第四章微分 §1微分和导数 微分的定义 设y=f(x)是一个给定的函数, 在点x附近有定义。若f(x)在x处的(+△ 自变量产生了某个增量Δx变成了 f(r) x+Ax(增量A可正可负,但不为 「△x 零),那么它的函数值也相应地产 xx+△x 生了一个增量 图4.1.2 △y(x)=f(x+△x)-f(x), 在不会发生混淆的场合,或者是无需特别指明自变量的时候,一般就 将y(x)简单地记为Ay
微分的定义 设 y fx = ( )是一个给定的函数， 在点 x 附近有定义。若 f x( )在 x 处的 自变量产生了某个增量Δx 变成了 x + Δx （增量Δx 可正可负，但不为 零），那么它的函数值也相应地产 生了一个增量 Δyx f x x f x () ( ) () = + Δ − ， 在不会发生混淆的场合，或者是无需特别指明自变量的时候，一般就 将Δy x( )简单地记为Δy 。 §1 微分和导数 第四章 微 分
定义4.1.1对函数y=f(x)定义域中的一点x,若存在一个只与 有关,而与Ax无关的数g(x),使得当Ax→0时恒成立关系式 △y=g(x)Ax+O(△x), 则称f(x)在x处的微分存在,或称f(x)在x处可微 若函数y=f(x)在某一区间上的每一点都可微,则称f(x)在该区间 上可微
定义4.1.1 对函数 y fx = ( )定义域中的一点 0 x ，若存在一个只与 0 x 有关，而与Δx 无关的数 )( 0 xg ，使得当Δx → 0时恒成立关系式 0 Δy g = Δ+ Δ () ( ) x xox ， 则称 f x( )在 0 x 处的微分存在，或称 f x( )在 0 x 处可微。 若函数 y fx = ( )在某一区间上的每一点都可微，则称 f x( )在该区间 上可微
由定义可知,若f(x)在x处是可微的,那么当Ax→0时Ay也是无 穷小量,且当g(x)≠0时,成立等价关系 △y~g(x)Ax “g(x)Ax”这一项也被称为Ay的线性主要部分 f(x)在x处可微且Ax→0时,将△x称为自变量的微分,记作dx, 而将Ay的线性主要部分g(x)dx(即g(x)Ax)称为因变量的微分,记作dy 或f(x),于是就有以下的微分关系式 dy=g(x)dx
由定义可知，若 f x( )在 x 处是可微的，那么当Δx → 0时Δy 也是无 穷小量，且当 g( ) x ≠ 0时，成立等价关系 Δy gx x ~ ()Δ 。 “ gx x ( )Δ ”这一项也被称为Δy 的线性主要部分。 当 f x( )在 x 处可微且Δx → 0时，将Δx 称为自变量的微分，记作 xd ， 而将Δy 的线性主要部分 gx x ( )d （即 gx x ( )Δ ）称为因变量的微分，记作 yd 或 f ( ) x d ，于是就有以下的微分关系式 y = gx x ( ) d d
由定义可知,若f(x)在x处是可微的,那么当Ax→0时4y也是无 穷小量,且当g(x)≠0时,成立等价关系 △y~g(x)Ax “g(x)Ax”这一项也被称为y的线性主要部分。 当∫(x)在x处可微且Ax→0时,将△x称为自变量的微分,记作dx, 而将Ay的线性主要部分g(x)dx(即g(x)Ax)称为因变量的微分,记作d 或刂f(x),于是就有以下的微分关系式 dy=g(x dx 例4.1.1设y=f(x)=x2,对于在任意一点x∈(-0,+∞)处所产生的 增量Δx,有 △y=(x+△ y 2x△x+ 由定义,函数y=x2在x处是可微的,它的微分为 dy=d(x)=2xdx
例4.1.1 设 2 )( == xxfy ，对于在任意一点 x ∈ −∞ + ∞),( 处所产生的 增量Δx ，有 2 2 2 Δy x x x xx x = +Δ − = Δ +Δ () 2 由定义，函数 y x = 2在 x 处是可微的，它的微分为 2 y x xx = = ()2 d d d 。 由定义可知，若 f x( )在 x 处是可微的，那么当Δx → 0时Δy 也是无 穷小量，且当 g( ) x ≠ 0时，成立等价关系 Δy gx x ~ ()Δ 。 “ gx x ( )Δ ”这一项也被称为Δy的线性主要部分。 当 f x( )在 x 处可微且Δx → 0时，将Δx 称为自变量的微分，记作 xd ， 而将Δy 的线性主要部分 gx x ( )d （即 gx x ( )Δ ）称为因变量的微分，记作 yd 或 f ( ) x d ，于是就有以下的微分关系式 y = gx x ( ) d d
例4.1.2设y=f(x)=yx2,在x=0处,有 △y=f(△x)-f(0)=VAx2, 当Ax→0时,VAx2趋于0的阶比Ax的阶低,因而Ay不可能表示成Ax 的线性项与高阶项的和。由定义,函数y=x2在x=0处是不可微的。 函数y=x2虽然不是(-∞,+∞)上的可微函数,但它在(-∞,0)和 (0,+∞)上却都是可微的
例4.1.2 设 y fx x = = ( ) 3 2 ，在 x = 0处，有 )0()( 3 Δ=−Δ=Δ xfxfy 2， 当Δx → 0时， Δx 3 2 趋于0的阶比Δx 的阶低， 因而Δy 不可能表示成Δx 的线性项与高阶项的和。由定义，函数 3 2 = xy 在 x = 0处是不可微的。 函数 y x = 3 2 虽然不是 −∞ + ∞),( 上的可微函数，但它在( ,) −∞ 0 和 + ∞),0( 上却都是可微的
