§5微积分实际应用举例 微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积s的步骤:对区间a,b作划分 a=x0<x1<x2<…<xn=b, 然后在小区间[x21,x中任取点5,并记△x,=x1-x1,这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值AS,≈f(5)x。最后,将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加,再取极限,就得到 S=lm∑f()Ax,=Jf(x)dx
微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积S 的步骤：对区间[, ] a b 作划分 ax x x x b = 012 < < <"< n = ， 然后在小区间 ],[ 1 ii xx − 中任取点ξ i ，并记 =Δ − iii −1 xxx ，这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值 i ii Δ ≈ ξ )( ΔxfS 。最后，将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加，再取极限，就得到 ∑ = → = Δ n i ii xfS 1 0 ξ )(limλ ( )d b a = f x x ∫ 。 §5 微积分实际应用举例
对于上述步骤,我们可以换一个角度来看:将分点x和x分别记 为x和x+Ax,将区间[x,x+Ax]上的小曲边梯形的面积记为△S,并取 5;=x,于是就有AS≈∫(x)Δx。然后令Ax→0,这相当于对自变量作微 分,这样Ax变成dx,AS变成dS,于是上面的近似等式就变为微分形 式下的严格等式dS=f(x)dx。最后,把对小曲边梯形面积的近似值进 行相加,再取极限的过程视作对微分形式dS=f(x)dx在区间an,b]上求 定积分,就得到 S= f(x)dx
对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点 xi−1和 xi分别记 为 x 和 x + Δx ，将区间 + Δxxx ],[ 上的小曲边梯形的面积记为 Δ S ，并取 x ξ i = ，于是就有 Δ ≈ )( ΔxxfS 。然后令 Δx → 0，这相当于对自变量作微 分，这样 Δx 变成 d x，Δ S 变成 d S ，于是上面的近似等式就变为微分形 式下的严格等式d ( )d S fx x = 。最后，把对小曲边梯形面积的近似值进 行相加，再取极限的过程视作对微分形式d ( )d S fx x = 在区间[, ] a b 上求 定积分，就得到 ( )d b a S fx x = ∫
根据上面的理解,在解决实际问题时,我们可以简捷地按照以下 的步骤 自变量 转为 直接 图x+△]题→△Sf(x)Ax一做→dS=f(x)dx-→S=Jf(x)dx 来直接求解。 了解了方法的实质以后,上述过程还可以进一步简化:即一开始 就将小区间形式地取为[x,x+dx](dx称为x的微元),然后根据实际问 题得出微分形式dS=f(x)dx(dS称为S的微元),再在区间[ab上求积 分。也就是 dx—>dS=f(x)d S=l f(x)dx 这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非 常方便,在解决实际问题中应用得极为广泛,如§4中计算曲线的弧长 几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导出, 下面我们举一些其他类型的例子
根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以简捷地按照以下 的步骤 ⎯⎯ → xxx ],[ ⎯Δ+⎯ ⎯→ )( Δ≈Δ⎯ xxfS 规律 科学 分割 自变量 d ( )d ( )d b a ⎯⎯⎯→ = ⎯⎯⎯ S fx x S fx x → = ∫ 转为 直接 微分 积分 来直接求解。 了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步简化：即一开始 就将小区间形式地取为[, d] xx x + （ d x称为 x 的微元），然后根据实际问 题得出微分形式d ( )d S = f x x （ d S 称为 S 的微元），再在区间 ba ],[ 上求积 分。也就是 d d ( )d ( )d b a x S ⎯⎯→ = ⎯⎯ f xx S → = f x x ∫ 。 这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非 常方便，在解决实际问题中应用得极为广泛，如§ 4 中计算曲线的弧长、 几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导出， 下面我们举一些其他类型的例子
由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为l的直线段上分布着 某种物理量(如质量、热量、电荷量等等),将其平放在x轴的正半 轴上,使它的一头与原点重合,若它在x处的密度(称为线密度)可 由某个连续的分布函数p(x)表示(x∈0]),由微元法,它在[x,x+dx 上的物理量dO为 do= p(xdx, 对等式两边在[0,1上积分,就得到由分布函数求总量的公式 0=p()dx
由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为l 的直线段上分布着 某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在 x 轴的正半 轴上，使它的一头与原点重合，若它在 x 处的密度（称为线密度）可 由某个连续的分布函数 ρ( ) x 表示( x l ∈[, ] 0 )，由微元法，它在[, d] xx x + 上的物理量dQ 为 d ( )d Q xx = ρ ， 对等式两边在[, ] 0 l 上积分，就得到由分布函数求总量的公式 0 ( )d l Q xx = ρ ∫
例7.5.1如图7.5.1的一根 金属棒,其密度分布为 p(x)=2x2+3x+6(kg/m), 求这根金属棒的质量M。 解M=”(2x2+3x+6dx 图7.5.1 x3+-x2+6 234(kg)
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)( 2 ρ xxx ++= ， 求这根金属棒的质量 M 。 解 6 2 0 M = ++ (2 3 6)d xx x ∫ )kg(2346 2 3 3 2 6 0 3 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= xxx 。 0 6 x 图 7.5.1
