§4微分形式的外微分 外微分 设UcR"为区域,f(x1,x2…x)为U上的可微函数,则它的全微 分为 这可以理解为一个0-形式作微分运算后成为1-形式
外微分 设 n U ⊂ R 为区域， fxx xn (, , , ) 1 2 " 为U 上的可微函数，则它的全微 分为 1 d d n i n i f f x = x ∂ = ∂ ∑ 。 这可以理解为一个 0-形式作微分运算后成为 1-形式。 §4 微分形式的外微分
现在将微分运算d推广到∧上去。对∧中的任意一个k-形式 ∑g1,(x)dxA 定义 1=∑(dg14-4(x)入dx4Ad2A…Adx <…<i1≤n ∑∑ 08 dx.a dx adx2A…^心w Isi<2<<,Sn i=l a x 同时,对空间A=A0+A+…+A上的任意一个元素 On,O,∈A 定义 dO=d+don+…+dono 这样的微分运算d称为外微分
现在将微分运算d 推广到Λk 上去。对 k Λ 中的任意一个 k-形式 1 2 1 2 1 2 ,,, 1 ( )d d d k k k ii i i i i ii i n ω g xx x x ≤< < < ≤ = ∧ ∑ " ∧ ∧ " " ， 定义 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ,,, 1 ,,, 1 1 d (d ( )) dd d dd d d k k k k k k ii i i i i ii i n n ii i ii i i i i i ni i g x xx x g xx x x x ω ≤< < < ≤ ≤< < < ≤ = = ∧ ∧ ∧ ∧ ∂ = ∧ ∧ ∧ ∧ ∂ ∑ ∑ ∑ " " " " " " 。 同时，对空间Λ = Λ + Λ + +Λ 0 1 " n 上的任意一个元素 i 10 " , ωωωωω in Λ∈+++= ， 定义 0 1 dd d d ω = ωω ω + ++ " n。 这样的微分运算d 称为外微分
显然,微分运算d:A→∧具有线性性,即d(ao+Bn)=ado+Bdn, 0,∈A,其中a,B为常数。 由定义可直接得到 d(dx^dx2…dx)=(dxdx2A…dx) (d)∧dx^dx,A…Adx=0
显然，微分运算d :Λ → Λ 具有线性性，即d( ) d d αω βη α ω β η + = + , ω,η ∈ Λ ，其中α,β 为常数。 由定义可直接得到 1 2 1 2 1 2 d(d d d ) d(1d d d ) (d1) d d d 0 k k k ii i ii i ii i xx x xx x xx x ∧ ∧∧ = ∧ ∧∧ = ∧ ∧ ∧∧ = " " "
显然,微分运算d:A→A具有线性性,即d(ao+Bn)=ado+Bdn, 0,∈A,其中a,B为常数。 由定义可直接得到 d(dx^dx2…dx)=(dxdx2A…dx) (d1)∧dxdx2∧…∧dx 例144.1设O=P(x,y)dx+Q(x,y)减y为R2上的1-形式,则 aP aP 0Q,0Q do=(dp)adx+(do)ady=dx+ody adx+dx dy∧d ax a ax a P dy Adx+ogdxadv= og_aP ax ax a y
例 14.4.1 设ω = P( , )d ( , )d xy x Qxy y + 为 2 R 上的 1-形式，则 d (d ) d (d ) d d d d d d d dd dd d d PP QQ P xQy x y x x y y xy xy P Q QP yx xy x y y x xy ω ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂∂ = ∧+ ∧= + ∧+ + ∧ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ = ∧+ ∧= − ∧ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ 。 显然，微分运算d :Λ → Λ 具有线性性，即d( ) d d αω βη α ω β η + = + , ω,η ∈ Λ ，其中α,β 为常数。 由定义可直接得到 1 2 1 2 1 2 d(d d d ) d(1d d d ) (d1) d d d 0 k k k ii i ii i ii i xx x xx x xx x ∧ ∧∧ = ∧ ∧∧ = ∧ ∧ ∧∧ = " " "
例144.2设O=P(x,y,)dx+Q(x,y,z)y+R(x,y,)d为R3上的1-形 式,则 do=(dP)dx+(dQ)∧dy+(dR)∧d aP.apaP dy+=dz adx ∧d ax ay az OROR aR dx+ dy+=dz la dz ax az OR aO aP aR a0 aP dy∧dz dz∧dx+ dx∧dy az ax Ox y
例 14.4.2 设 ω = P( , , )d ( , , )d ( , , )d xyz x Qxyz y Rxyz z + + 为 3 R 上的 1- 形 式，则 d (d ) d (d ) d (d ) d ω = ∧+ ∧+ ∧ P xQyRz d d dd d d dd d d dd dd dd dd PPP QQQ x y zx x y zy xyz xyz RRR x y zz xyz RQ PR QP yz zx xy yz zx xy ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂∂∂ ⎛ ⎞ = + + ∧+ + + ∧ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ∂∂∂ + ++ ∧ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂∂ ∂∂ = − ∧+ − ∧+ − ∧ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ ∂∂
例14.4.3设=P(x,y,z)dydz+Qx,y,z)dAdx+R(x,y,2)dxdy为R3 上的2-形式,则 do=(dP)dy^d+(dQ)∧dAdx+(dR)∧dx∧dy aPaP dx t dz|∧dydz a0.. 8Q dy+ dz|∧dz入dx ax O.d,,, aP az ax OR aR OR dx+=dy+=dz la dx a dy aP 80 aR +2+∞dx∧dy∧dz ax ay az ox 0y 02
例 14.4.3 设 ω = P( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d xyz y z Qxyz z x Rxyz x y ∧+ ∧+ ∧ 为 3 R 上的 2-形式，则 d (d ) d d (d ) d d (d ) d d ω = P ∧∧+ ∧∧+ ∧∧ yz Q zx R xy d d d dd d d d dd PPP QQQ x y z yz x y z zx xyz xyz ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂∂∂ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ + + ∧∧+ + + ∧∧ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠ d d d dd RRR x y z xy xyz ⎛ ⎞ ∂∂∂ + + + ∧∧ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ddd PQR xyz xyz ⎛ ⎞ ∂∂∂ = + + ∧∧ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂∂
