§2第二类曲线积分与第二类曲面积分 第二类曲线积分 设L为空间中一条可求长的连续曲线,起点为A,终点为B(这 时称L为定向的)。一个质点在力 F(x,y, ==P(x,y, z)i+o(x,y, z)j+R(x, y, z k 的作用下沿L从A移动到B, 我们要计算F(x,y,2)所作的 P=B F(51,1,5;) 功 Kl T
第二类曲线积分 设L为空间中一条可求长的连续曲线，起点为 A，终点为B（这 时称L为定向的）。一个质点在力 F = i + j + zyxRzyxQzyxPzyx ),,(),,(),,(),,( k 的作用下沿L从 A移动到B ， 我们要计算F zyx ),,( 所作的 功。 §2 第二类曲线积分与第二类曲面积分 x y P O 0=A P1 P2 Pi Pi+1 Pn=B ( ,, ) η ζ iii F ξ Ki τ z
为了解决这个问题,在曲线L上插入一些分点 P(x1,y1=1),P2(x2,y2,=2)2…,Bn1(xn1yn1,=n), 并令P(xny0,=0)=A,P(xn,yn,En)=B(见图14.2.1)。并且这些点是从A 到B计数的。这样L就被这些分点分成n个小弧段PAP(i=12,…,n)。 在小弧段PP上任取一点K(5,,),取曲线L在K的单位切向量 T,=coS a i+cos B,j+cos y, k, 使它的方向与L的定向一致。那么质点从P1移动到P时(i=12,…,n) F所作的功近似地等于 F(5,1,91)·T;As =P(Si, ni, si)cosa +o(si, ni, si)cos, +r(si, n, S)cosy jAs 这里As是小弧段PP的弧长
为了解决这个问题，在曲线 L上插入一些分点 ),,(,),,,(),,,( 22221111 nnnn −−−− 1111 " zyxPzyxPzyxP ， 并令 0000 = nnnn ),,(,),,( = BzyxPAzyxP （见图 14.2.1） 。并且这些点是从 A 到 B 计数的。这样 L就被这些分点分成 n个小弧段 −1PP ii ( = ",,2,1 ni )。 在小弧段 −1PP ii 上任取一点 ),,( K ξ η ζ iiii ，取曲线 L 在 Ki的单位切向量 cos cos cos τ ii i i = α i jk + + β γ , 使它的方向与 L的定向一致。那么质点从 Pi−1移动到 Pi时（ = ",,2,1 ni ） F 所作的功近似地等于 ),,( ⋅ F ξ η ζ iii τ i i Δ s iii i iii i iii ii = P ξ η ζ α + Q ξ η ζ β + R ξ η ζ γ ]cos),,(cos),,(cos),,([ Δ s 。 这里 i Δ s 是小弧段 −1PP ii 的弧长
因此F将质点沿L从A移动到B所作的功为 W=lim∑F(5,m,)·r;As →0 i=1 lim2IP(Si, n, S:)cos a, +@(5;, n, 5:)cos B, +R(Si, n, s)CosnJ4s ∫[P(x,)c0a+(xy,)c0s月+R(xy,2)yd, L 其中为所有的小弧段的最大长度
因此F 将质点沿L从 A移动到B 所作的功为 0 1 lim ( , , ) n iii i W λ ξ η ζ → = = ⋅ ∑F τ i i Δs [ ] [ ] 0 1 lim ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos d , n iii i iii i iii i i i L P QRs Pxyz Qxyz Rxyz s λ ξηζ α ξηζ β ξηζ γ αβγ → = = ++ Δ = ++ ∑ ∫ 其中λ 为所有的小弧段的最大长度
根据这一思想我们引入下面的定义。 定义14.2.1设L为一条定向的可求长连续曲线,起点为A,终 为B。在L上每一点取单位切向量r=(osa,cosB,cosy),使它与L的 定向相一致。设 f(x,y, =)=P(x,y, =)i+o(x, y, 2)j+r(x,y, z)k 是定义在L上的向量值函数,则称 ∫.rds=」[Pxy)osa+xyos+x, v,=)cosy] ds 为∫在L上的第二类曲线积分