例7.5.1如图7.5.1的一根 金属棒,其密度分布为 p(x)=2x2+3x+6(kg/m) 求这根金属棒的质量M。 解M=”(2x2+3x+6dx 图7.5.1 x3+-x2+6 234(kg) 这个问题可以作以下的推广: (1)假定物理量分布在一个平面区域上,x的变化范围为区间anb] 如果过x(a≤x≤b)点并且垂直于x轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用∫(x)表示,或者说该平面区域在横坐标位于 [x,x+dx]中的部分上的物理量可以表示为f(x)dx,那么由类似的讨论, 可以得到这个区域上的总物理量为 Q=f(x)dx
这个问题可以作以下的推广： ⑴假定物理量分布在一个平面区域上， x 的变化范围为区间[, ] a b 。 如果过 x （ ≤ ≤ bxa ）点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用 xf )( 表示，或者说该平面区域在横坐标位 于 [, d] x x x + 中的部分上的物理量可以表示为 f ( )d x x ，那么由类似的讨论， 可以得到这个区域上的总物理量为 ( )d b a Q fx x = ∫ 。 例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)( 2 ρ xxx ++= ， 求这根金属棒的质量 M 。 解 6 2 0 M = ++ (2 3 6)d xx x ∫ )kg(2346 2 3 3 2 6 0 3 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= xxx 。 0 6 x 图 7.5.1
例7.5.2求圆心在水下10m,半径为1m的竖直放置的圆形铁 片(图7.5.2)所受到的水压力。 解由物理定律,浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的压 强为 p=h pg, 这里,ρ是液体的密度,g是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅 垂线方向向下为x轴的正向建立坐标系,于是铁片在深度为10+x处 (-1≤x≤1)受到的压强为(10+x)g,在圆铁 水面 片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的 x+10 条带域,则带域的面积为 ds=2v1-x dx 所以带域上所受到的压力为 O dF=2gv1-x (10+x)dx 于是铁片所受到的水压力为 =2g」-x2(0+x=10mg(N 图7.5.2
例 7.5.2 求圆心在水下 10 m，半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁 片（图 7.5.2）所受到的水压力。 解 由物理定律，浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的压 强为 = ⋅ ρghp ， 这里，ρ 是液体的密度，g 是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅 垂线方向向下为 x 轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为10 + x处 ( −1 1 ≤ x ≤ )受到的压强为( ) 10 + x g ，在圆铁 片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的 一条带域，则带域的面积为 2 d 21 d S xx = − ， 所以带域上所受到的压力为 2 d 2 1 (10 )d F = −⋅ + g x xx， 于是铁片所受到的水压力为 1 2 1 F g2 1 (10 )d 10 x xx πg − = −⋅ + = ∫ （N）
这个结论可以推广到立体区域去。事实上,§4的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面x=a和x=b之间的几何体的体积公式 设过x点且与x轴垂直的平面与该几何体相截,截面积为A(x),则 几何体的体积为 V= A(xdx 此式就可以看成是应用本方法的一个特例,其中物理量的密度函数 A(x)是截面的面积
这个结论可以推广到立体区域去。事实上，§ 4 的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面 x a = 和 x = b之间的几何体的体积公式： 设过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为 A x( )，则 几何体的体积为 ( )d b a V Ax x = ∫ 。 此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数 xA )( 是截面的面积
(2)假定物理量是分布在一条平面曲线 x=x(1) t∈ y=y(t 上,分布函数(即物理量的密度)为f(1),在(x(1),y(t)处截取一段 长度为d的弧,那么在这段弧上的物理量dQ为 do=f(t)d/ 利用弧长的微分公式, d@=f()d/=f(oVx(2+y(2dt 关于t在[71,T2]上积分,就得到 o= f(di=/(vx(02+y(odr 这个结论可以推广到空间曲线的情况
⑵假定物理量是分布在一条平面曲线 x xt y yt t TT = = ⎧ ⎨ ⎩ ∈ ( ), ( ), [, ] 1 2 上，分布函数（即物理量的密度）为 f t( )，在( ( ), ( ) ) xt yt 处截取一段 长度为 d l 的弧，那么在这段弧上的物理量 d Q 为 d ( )d Q ft l = 。 利用弧长的微分公式， d ( )d Q ft l = = 2 2 f () () () d t xt yt t ′ ′ + ， 关于 t 在[, ] T T 1 2 上积分，就得到 2 2 1 1 2 2 ( )d ( ) ( ) ( ) d T T T T Q ft l ft xt yt t == + ′ ′ ∫ ∫ 。 这个结论可以推广到空间曲线的情况
例7.53设上半个金属环x2+y2=R2(y≥0)上任一点处的电 荷线密度等于该点到y轴的距离的平方,求环上的总电量。 解将金属环的方程写成参数形式 x=Rcos t t∈0,元l, y=Rsint 于是 d/=vx()2+y'(tdt=rdt 分布函数f(t)=[x(t)=R2cos21,因此 do=f(td= R 所以环上的总电量为 R3兀 o=R coS tdt=
例 7.5.3 设上半个金属环 222 =+ Ryx （ y ≥ 0）上任一点处的电 荷线密度等于该点到 y 轴的距离的平方，求环上的总电量。 解 将金属环的方程写成参数形式 xR t yR t t = = ⎧⎨⎩ ∈ cos , sin , [, ] 0 π ， 于是 dl = 2 2 x′ ′ () () d d t yt t Rt + = 。 分布函数 f t xt R t ( ) [ ( )] cos = =2 22 ，因此 d ( )d Q ft l = = 3 2 R tt cos d ， 所以环上的总电量为 3 π 3 2 0 π cos d 2 R Q R tt = = ∫