§4任意项级数 任意项级数 个级数,如果只有有限个负项或有限个正项,都可以用正项级 数的各种判别法来判断它的收敛性。如果一个级数既有无限个正项, 又有无限个负项,那么正项级数的各种判别法不再适用 这样的级数,即通项任意地可正或可负的级数,称为任意项级数
任意项级数 一个级数，如果只有有限个负项或有限个正项，都可以用正项级 数的各种判别法来判断它的收敛性。如果一个级数既有无限个正项， 又有无限个负项，那么正项级数的各种判别法不再适用。 这样的级数，即通项任意地可正或可负的级数，称为任意项级数。 §4 任意项级数
定理941(级数的 Cauchy收敛原理)级数∑xn收敛的充分 必要条件是:对任意给定的ε>0,存在正整数N,使得 xn+1+xn2+…,+x ,n>N成立。 定理结论还可以叙述为:对任意给定的E>0,存在正整数N,使 得 n+1 n+2 x N与一切正整数p成立
定理 9.4.1（级数的 Cauchy 收敛原理） 级数∑ ∞ n=1 n x 收敛的充分 必要条件是：对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使得 ｜xn+1 + xn+2 + … + xm｜= ∑ += m nk k x 1 n >N 成立。 定理结论还可以叙述为：对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使 得 ｜xn+1+ xn+2 + … + xn+p｜= ∑ = + p k kn x 1 N 与一切正整数 p 成立
定理941(级数的 Cauchy收敛原理)级数∑xn收敛的充分 必要条件是:对任意给定的ε>0,存在正整数N,使得 xn+1+xn2+…,+x ,n>N成立。 定理结论还可以叙述为:对任意给定的E>0,存在正整数N,使 得 m+1+xn+2+ x N与一切正整数p成立 取p=1,上式即为|xn1|<,于是就得到级数收敛的必要条 件 limx=0
取 p = 1，上式即为｜xn+1｜0，存在正整数 N，使得 ｜xn+1 + xn+2 + … + xm｜= ∑ += m nk k x 1 n >N 成立。 定理结论还可以叙述为：对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使 得 ｜xn+1+ xn+2 + … + xn+p｜= ∑ = + p k kn x 1 N 与一切正整数 p 成立
Leibniz级数 定义94.1如果级数∑x=∑(-1)un(ln>0),则称此级数为 交错级数。 进一步,若级数∑(-un(n>0)满足{mn}单调减少且收敛 于0,则称这样的交错级数为 Leibniz级数
Leibniz 级数 定义 9.4.1 如果级数∑ ∞ n=1 n x = ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u （un >0），则称此级数为 交错级数。 进一步，若级数 ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u （un >0）满足｛un｝单调减少且收敛 于 0，则称这样的交错级数为 Leibniz 级数
Leibniz级数 定义94.1如果级数∑x=∑(-1)un(ln>0),则称此级数为 交错级数。 进一步,若级数∑(-un(n>0)满足{mn}单调减少且收敛 于0,则称这样的交错级数为 Leibniz级数。 定理942( Leibniz判别法) Leibniz级数必定收敛。 证首先有 n+1+xm+2+…+xn h2+l13-…+(-1) punt|。 当p是奇数时, un+1-un+2 tun+3 untp (n+1-ln2)+(un13-ln+4)+…+lmp>0 L+1-(ln+2-ln+3)-… l1.)≤l n+p- P n+13
定理 9.4.2（Leibniz 判别法） Leibniz 级数必定收敛。 证 首先有 ｜xn+1 + xn+2 + … + xn+p｜ = ｜un+1 - un+2 +un+3 - … + (- 1)p+1un+p｜。 当 p 是奇数时， un+1 - un+2 +un+3 - … + (- 1)p+1un+p = ⎩⎨⎧ ≤−−−−− >++−+− + ++ +−+ + ++ ++ + ()( ;) )()( ,0 1 32 1 1 21 43 n nn npnpn nn nn pn uuu uuu uuuu u " " Leibniz 级数 定义 9.4.1 如果级数∑ ∞ n=1 n x = ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u （un >0），则称此级数为 交错级数。 进一步，若级数 ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u （un >0）满足｛un｝单调减少且收敛 于 0，则称这样的交错级数为 Leibniz 级数
