§2 Fourier级数的收敛判别法 Dirichlet积分 仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉:对于一般 的以2π为周期的函数f(x),除了个别点之外(看来是不连续点),当 m→>∞时,它的 Fourier级数的部分和函数序列Sn(x)}, Sm(x)=+>(a, cos nx +b, sin nx) 是收敛于∫(x)的。下面从理论上来探讨这个问题
Dirichlet 积分 仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉：对于一般 的以2π为周期的函数 f x( )，除了个别点之外（看来是不连续点），当 m → ∞ 时，它的 Fourier 级数的部分和函数序列{ m xS )( }， 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 m m nn n a S x a nx b nx = =+ + ∑ ， 是收敛于 f x( )的。下面从理论上来探讨这个问题。 §2 Fourier级数的收敛判别法
将Euer- Fourier公式 f(t) nt dt, b f(tsin nt di T 代入Sn(x), 2兀 ∫0+2( n=1 ∫/0+smN-x)d n=1
将 Euler-Fourier 公式 a n = π π 1 ( )cos d π f t nt t ∫ − ，b n = π π 1 ( )sin d π f t nt t ∫ − 代入S x m ( )， S x m ( ) π π 1 ( )d 2 π f t t − = ∫ ( ) ( ) π π π π 1 1 ( ) cos d cos ( )sin d sin π m n f t nt t nx f t nt t nx − − = ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∫ ∫ π π 1 1 1 ( ) (cos cos sin sin ) d π 2 m n f t nt nx nt nx t − = ⎡ ⎤ =+ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑ π π 1 1 1 ( ) cos ( ) d π 2 m n f t nt x t − = ⎡ ⎤ = +− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑
将Euer- Fourier公式 f(ocosnt dt, b f(tsin nt dt T 代入Sn(x), f(tdt+ 2兀 ∑( n=1 ∫/0+smN-x)d n=1 当θ≠0时,由三角函数的积化和差公式,有 2m+1 sIn -+>cosn0 sin 当θ=0时,将等式右端理解为当θ→0时的极限值,则等式依然成立。 因此,上式对任意∈[-兀都是正确的
当 θ ≠ 0时,由三角函数的积化和差公式，有 ∑= + + = m n m n 1 2 sin2 2 12 sin cos 2 1 θ θ θ 。 当 θ = 0时，将等式右端理解为当 θ → 0时的极限值，则等式依然成立。 因此，上式对任意 θ ∈[− π,π]都是正确的。 将 Euler-Fourier 公式 a n = π π 1 ( )cos d π f t nt t ∫ − ，b n = π π 1 ( )sin d π f t nt t ∫ − 代入S x m ( )， S x m ( ) π π 1 ( )d 2 π f t t − = ∫ ( ) ( ) π π π π 1 1 ( ) cos d cos ( )sin d sin π m n f t nt t nx f t nt t nx − − = ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∫ ∫ π π 1 1 1 ( ) (cos cos sin sin ) d π 2 m n f t nt nx nt nx t − = ⎡ ⎤ =+ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑ π π 1 1 1 ( ) cos ( ) d π 2 m n f t nt x t − = ⎡ ⎤ = +− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑
于 2m+1 sIn (t-x) Sm(x)= f(t) 2 (作代换t-x=l) 2 sin 2 2m+1 2m+1 sin SIn f(x+u) du f(x+u) da l o 2 sin 2 SIn 2 这样,就把部分和函数序列转化成了积分形式。这个积分称为 Dirichlet积分,它是研究 Fourier级数敛散性的重要工具
于是 S x m ( ) π π 2 1 sin ( ) 1 2 ( ) d π 2sin 2 m t x f t t − t x + − = − ∫ (作代换t − x = u ) π π 2 1 sin 1 2 () d π 2sin 2 x x m u f xu u u − − − + = + ∫ ππ 2 1 sin 1 2 () d π 2sin 2 m u f xu u − u + = + ∫ 。 这样，就把部分和函数序列转化成了积分形式。这个积分称为 Dirichlet 积分，它是研究 Fourier 级数敛散性的重要工具
将积分区间[-ππ分成[-π,0和[,π,稍加整理,就得到了 Dirichlet积分的惯用形式 2m+1 sIn u Sm(x) If(x+u)+f(x-u)] du o 0 2: sin 由前面的三角函数关系式,有 2m+1 sin du snu du= 1 T ll 2 sin 2
