§3有理函数的不定积分及其应用 有理函数的不定积分 形如2n(x的函数称为有理函数,这里p(x)和④(x)分别是m次和 q,(x) n次多项式。在本节中,我们将通过介绍求一般有理函数的不定积分 的方法,证明这样的一个结论:有理函数的原函数一定是初等函数。 求有理函数的不定积分是我们在实际应用中经常遇到的问题。此 外,对于求某些其他类型函数的不定积分,如无理函数、三角函数的 不定积分问题,也可以通过适当的变换化成求有理函数的不定积分问 题而得到解决
有理函数的不定积分 形如 p x q x m n ( ) ( ) 的函数称为有理函数，这里 p x m ( )和q x n ( )分别是m次和 n次多项式。在本节中，我们将通过介绍求一般有理函数的不定积分 的方法，证明这样的一个结论：有理函数的原函数一定是初等函数。 求有理函数的不定积分是我们在实际应用中经常遇到的问题。此 外，对于求某些其他类型函数的不定积分，如无理函数、三角函数的 不定积分问题，也可以通过适当的变换化成求有理函数的不定积分问 题而得到解决。 §3 有理函数的不定积分及其应用
在考虑有理函数的不定积分∫2时,我们总假定(是真 q(x) 分式,即成立m<n。因为不然的话,可以通过多项式的带余除法,使 得 pm( r(x) (x) q, (x qn(x 其中pn(x)是m-n次多项式,而r(x)是次数不超过n-1的多项式。这 样就得到 Pm (x r(x pm(x)dx+ 为了讨论的方便,我们假定qn(x)的最高项系数为1
在考虑有理函数的不定积分 ( ) ( ) m n p x x q x ∫ d 时，我们总假定 p x q x m n ( ) ( ) 是真 分式，即成立m n < 。因为不然的话，可以通过多项式的带余除法，使 得 p x q x p x r x q x m n m n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + − ， 其中 p x m n− ( ) 是m n − 次多项式，而r x( )是次数不超过 n − 1的多项式。这 样就得到 ( ) ( ) m n p x x q x ∫ d ( ) ( ) ( ) m n n r x p xx x q x = + ∫ ∫ − d d 。 为了讨论的方便，我们假定q x n ( )的最高项系数为 1
由代数学基本定理,分母多项式q(x)在复数域上恰有n个根。 由于q(x)是实多项式,因此它的根要么是实根,要么是成对出现的 共轭复根。设qn(x)的全部实根为a1,a2,…,a,其重数分别为 m,m2,…;m,全部复根为月±i",2±12,…”,月±iy,其重数分别 为n1,n2 ∑m2+ n,=n k=1 k=1 记5=-,n2=B2+y2(2<n2),则在实数域上可将qn(x) 因式分解为 q(x)=I(x-a)·(x2+25x+7
由代数学基本定理，分母多项式q x n ( )在复数域上恰有 n个根。 由于q x n ( )是实多项式，因此它的根要么是实根，要么是成对出现的 共轭复根。设q x n ( )的全部实根为 α1 ,α 2 ,…, α i ，其重数分别为 m1 , m 2 ,…, mi，全部复根为 1 1 β ± iγ , 2 2 β ± iγ ,…, i β j j ± γ ，其重数分别 为 n1 , n 2 ,…, n j （ m nn k k i k k j = = ∑ ∑ + = 1 1 2 ）。 记 ξ k −= β k ， 222 kkk += γβη （ 2 2 k k ξ < η ），则在实数域上可将q x n ( ) 因式分解为 q x n ( ) = ∏∏= = ++⋅− j k n kk i k m k k k x xx 1 2 2 1 α ηξ )2()(
求有理函数的不定积分∫2(的关键,是将有理函数2(分解 成简单分式之和,再分别求简单分式的不定积分。 定理6.31设有理函数x是真分式,多项式q(x)有k重实根a, q(x) 即q(x)=(x-a)q1(x),q1(a)≠0。则存在实数与多项式p(x),p(x)的次 数低于(x-a)q1(x)的次数,成立 (x)2 PI qx)(x-a)(x-a)q,(x)
