第八章反常积分 §1反常积分的概念和计算 反常积分 前面讨论 Riemann积分时,假定了积分区间[a,b]有限且被积函 数f(x)在anb上有界,但在实际应用中经常会碰到不满足这两个条 件,却需要求积分的情况。所以,有必要突破 Rieman积分的限制 条件,考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题,这样的积分称 为反常积分(或广义积分),而以前学过的 Riemann积分相应地称 为正常积分(或常义积分)
反常积分 前面讨论 Riemann 积分时，假定了积分区间[, ] a b 有限且被积函 数 f x( )在[, ] a b 上有界，但在实际应用中经常会碰到不满足这两个条 件，却需要求积分的情况。所以，有必要突破 Riemann 积分的限制 条件，考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题，这样的积分称 为反常积分（或广义积分），而以前学过的 Riemann 积分相应地称 为正常积分(或常义积分)。 第八章 反常积分 §1 反常积分的概念和计算
先来看一个实际例子。 例8.1.1由万有引力定律导出物体脱离地球引力范围的最低 初速度即第二宇宙速度。 解设从地面垂直向上发射的质量为m的物体飞出地球引力范 围所需的最低初速度为v若它从地球表面飞到无穷远处克服地球引 力所做的功为W,则由功能原理,v须满足 mv≥W 因此,要求出第二宇宙速度,必须先求出物体从地球表面飞到无穷远 处克服地球引力所做的功
先来看一个实际例子。 例 8.1.1 由万有引力定律导出物体脱离地球引力范围的最低 初速度即第二宇宙速度。 解 设从地面垂直向上发射的质量为 m的物体飞出地球引力范 围所需的最低初速度为v0。若它从地球表面飞到无穷远处克服地球引 力所做的功为W ，则由功能原理，v0须满足 1 2 0 mv W 2 ≥ 。 因此，要求出第二宇宙速度，必须先求出物体从地球表面飞到无穷远 处克服地球引力所做的功
以地球质心为原点建立一维坐标,记 地球半径为R,设物体在r处所受到的地球 引力为F(r)(r≥R),则由功的定义和微元 法,有 dw=-F(r)dr, W就是函数-F(r)在无穷区间[a+∞)上的 积分值。我们将它形式地写成 R F(rdr 图8.1.1
以地球质心为原点建立一维坐标，记 地球半径为 R，设物体在 r 处所受到的地球 引力为 F r( )( ) r R ≥ ，则由功的定义和微元 法，有 d ( )d W Fr r = − ， W 就是函数 − F r( )在无穷区间[, ) a + ∞ 上的 积分值。我们将它形式地写成 ( )d R W Fr r +∞ = − ∫ 。 r x R 图8.1.1
为了求这个积分,先考虑物体从地面 (r=R)飞到r=x(x>R)处克服地球引力所做 的功W(x)(图81.1) W(x)=-| F(r)dr 记M为地球的质量,由万有引力定律,有 Mm F(r=-G (G为万有引力常数) 而在地球表面,地球的引力即为重力,记g是重 力加速度,有 R Mn F(R=G R mg 解得G=,从而 图8.1.1 M W(x)=Rmg[-2 dr=R'mgl R = Rmgl 1 r x
为了求这个积分，先考虑物体从地面 （r R = ）飞到 r = x ( ) x R > 处克服地球引力所做 的功 xW )( （图 8.1.1）： W x( ) ( )d x R = − F r r ∫ 。 记 M 为地球的质量，由万有引力定律，有 F r( ) = − G Mm r 2 （ G 为万有引力常数）， 而在地球表面，地球的引力即为重力，记 g 是重 力加速度，有 F R( ) = − G Mm R 2 = −mg， 解得 G R g M = 2 ，从而 W x( ) 2 2 1 d x R R mg r r = ∫ x R r gmR ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= x R gRm 1 。 r x R 图8.1.1
W(x)=R'mgr2-dr=R'mgl R mg R 显然,W=limW(x),因此 X→+0 W F(r)dr=lir F(rdr]=lim Rmg R=Rmg x→+0 X→+00 x 将W=Rmg以及g=9.8m3,地球半径R≈6371km代入关于v的不等式, 得到 2W 2Rg=√2×6371×98×103≈112(km/s) h 这就是第二宇宙速度
W x( ) 2 21 d xR R mg r r = ∫ x R r gmR ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛−= 2 1 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ −= xR gRm 1 。 显然， xWW )(lim x +∞→ = ，因此 W = ( )d R F r r +∞ −∫ +∞→ = xlim ( ) ( )d xR − F r r ∫ +∞→ = xlim ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − xR gRm 1 = gRm 。 将 = RmgW 以及 2 g = 9.8m/s ，地球半径 R ≈ 6371 km代入关于v0的不等式， 得到 v W m 0 2 ≥ = 2Rg = 3 108.963712 − ××× ≈ 11.2 (km/s)。 这就是第二宇宙速度