下面列出外微分的两个性质。 性质1设o为k-形式,n为l-形式,则 d(O入n)=d0∧n+(-1)OAdn。 证由于d的线性性质,只要证明 o=a(r)dx, Adx, A.Adx i, n=b(x)dx, Adx, 的情形即可。这时 d(OA)=d(a(x)b(x) adx. adx2A…dxdx1dx12人…Adx,) =d(a(x)b(x) dx, n dx2A…Adx1 adx. adx2…dx a6 ∑bdx+axd入dnA…ddxd2A…Adx x x ∑ bdx.∧dx.∧dx∧…^ dx. adx,∧dx,个…∧d ax +((adx4d2A…dx,)(ab^A个…AdsN =d∧n+(-1)O∧dn
下面列出外微分的两个性质。 性质 1 设 ω 为 k-形式，η 为 l -形式，则 d( ) d ( 1) d k ω ∧ = ∧ +− ∧ η ωη ω η 。 证 由于 d 的线性性质，只要证明 1 2 1 2 ( )d d d , ( )d d d k l ii i j j j ω = ∧ ∧∧ = ∧ ∧∧ ax x x x bx x x x " " η 的情形即可。这时 1 2 1 2 1 2 1 2 d( ) d( ( ) ( ) d d d d d d ) d( ( ) ( )) d d d d d d k l k l ii i j j j ii i j j j axbx x x x x x x axbx x x x x x x ω ∧ η = ∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧∧ = ∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧∧ " " " " 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 d d dd dd d d d dd dd d d ( 1) ( d d d ) d d d k l k l k l n i i ii i j j j i i i n i ii i j j j i i n k ii i i j j j i i a b b xa x x x x x x x x x a b x xx xx x x x b a x x x dx x x x x = = = ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧∧ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ∂ = ∧ ∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧∧ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ∂ +− ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ " " " " " " d ( 1) d k = ∧ +− ∧ ω η ωη
在以下讨论中,总假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数。 设o∈A,定义do=d(do)。 例1444设f∈A为0形式,则d2f=0。 证由于具有二阶连续偏导数,因此/=0。所以 ax ax axax 了f=d(df) =∑∑。1 dx A dxi ∑ af af ∧dx.=0 X0x axax. axax
在以下讨论中，总假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数。 设 ω ∈ Λ，定义 2 d d(d ) ω = ω 。 例 14.4.4 设 f ∈Λ0 为 0-形式，则 2 d 0 f = 。 证 由于 f 具有二阶连续偏导数，因此 ji ij xx f xx f ∂∂ ∂ = ∂∂ ∂ 2 2 。所以 2 1 2 2 2 1 1 d d(d ) d d d d d d 0. n i i i n n j i i j i j i j j i i j ji f ff x x f f f x x x x x x xx x x = = = < ⎛ ⎞ ∂ = = ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ∧ =−∧ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∑ ∑∑ ∑
性质2对任意O∈A,有do=0 证由于d的线性性质,只要证明 O=a(x)dx∧dx,A…^dx=a(x) adx. adx,人…∧dx 的情形即可。这时 d=d(a(x)∧dx^dx,∧…∧dx1)=(da(x)dxdx,人…∧dx, 由性质1和例1444的结果, d2O=ddo)=(d2a)∧ dx. adx,个…∧dx1-da)Ad(dx入dx,…Adx,) 0Adx1dx1∧…∧dx1-(da)∧0=0
性质 2 对任意ω ∈Λ，有 2 d 0 ω = 。 证 由于d 的线性性质，只要证明 1 2 1 2 ( )d d d ( ) d d d k k ii i ii i ω = ∧ ∧∧ = ∧ ∧ ∧∧ ax x x x ax x x x " " 的情形即可。这时 1 2 1 2 d d( ( ) d d d ) (d ( )) d d d k k ii i ii i ω = ∧ ∧ ∧∧ = ∧ ∧ ∧∧ ax x x x ax x x x " " ， 由性质 1 和例 14.4.4 的结果， 1 2 1 2 1 2 2 2 d d(d ) (d ) d d d (d ) d(d d d ) 0 d d d (d ) 0 0 k k k ii i ii i ii i axx x a xx x xx x a ω ω = = ∧ ∧ ∧∧ − ∧ ∧ ∧∧ =∧ ∧ ∧ ∧ − ∧= " " "
外微分的应用 首先看 Green公式 Pdx+ody a0 aP dxdy ax ay 其中ωD取D的诱导定向。将dx∧dy看成正面积元素dxdy,上式就可以 表示为 Pdx+Odi 00 aP x∧dyo ax ay 由例1441,对于1-形式o=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,上式就是 da
外微分的应用 首先看 Green 公式 d d d d Q P Px Q y x y x y ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ += − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ D D ， 其中∂D取 D的诱导定向。将d d x y ∧ 看成正面积元素d dx y ，上式就可以 表示为 d d d d Q P Px Q y x y x y ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ + =−∧ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ D D 。 由例 14.4.1，对于 1-形式ω = P( , )d ( , )d x y x Qx + y y ，上式就是 ω dω ∂ = ∫ ∫ D D