求有理函数的不定积分 ( ) ( ) mn p x x q x ∫ d 的关键，是将有理函数 )( )(xq xpnm 分解 成简单分式之和，再分别求简单分式的不定积分。 定理 6.3.1 设有理函数 )( )(xq xp 是真分式，多项式 xq )( 有k 重实根α ， 即 )()()( 1 xqxxq k −= α ， 0)( q1 α ≠ 。则存在实数λ 与多项式 )(1 xp ， )(1 xp 的次 数低于 )()( 1 1 xqx k− −α 的次数，成立 )()( )( )( )( )( 1 1 1 xqx xp xq x xp k k− − + − = α α λ
求有理函数的不定积分∫2(的关键,是将有理函数2(分解 成简单分式之和,再分别求简单分式的不定积分。 定理6.3.1设有理函数叫是真分式,多项式q(x)有k重实根a, q(x) 即q(x)=(x-a)q1(x),q1(a)≠0。则存在实数与多项式p(x),p(x)的次 数低于(x-a)q1(x)的次数,成立 (x)2 PI qx)(x-a)(x-a)q,(x) 证令P()=,则x=a是多项式(x)-(x)的根,设 q1(a) p(x)-nqi (x)=(x-a)p,(x) 就得到 p(x) n P1 q(x)(x-a)(x-a)-q;(x)
证 令 λ α α = )( )( q1 p ，则 x = α 是多项式 )()( 1 − λ xqxp 的根，设 )()( 1 − λ xqxp )()( 1 = −α xpx ， 就得到 )()( )( )( )( )( 1 1 1 xqx xp xq x xp k k− − + − = α α λ 。 求有理函数的不定积分 ( ) ( ) mn p x x q x ∫ d 的关键，是将有理函数 )( )(xq xpnm 分解 成简单分式之和，再分别求简单分式的不定积分。 定理 6.3.1 设有理函数 )( )(xq xp 是真分式，多项式 xq )( 有k 重实根α ， 即 )()()( 1 xqxxq k −= α ， 0)( q1 α ≠ 。则存在实数λ 与多项式 )(1 xp ， )(1 xp 的次 数低于 )()( 1 1 xqx k− −α 的次数，成立 )()( )( )( )( )( 1 1 1 xqx xp xq x xp k k− − + − = α α λ
定理6.3.2设有理函数叫)是真分式,多项式(x)有重共轭复 q(x) 根B±iy,即q(x)=(x2+22x+n2)q*(x),q*(B±1)≠0,其中5=-B, n2=B2+y2(2<n2)。则存在实数,v和多项式p*(x),p*(x)的次数 低于(x2+25x+n2)q*(x)的次数,成立 p(r) Aa+v p(x q(x)(x2+2x+m2)(x2+2x+m -1a*(x
定理 6.3.2 设有理函数 )( )(xq xp 是真分式，多项式 xq )( 有l重共轭复 根 β ± iγ ,即 )(*)2()( 2 2 xqxxxq l ++= ηξ ， q*( i ) 0 β ± γ ≠ ，其中 ξ = −β ， 222 += γβη （ 22 < ηξ ）。则存在实数μ,ν 和多项式 xp )(* ， xp )(* 的次数 低于 )(*)2( 2 12 xqxx l− ++ ηξ 的次数，成立 )(*)2( )(* )( )2( )( 2 2 2 12 xqxx xp xx x xq xp l l− ++ + ++ + = ηξ ηξ μ ν
定理6.3.2设有理函数D(x是真分式,多项式x)有1重共轭复 q(x 根B±iy,即q(x)=(x2+22x+n2)q*(x),q*(B±1y)≠0,其中5=-B, n2=B2+y2(2<n2)。则存在实数,v和多项式p*(x),p*(x)的次数 低于(x2+25x+n2)q*(x)的次数,成立 p(r) ua tv p(x q(x)(x2+2x+m2)(x2+2x+m2)q*(x) 证令 P(B+iy) (B+1y)+v 9(B+ir 其中u,v为实数,则 p(B-in) (B-1y)+ (B-1y) 于是x=B±订y是多项式p(x)-(Aax+v)q*(x)的根,设 p(x)-(a+v)q*(x)=(x2+25x+n2)p*(x), 就得到 p(x) Ⅸ+V q(x)(x2+25x+n2)(x2+25x+n2)2q*(x)