根据这一思想我们引入下面的定义。 定义 14.2.1 设 L为一条定向的可求长连续曲线，起点为 A，终 点为 B 。在 L上每一点取单位切向量 τ = α,(cos β γ )cos,cos ，使它与 L 的 定向相一致。设 f = i + j + zyxRzyxQzyxPzyx ),,(),,(),,(),,( k 是定义在 L上的向量值函数，则称 L ⋅ ∫ f τ ds [ ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos d] L = ++ P x y z Qx αβγ y z Rx y z s ∫ 为 f 在 L上的第二类曲线积分
在曲线L上的点(x,y,z)处取L的弧长微元ds,作向量ds=ds,其中 z=(cosa,cosB,cosy)为曲线L在点(x,y,2)处与L同向的单位切向量。 那么d在x轴上的投影是 cos ads,记为dx,即dx= cos ads。同理记 dy= cos Bds,d= cos yds。于是,第二类曲线积分又可以表示为 ∫ rds ds=fds=」「P(xy,)x+(x,y:)y+Rxy。 它也称为1-形式o=P(xy,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,)d在L上的第二类 曲线积分,记为∫o
在曲线L上的点 zyx ),,( 处取L的弧长微元ds ，作向量ds =τ ds ,其中 τ= α β,cos,(cos γ )cos 为曲线L 在点 zyx ),,( 处与L同向的单位切向量。 那么 ds 在 x 轴上的投影是 cos d α s ，记为 dx ，即 d cos d x = α s 。同理记 d cos d y = β s ，d cos d z s = γ 。于是，第二类曲线积分又可以表示为 ds L ⋅ ∫ f τ ds = d L ⋅ ∫ f s ( , , )d ( , , )d ( , , )d L = ++ P xyz x Qxyz y Rxyz z ∫ 。 它也称为 1-形式ω = P( , , )d ( , , )d ( , , )d xyz x Qxyz y Rxyz z + + 在L上的第二类 曲线积分，记为 L ω∫
在曲线L上的点(xy,3)处取L的弧长微元ds,作向量ds=zds,其中 z=(cosa,cosB,cosy)为曲线L在点(x,y,2)处与L同向的单位切向量。 那么d在x轴上的投影是 cos ads,记为dx,即dx= cos ads。同理记 dy= cos Bds,dz= cos yds。于是,第二类曲线积分又可以表示为 ∫ rds ds=fds=「P(xy,)x+(x,y:)y+Rxy 它也称为1-形式o=P(xy,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,)d在L上的第二类 曲线积分,记为∫o 特别地,如果L为x平面上的定向光滑曲线段,第二类曲线积分 就简化为 P(, y)dx+O(x, y) dy= [P(, y)cos a+O(, y)cos B ]ds I[P(x, y)cos a+@(x, y)sin a ]ds 其中a为L的沿L方向的切向量与x轴正向的夹角
特别地，如果L为 xy平面上的定向光滑曲线段，第二类曲线积分 就简化为 ( , )d ( , )d [ ( , )cos ( , )cos ]d [ ( , )cos ( , )sin ]d , L L L P xy x Qxy y Pxy Qxy s Pxy Qxy s α β α α += + = + ∫ ∫ ∫ 其中α 为L的沿L方向的切向量与x轴正向的夹角。 在曲线L上的点 zyx ),,( 处取L的弧长微元ds ，作向量ds =τ ds ,其中 τ= α β,cos,(cos γ )cos 为曲线L 在点 zyx ),,( 处与L同向的单位切向量。 那么 ds 在 x 轴上的投影是 cos d α s ，记为 dx ，即 d cos d x = α s 。同理记 d cos d y = β s ，d cos d z s = γ 。于是，第二类曲线积分又可以表示为 ds L ⋅ ∫ f τ ds = d L ⋅ ∫ f s ( , , )d ( , , )d ( , , )d L = ++ P xyz x Qxyz y Rxyz z ∫ 。 它也称为 1-形式ω = P( , , )d ( , , )d ( , , )d xyz x Qxyz y Rxyz z + + 在L上的第二类 曲线积分，记为 L ω∫