例4.1.2设y=f(x)=yx2,在x=0处,有 △y=f(△x)-f(0)=Vx 当Ax→0时,VAx2趋于0的阶比Ax的阶低,因而Ay不可能表示成Ax 的线性项与高阶项的和。由定义,函数y=x2在x=0处是不可微的。 函数y=x2虽然不是(-∞,+∞)上的可微函数,但它在(-∞,0)和 (0,+∞)上却都是可微的。 注意:若函数f(x)在x处是可微的,那么当Ax→0时必有4y→0, 即f(x)在x处连续,所以可微必定连续。 但要注意该结论的逆命题不成立,如上例中的函数y=Vx2, 在x=0处连续,但它在这一点处不可微
注意：若函数 f x( )在 x 处是可微的，那么当Δx → 0时必有Δy → 0， 即 f x( )在 x 处连续，所以可微必定连续。 但要注意该结论的逆命题不成立，如上例中的函数 y x = 3 2 ，它 在 x = 0处连续，但它在这一点处不可微。 例4.1.2 设 y fx x = = ( ) 3 2 ，在 x = 0处，有 )0()( 3 Δ=−Δ=Δ xfxfy 2， 当Δx → 0时， Δx 3 2 趋于0的阶比Δx 的阶低， 因而Δy 不可能表示成Δx 的线性项与高阶项的和。由定义，函数 3 2 = xy 在 x = 0处是不可微的。 函数 y x = 3 2 虽然不是 −∞ + ∞),( 上的可微函数，但它在( ,) −∞ 0 和 + ∞),0( 上却都是可微的
微分和导数 若f(x)在x处可微,则有关系式 △y=g(x)△x+o(△x), 其中g(x)是当Ax→0时,因变量的差分与自变量的差分之比A (称为差商)的极限值。 定义4.1.2若函数y=f(x)在其定义域中的一点x处极限 lim Ay= lim /(xo+ Ax)-1(>o) Ax→>0△x△x→>0 △x 存在,则称f(x)在x处可导,并称这个极限值为f(x)在x处的导数, 记为f(x)(或y(x), Xo x=Xo 若函数y=f(x)在某一区间上的每一点都可导,则称f(x)在该区 间上可导
微分和导数 若 f x( )在 0 x 处可微，则有关系式 )()( 0 Δ = Δ + Δxoxxgy ， 其中 )( 0 xg 是当Δx → 0时，因变量的差分与自变量的差分之比 ΔΔyx (称为差商)的极限值。 定义4.1.2 若函数 = xfy )( 在其定义域中的一点 0 x 处极限 x xfxxf x y x x Δ −Δ+ = Δ Δ →Δ →Δ )()( lim lim 0 0 0 0 存在，则称 f x( )在 0 x 处可导，并称这个极限值为 f x( )在 0 x 处的导数， 记为 )( 0 ′ xf （或 )( 0 ′ xy ， 0 x x f x = d d ， 0 x x y x = d d ）。 若函数 y fx = ( )在某一区间上的每一点都可导，则称 f x( )在该区 间上可导
f(x)在x处的导数还有如下的等价定义 f(x)-f(x0) x→ X-x 函数∫(x)的所有可导点的集合是∫(x)定义域的子集,导数值∫(x) 可看成定义在这一子集上的一个新的函数,它被称为函数f(x)的导函 数,记为r(x)(或y(x),,) 导函数一般就简称为导数
f x( )在 0 x 处的导数还有如下的等价定义 0 0 0 )()( lim)( 0 xx xfxf xf xx − − ′ = → 。 函数 f x( )的所有可导点的集合是 f ( ) x 定义域的子集，导数值 f x ′( ) 可看成定义在这一子集上的一个新的函数，它被称为函数 f x( )的导函 数，记为 ′ xf )( （或 ′ xy )( ， f x d d ， y x d d ）。 导函数一般就简称为导数
若f(x)在x处可微,则它必定在x处可导,而4y=g(x)Ax+o(△x)中 的g(x)不是别的,正是f(x)在这一点的导数值f(x) 反过来,f(x)在x处可导也保证它在x处可微。因为 Ay lim =f(x) △x→>0△x 等价于 于是4-f(x)=0(1),也就是 △ o(1)△x=o(Ax)
若 f x( )在 x 处可微，则它必定在 x 处可导，而Δy gx x o x = Δ+ Δ () ( )中 的 g x( )不是别的，正是 f x( )在这一点的导数值 f x ′( )。 反过来， f x( )在 x 处可导也保证它在 x 处可微。因为 lim ( ) Δ Δ x Δ y x f x → = ′ 0 等价于 lim 0)( 0 =⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − ′ ΔΔ →Δ xf xy x ， 于是 oxf )1()( x y − ′ = Δ Δ ，也就是 Δy fx x o x o x − Δ= Δ= Δ ′( ) (1) ( )
定理41.1函数y=f(x)在x处可微的充分必要条件是它在x处 可导。 对一元函数来说,它在任一点的可微性与可导性是等价的。因此, 一元函数的微分与导数总是形影相随,是密切难分的“孪生兄弟
定理4.1.1 函数 y fx = ( )在 x处可微的充分必要条件是它在 x 处 可导。 对一元函数 ．．．． 来说，它在任一点的可微性与可导性是等价的。因此， 一元函数的 ．．．．． 微分与导数总是形影相随，是密切难分的“孪生兄弟