无穷区间上的积分有三种形式:「f(x)dx,∫f(x)dx和」f(x)dx, 由于形式上有 X=-1 及 ∫f(x)dx=丁f(xdx+」f(xdx, 因此下面的讨论仅就∫。f(x形式来展开。 注意:只有当。f(xx和fx)x都收敛时,才认为」f(x)dx是 收敛的
无穷区间上的积分有三种形式： ( )d a f x x +∞ ∫ ， ( )d a f x x ∫−∞ 和 f ( )d x x +∞ ∫−∞ ， 由于形式上有 ( )d a fx x ∫−∞ −= tx = ( )d a f tt − +∞ − − ∫ ( )d a f tt +∞ − = − ∫ 及 f ( )d x x +∞ ∫−∞ ( )d a f x x +∞ = + ∫ ( )d a f x x ∫−∞ ， 因此下面的讨论仅就 ( )d a f x x +∞ ∫ 形式来展开。 注意：只有当 ( )d a f x x +∞ ∫ 和 ( )d a f x x ∫−∞ 都收敛时，才认为 f ( )d x x +∞ ∫−∞ 是 收敛的
定义8.1.1设函数f(x)在[a+∞)有定义,且在任意有限区间 a,c[a,+∞)上可积,若极限 f(x)dx A→+00Ja 存在,则称反常积分∫。f(x)收敛(或称f(x)在+)上可积),其 积分值为 ∫。(x)dx=m/(xu; 否则称反常积分∫f(x)发散。 对反常积分∫“f(x)x与二(x可类似地给出敛散性定义
定义 8.1.1 设函数 f x( )在[, ) a +∞ 有定义，且在任意有限区间 [, ] a A ⊂ +∞ [, ) a 上可积，若极限 A +∞→ lim ( )d A a f x x ∫ 存在，则称反常积分 ( )d a f x x +∞ ∫ 收敛（或称 xf )( 在 a +∞),[ 上可积），其 积分值为 ( )d a f x x +∞ ∫ +∞→ = Alim ( )d Aa f x x ∫ ； 否则称反常积分 ( )d a f x x +∞ ∫ 发散。 对反常积分 ( )d a f x x ∫−∞ 与 f ( )d x x +∞ ∫−∞ 可类似地给出敛散性定义
设f(x)在[a+∞)连续,F(x)是它在[a,+∞)上的一个原函数,由 Newton- Leibniz公式, ∫。f(xdx=-imJ。/(x=mnFx=1mnF(4)-F(a), 因此反常积分∫。f(x)x的敛散性等价 于函数极限imF(A)的敛散性。当函数 y=f() f(x)≥0时,反常积分(x)收敛表 示由曲线y=f(x),直线x=a和x轴所 界定区域的面积(图8.1.2)是个有限 值 图8.1.2
设 f x( )在[, ) a +∞ 连续， F x( )是它在[, ) a +∞ 上的一个原函数，由 Newton-Leibniz 公式， ( )d a f x x +∞ ∫ +∞→ = Alim ( )d Aa f x x ∫ +∞→ = Alim Aa xF )( +∞→ = Alim − aFAF )]()([ ， 因此反常积分 ( )d a f x x +∞ ∫ 的敛散性等价 于函数极限 AF )(limA +∞→ 的敛散性。当函数 f x( ) ≥ 0时，反常积分 ( )d a f x x +∞ ∫ 收敛表 示由曲线 = xfy )( ，直线x a = 和x 轴所 界定区域的面积（图 8.1.2）是个有限 值
例812讨论∫d的敛散性(p∈R) 解当p≠1时, +∞ P P =im A→+0 P A→+0 P p=1时, dx= lim In x.= lim In A=+oo A→)+00 A→+∞ 因此,当P>1时,反常积分∫14收敛于n;当≤1时,反 常积分4x发散
例 8.1.2 讨论 1 1 d p x x +∞ ∫ 的敛散性（ p ∈ R ）。 解 当 p ≠ 1时， 1 1 d p x x +∞ ∫ A p A p x 1 1 1 lim − = +− +∞→ p A p A − − = − +∞→ 1 1 lim 1 ⎩ ⎨ ⎧ = − .1, ,1, 1 1 p p p 当 p = 1时， 1 1 dx x +∞ ∫ A A x 1 lnlim+∞→ = A A lnlim +∞→ = = + ∞。 因此，当 p > 1时，反常积分 1 1 d p x x +∞ ∫ 收敛于 1 p − 1；当 p ≤ 1时，反 常积分 1 1 d p x x +∞ ∫ 发散
为了简便,通常我们仿照正常积分的 Newton- Leibniz公式的表达 形式,将反常积分形式地写成 ∫f(x)dx=F(x) 其中F(+∞)理解为极限值iF(x)
为了简便，通常我们仿照正常积分的 Newton-Leibniz 公式的表达 形式，将反常积分形式地写成 ( )d a f x x +∞ ∫ ∞+ = a xF )( ， 其中 F + ∞)( 理解为极限值 xF )(limx +∞→