§2' 'Hospital法则 待定型极限和L 'Hospital'法则 an n=m, an"+an-1x+++ =0, nm, 我们将这种类型的极限称为待定型,简称型。 ∞ 0 ∞ 待定型极限除了型以外,还有型、0∞型、∞±∞型、∞型、 ∞ 1型、0°型等几种。我们先讨论如何求型和型的极限,其余几 种类型的极限都可以化成这两种类型进行计算
待定型极限和L'Hospital法则 lim x→∞ ax a x ax a b x b x bx b n n n n m m m m + ++ + + ++ + − − − − 1 1 1 0 1 1 1 0 " " = a b n m n m n m n n , , , , , , = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ 0 我们将这种类型的极限称为 ∞ ∞ 待定型，简称 ∞ ∞ 型。 待定型极限除了 ∞ ∞ 型以外，还有 00 型、0⋅∞型、∞± ∞型、∞0型、 1∞ 型、00 型等几种。我们先讨论如何求 00 型和 ∞∞ 型的极限，其余几 种类型的极限都可以化成这两种类型进行计算。 §2 L’Hospital 法则
定理52.1( L'HoSpita法则)设函数f(x)和g(x)在(aa+d]上可 导(d是某个正常数),且g(x)≠0。若此时有 lim f(x)=lim g(x)=0 x→a+ X→a+ 或 lim g(x) x→a+ 且lm(x)存在(可以是有限数或∞),则成立 x→a+ g'(x) f'(x) Im x→a+g(x)x)a+g'(x
定理5.2.1（L'Hospital法则） 设函数 xf )( 和 xg )( 在 + daa ],( 上可 导(d 是某个正常数)，且 ′ xg ≠ 0)( 。若此时有 lim ( ) lim ( ) x a x a f x gx → + → + = = 0 或 lim ( ) x a g x → + = ∞， 且 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′ ′ 存在（可以是有限数或∞），则成立 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a ( ) f x g x f x → + → + g x = ′′
证这里仅对lim A为有限数时来证明。 g'(x) 先证明imf(x)=limg(x)=0的情况。 X→a+ x→a+ 补充定义f(a)=g(a)=0,则f(x)和g(x)在[a+d]上连续,在 a,a+d]上满足 Cauchy中值定理的条件,因而对于任意x∈(a,a+d),存 在ξ∈(a,a+d),满足 f(x)f(x)-f(a) f(s g(x)g(x)-gla g5 当x→a+时显然有ξ→a+。两端令x→a+,即有 (x)_1f(5 x→a+g(x)5ag(5)x+g(° Im
证 这里仅对 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′ ′ = A为有限数时来证明。 先证明 lim ( ) lim ( ) x a x a f x gx → + → + = = 0 的情况。 补充定义 = agaf = 0)()( ，则 xf )( 和 xg )( 在[ , + daa ]上连续，在 [ ] , + daa 上满足Cauchy中值定理的条件，因而对于任意 ∈ + daax ),( ,存 在 ξ ∈ + daa ),( ，满足 () () () () () () () () fx fx fa f gx gx ga g ξ ξ − ′ = = − ′ 。 当 x → + a 时显然有 ξ → +a 。两端令 x → + a ，即有 )( )( lim )( )( lim )( )( lim xg xf g f xg xf ax a ax ′ ′ = ′ ′ = +→ +→ ξ +→ ξ ξ
下面证明lmg(x)=∞时的情况。 x→a+ f(x) f(x)-f(o)f(xo) g(x) gx) x g(x)-gt g(x)」g(x)-g(x)g(x) g(x0)f(x)-f(x0),f(x) g(x)」8(x)-g(x)g(x) 于是, f(x) A g(ro)f(x)-f(ro) f(o) g(x) g(x)」kg(x)-g(x)g(x) ≤h-8(x f(x)-f(xo) A+ (xo)-Ag(xo g(x)|1g(x)-8(x0) g(x)
下面证明 lim ( ) x a g x → + = ∞时的情况。 f x g x fx fx g x f x g x ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) = − + 0 0 )( )( )()( )()( )( )()( 0 0 0 0 xg xf xgxg xfxf xg xgxg + − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = )( )( )()( )()( )( )( 1 0 0 0 0 xg xf xgxg xfxf xg xg + − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= 。 于是， A xg xf − )( )( A xg xf xgxg xfxf xg xg −+ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= )( )( )()( )()( )( )( 1 0 0 0 0 )( )()( )()( )()( )( )( 1 0 0 0 0 0 xg xAgxf A xgxg xfxf xg xg − +− − − ⋅−≤
因为1mf(=A,所以对于任意E>0,存在p>0(p<d),当 (x) 0<x-a<p时, A<E 取x=a+p,由 Cauchy中值定理,对于任意x∈(a,x0),存在 5∈(x,x0)c(ana+p)满足 f(x)-f(x)f∫(5) g(x)-g(x0)8 于是得到 f(x)-f(x0) f() A< g(x)-g(x0) g(5) 又因为li m x)=oo 所以可以找到正数 6<P, 当0<x-a<6时,成立 <2 f(x0)-4g{(x <eo gx g(x