将积分区间 [− π,π] 分成 [− π,0] 和 [0, π] ，稍加整理，就得到了 Dirichlet 积分的惯用形式 S x m ( ) π 0 2 1 sin 1 2 [ ( ) ( )] d π 2sin 2 m u fx u fx u u u + = ++ − ∫ 。 由前面的三角函数关系式，有 π 0 2 1 sin 2 2 d π 2sin 2 m u u u + = ∫ π 0 1 2 1 cos d 1 π 2 m n nu u = ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∑
因此,对任意给定的函数a(x),有 2m+1 Sn(x)-0(x) [f(x+u)+f(x-u)-2o(x) du 0 2 sin 这样,若记 (l2x)=f(x+l)+f(x-)-20(x), 则∫f(x)的 Fourier级数是否收敛于某个a(x)就等价于极限 n1+ SIn u lim. po(u,x) du 2 sin 是否存在且等于0
因此，对任意给定的函数 σ x)( ，有 xxS )()( m − σ π 0 2 1 sin 1 2 [ ( ) ( ) 2 ( )] d π 2sin 2 m u f x u fx u x u u σ + = ++ −− ∫ 。 这样，若记 ϕ σ xuxfuxfxu )(2)()(),( σ = + + − − ， 则 f x( ) 的 Fourier 级数是否收敛于某个 σ x)( 就等价于极限 π 0 2 1 sin 2 lim ( , ) d 2sin 2 m m u u x u u ϕσ →∞ + ∫ 是否存在且等于 0
Riemann引理及其推论 定理16.2.1( Riemann引理)设函数v(x)在[a,b上可积或绝 对可积,则成立 m y(x)sin px dx lim ] w(x)cos prix=0
Riemann 引理及其推论 定理 16.2.1（Riemann 引理） 设函数ψ x)( 在[,] a b 上可积或绝 对可积，则成立 lim ( )sin d b p a ψ x px x →+∞ = ∫ lim ( ) cos d 0 b p a ψ x px x →+∞ = ∫
Riemann引理及其推论 定理16.2.1( Riemann引理)设函数v(x)在[a,b上可积或绝 对可积,则成立 lim v(x)sin px dx= lim v(x)cos px dx=0 证先考虑v(x)有界的情况,这时v(x) Riemann可积。 对于任意给定的E>0,由定理7.1.3,存在着一种划分 a=x<x1<x2<…<xn=b, 满足 C.△x< 这里Ax1=x1-x,,是v(x)在[x,x中的振幅
证 先考虑ψ x)( 有界的情况，这时ψ x)( Riemann 可积。 对于任意给定的ε > 0，由定理 7.1.3，存在着一种划分 ax x x x b = 012 < < <"< n = ， 满足 1 2 ε ∑ω <Δ = n i ii x ， 这里Δxxx i ii = − −1，ωi 是ψ x)( 在[ ,] x x i i −1 中的振幅。 Riemann 引理及其推论 定理 16.2.1（Riemann 引理） 设函数ψ x)( 在[,] a b 上可积或绝 对可积，则成立 lim ( )sin d b p a ψ x px x →+∞ = ∫ lim ( ) cos d 0 b p a ψ x px x →+∞ = ∫
对于这种固定的划分,记m是v(x)在[x1,x中的下确界,并取实 数P=∑m>0,则当p>P时,有 2/ 2m, 5 于是,对于任意给定的E>0,存在实数P>0,当p>P时,有 b y(x)sin px d y(x)sin pxa ∫0(x)-m) sin pxdx+∑m∫sin, ∑∫”10(x)-mnpd+ m,I[ sin prd ∑∫v(mdx+2∑m P ∑m <8
对于这种固定的划分，记 mi是ψ x)( 在[ ,] x x i i −1 中的下确界，并取 实 数 0|| 4 1 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑= n i mP i ε ，则当 p P > 时，有 2 || 2 1 ε ⎟ 0，存在实数 P > 0，当 p P > 时，有 ( )sin d b a ψ x px x ∫ 1 1 ( )sin d i i n x x i ψ x px x − = = ∑ ∫ 1 1 ( ( ) )sin d i i n x i x i ψ x m px x − = = − ∑ ∫ 1 1 sin d i i n x i x i m px x − = + ∑ ∫ 1 1 | ( ) | |sin | d i i n x i x i ψ x m px x − = ≤ −⋅ ∑ ∫ 1 1 | | sin d i i n x i x i m px x − = + ∑ ∫ 1 1 | ( ) |d i i n x i x i ψ x m x − = ≤ − ∑ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑= n i mi p 1 || 2 ∑= Δ≤ n i ii x 1 ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑= n i mi p 1 || 2 < ε
再考虑v(x)无界的情况,这时v(x)绝对可积。 不妨假设b是v(x)的唯一奇点。由无界函数反常积分绝对收敛 的定义,对于任意给定的s>0,存在δ>0,当n0,当p>P时, y(x)sin px dx
再考虑ψ x)( 无界的情况，这时ψ x)( 绝对可积。 不妨假设b是ψ x)( 的唯一奇点。由无界函数反常积分绝对收敛 的定义，对于任意给定的ε > 0，存在δ > 0，当η 0，当 p P > 时， ( )sin d 2 b a x px x η ε ψ − < ∫