第二类曲线积分定义在定向曲线(即指定了方向的曲线)上,它 具有如下性质: 性质1(方向性)设向量值函数∫在定向的分段光滑曲线L上的 第二类曲线积分存在。记-L是定向曲线L的反向曲线,则∫在-L上的 第二类曲线积分也存在,且成立 ∫.rds=-∫rds 注意这个等式两边的r是方向相反的
第二类曲线积分定义在定向曲线（即指定了方向的曲线 ）上， 它 具有如下性质： 性质 1 （方向性）设向量值函数 f 在定向的分段光滑曲线 L上的 第二类曲线积分存在。记 − L是定向曲线 L的反向曲线，则 f 在 − L上的 第二类曲线积分也存在，且成立 L ⋅ ∫ f τ ds = - L ⋅ ∫ - f τ ds 。 注意这个等式两边的 τ是方向相反的
性质2(线性性)设两个向量值函数∫,g在定向的分段光滑曲 线L上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数a,B,a∫+在L上 的第二类曲线积分也存在,且成立 「(af+Bg)rd=a∫rd+」「g.rds
性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 , gf 在定向的分段光滑曲 线L上的第二类曲线积分存在，则对于任何常数α, β ，α + βgf 在L上 的第二类曲线积分也存在，且成立 ( ) L α β + ⋅ ∫ f g τds L =α ⋅ ∫ f τds L +β ⋅ ∫ g τds
性质2(线性性)设两个向量值函数∫,g在定向的分段光滑曲 线L上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数a,B,a∫+在L上 的第二类曲线积分也存在,且成立 「(af+Bg)rd=a∫rd+」「g.rds。 性质3(路径可加性)设定向分段光滑曲线L分成了两段L1和L2, 它们与L的取向相同(这时记为L=L+L2),如果向量值函数∫在L上 的第二类曲线积分存在,则它在L和L2上的第二类曲线积分也存在。 反之,如果∫在L和L2上的第二类曲线积分存在,则它在L上的第二 类曲线积分也存在。且成立 ∫.rds=∫frds+∫,rds
性质 3 （路径可加性）设定向分段光滑曲线L分成了两段L1和L2， 它们与L的取向相同（这时记为LLL = 1 2 + ），如果向量值函数 f 在L上 的第二类曲线积分存在，则它在L1和L2上的第二类曲线积分也存在。 反之，如果 f 在L1和L2上的第二类曲线积分存在，则它在L上的第二 类曲线积分也存在。且成立 L ⋅ ∫ f τds 1L = ⋅ ∫ f τds 2L + ⋅ ∫ f τds 。 性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 , gf 在定向的分段光滑曲 线L上的第二类曲线积分存在，则对于任何常数α, β ，α + βgf 在L上 的第二类曲线积分也存在，且成立 ( ) L α β + ⋅ ∫ f g τds L =α ⋅ ∫ f τds L +β ⋅ ∫ g τds
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线L的方程为 x=x(),y=y(),z=z(1),t:a→b, 这里t:a>b表示参数t从a变化到b,这就确定了L的方向。则L是可 求长的,且曲线的弧长的微分d=√x2()+y2(0)+2(0)dr。注意到 (x(t),y(t),=()是曲线的切向量,因此它的单位切向量为 T-(cos a, cos B, cos y) (x'(t),y(t),z(t) x2()+y2()+z2(t)
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L的方程为 = = = :),(),(),( → battzztyytxx ， 这里 : → bat 表示参数 t 从 a变化到 b ，这就确定了 L的方向。则 L 是 可 求长的，且曲线的弧长的微分 2 22 d ( ) ( ) ( )d s xt yt ztt = ++ ′′′ 。注意到 ′ ′ ′ tztytx ))(),(),(( 是曲线的切向量，因此它的单位切向量为 τ= ))(),(),(( )()()( 1 )cos,cos,(cos 2 2 2 tztytx tztytx ′′′ ′ + ′ + ′ γβα =