证 令 ( i) ( i) *( i ) p q β γ μ βγν β γ + = + + + ， 其中 μ,ν 为实数，则 ( i) ( i) *( i ) p q β γ μ βγν β γ − = − + − ， 于是 x = β ± iγ 是多项式 − μ + ν xqxxp )(*)()( 的根，设 − μ + ν xqxxp )(*)()( = )(*)2( 2 2 ++ ηξ xpxx ， 就得到 )(*)2( )(* )( )2( )( 2 2 2 12 xqxx xp xx x xq xp l l− ++ + ++ + = ηξ ηξ μ ν 。 定理 6.3.2 设有理函数 )( )(xq xp 是真分式，多项式 xq )( 有 l重共轭复 根 β ± iγ ,即 )(*)2()( 2 2 xqxxxq l ++= ηξ ， q*( i ) 0 β ± γ ≠ ，其中 ξ = − β ， 222 += γβη （ 22 < ηξ ）。则存在实数 μ,ν 和多项式 xp )(* ， xp )(* 的次数 低于 )(*)2( 2 12 xqxx l− ++ ηξ 的次数，成立 )(*)2( )(* )( )2( )( 2 2 2 12 xqxx xp xx x xq xp l l− ++ + ++ + = ηξ ηξ μ ν
重复应用定理6.3.1与6.3.2,可将有理涵数 pm(x) pm(x) 4(x)(x-a1)"2+25x+m k=1 分解成简单分式之和,分解的规律是:若q,(x)含有因子(x-a1),则 在和式中就有项 k2 λm x-ar (x-a (x-an) 若q(x)含有因子(x2+2x+n2),则在和式中就有项 x+k kI uk,xtve k2 ukn xtv x+25 x+n(x+25x+n) (x2+25kx+7k) x+v =∑∑"+∑∑ (x X-C (x +25 x+nk) 其中λ、以、v可以用待定系数法具体算出来
重复应用定理 6.3.1 与 6.3.2，可将有理函数 p x q x m n ( ) ( ) ∏∏= = ++⋅− = j k n kk i k m k m k k x xx xp 1 2 2 1 )2()( )( α ηξ 分解成简单分式之和，分解的规律是：若q x n ( )含有因子 mk k x − α )( ，则 在和式中就有项 k k x α λ − 1 , 2 2 )( k k x α λ − ,…, k k m k mk x α )( λ − ； 若q x n ( )含有因子 k n kk xx )2( 2 2 ++ ηξ ，则在和式中就有项 2 2 11 2 kk kk xx x ηξ μ ν ++ + , 2 22 2 2 )2( kk kk xx x ηξ μ ν ++ + ,…, k k k n kk nknk xx x )2( 2 2 ηξ μ ν ++ + 。 即 p x q x m n ( ) ( ) ∑∑ ∑∑ = = = = ++ + + − = j k n r r kk rkrk i k m r r k rk k k xx x x 1 1 2 2 1 1 ηξ )2()( μ ν α λ ， 其中 λ μ 、、 ν rkrkrk 可以用待定系数法具体算出来
由不定积分的线性性质,即知 ∫asa=∑∑ X+y (x-a,) +∑∑ 25kx+) 它所涉及的不定积分只有两种类型
由不定积分的线性性质，即知 ( ) ( ) m n p x x q x ∫ d 2 2 1 1 1 1 ( ) (2 ) m n k k i j kr kr k r r r k r k k k r k x x x x xx μ ν λ = = α ξ = = η + = + − + + ∑∑ ∑∑ ∫ ∫ d d ， 它所涉及的不定积分只有两种类型：
由不定积分的线性性质,即知 「2ax=∑∑列 X+v k=l r=l (x-a)y台(x2+25x+ny 它所涉及的不定积分只有两种类型: (n≥1) (x-a 在例6.2.1,我们已经得到 In x-a+C +C.n≥2 x-a
⑴ ( )n x x −α ∫ d （n ≥ 1）。 在例 6.2.1，我们已经得到 1 ln| | , 1, 1 1 ( ) , 2. 1( ) n n xC n x x C n n x α α α − ⎧ −+ = ⎪ = ⎨ − −⋅ + ≥ ⎪⎩ − − ∫ d 由不定积分的线性性质，即知 ( ) ( ) m n p x x q x ∫ d 2 2 1 1 1 1 ( ) (2 ) m n k k i j kr kr k r r r k r k k k r k x x x x xx μ ν λ = = α ξ = = η + = + − + + ∑∑ ∑∑ ∫ ∫ d d ， 它所涉及的不定积分只有两种类型：