，再对x的累次积分，习惯上写成 b a d c d x f (x, y)d y，因此有等式 f x y x y ( , )d d D = b a d c d x f (x, y)d y
这个几何方法提示我们:重积分可以通过累次积分来计算。 定理13.2.1设二元函数f(x,y)在闭矩形D=[a,b]xc,d上可积。 若积分 h(x)=0f(x,y)dy 对于每个x∈[a,b存在,则hx)在[a,b上可积,并有等式 f(x, y)dxdy= h(x)dx f(x, y)dy dx= dx f(x,y)d y
这个几何方法提示我们：重积分可以通过累次积分来计算。 定理 13.2.1 设二元函数 f (x, y)在闭矩形D = [ , ] [ , ] a b c d 上可积。 若积分 h(x) = d c f (x, y)d y 对于每个x [a,b]存在，则h(x) 在[a,b]上可积，并有等式 f x y x y ( , )d d D = b a h(x)d x = b a d c f (x, y)d y d x = b a d c d x f (x, y)d y
证在a,b]中插入分点 a =to <x 并记Ax=x1-x(i=12,…,n)。显然只要证明 m∑M)Ax= Js(x, y)dxdy, D 这里为[x1,x中任意一点,A为所有Ax的最大者。 再在[c,d]中插入分点 C 并记y=y-y/(j=12,…,m)。过a6和[e,上的这些分点分别作 平行于坐标轴的直线将D分成许多小矩形(这是D的一个划分),记 =[x-1,xx[y-1,y,t=1,2,…,n,j=1,2,…,m; m,=inf if(x,y)),Mi=sup if(x, y)) (x,y)∈D
证 在[a,b]中插入分点 a = x0 x1 xn = b ， 并记 i = i − i−1 x x x （i = 1,2, , n）。显然只要证明 = = → n i i i h x 1 0 lim ( ) f x y x y ( , )d d D ， 这里 i 为[ , ] i 1 i x x − 中任意一点， 为所有xi 的最大者。 再在[c, d]中插入分点c = y0 y1 ym = d ， 并记 j = j − j−1 y y y （ j = 1,2, ,m）。过[a,b]和[c,d]上的这些分点分别作 平行于坐标轴的直线将D分成许多小矩形（这是D的一个划分），记 1 1 [ , ] [ , ] ij i i j j x x y y D = − − ，i = 1,2, ,n; j = 1,2, ,m； ( , ) inf { ( , )} ij x y ij m f x y = D ， ( , ) sup { ( , )} ij x y ij M f x y = D
由于5,∈[x1,x,],所以 ∑m~y≤M)=∑,f(5,y)dys∑M4y,i=12,…m 11j-1 将这些不等式分别乘以Δx,再把它们逐个加起来就得 ∑∑mA≤∑51A1≤∑∑M2Ax4y,° 不等式的左右两端正是f(x,y)在所作划分上的 Darboux小和与大 和,由于f(x,y)在D上可积,当所有Ax,△y都趋于零时,这个不等式 两端都趋于 f(x, ydxdy 由极限的夹逼性,即得到 广Mx)dx=mn∑C)x=jxy)dxdy
由于 [ , ] i i 1 i x x − ，所以 = = = = − m j i j j m j y y i i m j i j j m y h f y y M y j j 1 1 1 1 ( ) ( , )d ，i = 1,2, , n。 将这些不等式分别乘以xi，再把它们逐个加起来就得 = = = = = n i m j i j i j n i i i n i m j i j i j m x y h x M x y 1 1 1 1 1 ( ) 。 不等式的左右两端正是 f (x, y)在所作划分上的 Darboux 小和与大 和，由于 f (x, y)在 D上可积，当所有 i j x ,y 都趋于零时，这个不等式 两端都趋于 f x y x y ( , )d d D 。 由极限的夹逼性，即得到 b a h(x)d x = = = → n i i i h x 1 0 lim ( ) f x y x y ( , )d d D
可以同样推出,若f(x,y)在D={ab×e,d]上可积,且对所有 y∈ca,积分(xy)dx都存在,则fxy先对x,再对y的累次积分 rdy(xy)dx也存在,且成立 f(x, y)dxdy d yl f(x, y)dx
可以同样推出，若 f (x, y) 在 D = [ , ] [ , ] a b c d 上可积，且对所有 y [c,d]，积分 b a f (x, y)d x 都存在，则 f (x, y) 先对x，再对 y 的累次积分 d c b a d y f (x, y)d x也存在，且成立 f x y x y ( , )d d D = d c b a d y f (x, y)d x