因为 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′ ′ = A，所以对于任意ε > 0，存在 ρ > 0 ( ρ < d )，当 0 < x a − < ρ 时， <− ε ′ ′ A xg xf )( )( 。 取 0 x a = + ρ ，由Cauchy中值定理，对于任意 ),( 0 ∈ xax ，存在 ),(),( ξ ∈ 0 aaxx +⊂ ρ 满足 0 0 () ( ) ( ) () ( ) () fx fx f gx gx g ξ ξ − ′ = − ′ ， 于是得到 ε ξ ξ <− ′ ′ =− − − A g f A xgxg xfxf )( )( )()( )()( 0 0 。 又因为 lim ( ) x a g x → + = ∞，所以可以找到正数δ < ρ ，当0 < x a − < δ 时，成立 < ε − <− )( )()( ,2 )( )( 1 0 0 0 xg xAgxf xg xg
综上所述,即知对于任意ε>0,存在δ>0,当0a+g( 证毕 以上结论在x→a±、x→a或x→∞(包括+∞和-∞)时都是成立 的
综上所述，即知对于任意 ε > 0 ，存在 δ > 0，当 0 < x a − < δ 时， A xg xf − )( )( )( )()( )()( )()( )( )( 1 0 0 0 0 0 xg xAgxf A xgxg xfxf xg xg − +− − − ⋅−≤ < 2 3 ε + = ε ε ， 所以 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a ( ) f x g x A f x → + → + g x = = ′ ′ 。 证毕 以上结论在 x → a ± 、 x → a 或 x → ∞（包括+∞和-∞）时都是成立 的
例5.2.1求1m1=o92x x→ 解这是型。 因为 (1-cos 2x) 2sin x cos x →2(x→>0),由 L'Hospital法则,就 x x 可以得到 2x m x→)0 x 一般可以写成如下格式 1-coS 2x(1-cos 2x) Im Im →0 x Flin 2 cosim Sinx. lim cosx=2 x→0 x→0 x
例5.2.1 求 2 0 2cos1 lim x x x − → 。 解 这是 0 0 型。 因为 2 cossin2 )( )2cos1( 2 = → ′ − ′ x xx x x （ x → 0 ），由L'Hospital法则，就 可以得到 2 2cos1 lim 2 0 = − → x x x 。 一般可以写成如下格式： 2 2 0 0 0 0 0 1 cos 2 (1 cos 2 ) lim lim ( ) 2sin cos sin lim 2lim lim cos 2. x x x x x x x x x xx x x x x → → → → → − − ′ = ′ = = ⋅=
arctan 例5.2.2求lim x→+0 Sin- x 解由 L'Hospital法则得, arctan lin 1+x Im x→+00 x→+∞ sIn cOS Im x→+∞1+x lim cos x→+0 x
例5.2.2 求 π arctan 2 lim 1 sin x x x →+∞ − 。 解 由L'Hospital法则得， π arctan 2 lim 1 sin x x x →+∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = +∞→ 2 2 11 cos 1 1 lim x x x x .1 1 lim 1 coslim 1 2 2 = + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = +∞→ +∞→ x x x x x
若使用了LHs法则之后,所得到的m()仍是9型或 x→+g(x) 型,并且函数∫(x)和g(x)依然满足定理5.2.1的条件,那么可以再次 使用 L'Hospital法则,讨论im的极限情况,依次类推,直到求 X→a+ g"(x) 出极限为止
若使用了L'Hospital法则之后，所得到的 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′ ′ 仍是 00 型或 ∞∞ 型，并且函数 ′ xf )( 和 ′ xg )( 依然满足定理5.2.1的条件，那么可以再次 使用L'Hospital法则，讨论 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′′ ′′ 的极限情况，依次类推，直到求 出极限为止
若使用了LHs法则之后,所得到的m()仍是9型或 x→a g'(x) 型,并且函数∫(x)和g(x)依然满足定理5.2.1的条件,那么可以再次 使用 L'Hospital法则,讨论im的极限情况,依次类推,直到求 X→a+ g"(x) 出极限为止。 例5.23求 lim x x→ 解这是型,由 L'Hospital法则 lim x-tan x sec x (仍是¤型,再用 L'Hospital法则) x→ 2 x tan x I sinx 1 = im lim(-. x→>0 6x X cOS X
例5.2.3 求 3 0 tan lim x xx x − → 。 解 这是 00 型，由L'Hospital法则 2 2 0 3 0 3 sec1 lim tan lim x x x xx x x − = − → → （仍是 00 型，再用L'Hospital法则） x xx x 6 tansec2 lim 2 0 − = → 3 0 1 sin 1 1 lim( ) . x 3 cos 3 x → x x = − ⋅ ⋅ =− 若使用了L'Hospital法则之后，所得到的 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′ ′ 仍是 00 型或 ∞∞ 型，并且函数 ′ xf )( 和 ′ xg )( 依然满足定理5.2.1的条件，那么可以再次 使用L'Hospital法则，讨论 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′′ ′′ 的极限情况，依次类推，直到求 出极限为止