当p是偶数时, P n+1-l n+2 +(l l1.A)+…+(l n+p n+p u 0,存在正整数N,使得对一切 n→0 1> h+1<E, 于是,对一切正整数p成立 xr+1+xn+2+…+xn+p≤lm+1<E, 根据定理941, Leibniz级数∑(-)un收敛
当 p 是偶数时， un+1 - un+2 +un+3 - … + (- 1)p+1un+p = ⎩⎨⎧ 0，存在正整数 N，使得对一切 n >N， un+1< ε ， 于是，对一切正整数 p 成立 ｜xn+1 + xn+2 + … + xn+p｜≤ un+1< ε ， 根据定理 9.4.1，Leibniz 级数∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u 收敛
注由定理942的证明,可以进一步得到下述结论: (1)对于 Leibniz级数∑(-1)un,成立 0≤∑(-1)un≤l1; 2)对于 Leibniz级数的余和rn=∑(-1)u4,成立 kant
注 由定理 9.4.2 的证明，可以进一步得到下述结论： (1) 对于 Leibniz 级数∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u ，成立 0≤ ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u ≤ u1; (2) 对于 Leibniz 级数的余和 rn = ∑ ∞ += + − 1 1 )1( nk k k u ，成立 ｜rn｜≤ un+1
注由定理942的证明,可以进一步得到下述结论: (1)对于 Leibniz级数∑(-)un,成立 0≤∑(-1)un≤l1; 2)对于 Leibniz级数的余和rn=∑(-1)lu4,成立 kant 由于∑n9>0)∑Dy(00),2(如n,∑(个 n3+1 等级数都是 Leibniz级数,由定理942可知它们都是收敛的
由于∑ ∞ = + − 1 1 )1( n p n n （p >0），∑ ∞ = − 2 ln )1( n q n n （q >0），∑ ∞ = − 2 ln )1( n n n n , ∑ ∞ = + + − 1 3 2 1 1 )1( n n nn 等级数都是 Leibniz 级数，由定理 9.4.2 可知它们都是收敛的。 注 由定理 9.4.2 的证明，可以进一步得到下述结论： (1) 对于 Leibniz 级数∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u ，成立 0≤ ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u ≤ u1; (2) 对于 Leibniz 级数的余和 rn = ∑ ∞ += + − 1 1 )1( nk k k u ，成立 ｜rn｜≤ un+1
例941级数∑m(厅+1)收敛 证易知 sm(G7+)=(1y3m(N厅+1-小7=(-ysm n-+1+n 显然sin死是单调减少数列,且 n+1+n lim sin 0 n→) √n2+1+n 所以∑sm(V厅+1是Lebn级数。由定理942可知它是收敛的。 n=1
例 9.4.1 级数 ( ) 2 1 sin 1 π n n ∞=∑ + 收敛。 证 易知 ( ) 2 sin 1 n + π = (- 1)n ( ) 2 sin 1 n n + − π = (- 1)n 2 π sin n n +1+ 。 显然 2 π sin n n 1 ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎪ + + ⎪ 是单调减少数列，且 lim n→∞ 2 π sin n n +1+ = 0， 所以 ( ) 2 1 sin 1 π n n ∞=∑ + 是 Leibniz 级数。由定理 9.4.2 可知它是收敛的
Abel判别法与 Dirichlet判别法 引理941(Abe变换)设{an},{bn}是两数列,记B=∑b(k 12 则 ∑(a1-ak)B k=1 k=1 证 ∑akbk=a1B1+∑a(B-B1) a1B1+∑aB4-∑a ∑aBk-∑aB1+ k=1 k=1 Bn∑(a41-a) 上式也称为分部求和公式
Abel 判别法与 Dirichlet 判别法 引理 9.4.1（Abel 变换） 设{an }，{bn }是两数列，记 Bk =∑ = k i bi 1 （k = 1,2,…），则 ∑ = p k kkba 1 = ap Bp- ∑ − = + − 1 1 1 )( p k Baa kkk 。 证 ∑ = p k ba kk 1 = a1B1 +∑ = − − p k BBa kkk 2 1 )( = a1B1 + ∑ = p k Ba kk 2 - ∑ = − p k Ba kk 2 1 =∑ − = 1 1 p k Ba kk - ∑ − = + 1 1 1 p k Ba kk + ap Bp = ap Bp- ∑ − = + − 1 1 1 )( p k Baa kkk 。 上式也称为分部求和公式