§2导数的意义和性质 产生导数的实际背景 微积分的发明人之一— Newton最早用导数研究的是如何确定 力学中运动物体的瞬时速度问题。 个运动物体在时刻t的位移可以用函数s=()来描述,它在时 间段,t+Δ]中位移的改变量为As=s(t+△)-),所以当M很小的时 候,它在时刻t的瞬时速度可以近似地用它在[,1+△中的平均速度 △ss(t+△n)-s(t) 来代替。而瞬时速度是当Δt→0时v(1)的极限值,即 s(t+△)-(t) (t=lim=lil △t 于是 也即运动物体的速度是它的位移函数的导数
产生导数的实际背景 微积分的发明人之一──Newton最早用导数研究的是如何确定 力学中运动物体的瞬时速度问题。 一个运动物体在时刻t 的位移可以用函数s st = ( )来描述，它在时 间段[, ] tt t + Δ 中位移的改变量为Δs s t t st = ( ) () + Δ − ，所以当Δt 很小的时 候，它在时刻t的瞬时速度可以近似地用它在[, ] tt t + Δ 中的平均速度 v t s t st t st t ( ) ( ) () = = Δ + − Δ ΔΔ 来代替。而瞬时速度是当Δt → 0时v t( )的极限值，即 v t s t st t st t t t ( ) lim lim ( ) () = = + − Δ Δ → → ΔΔ Δ 0 0 Δ 。 于是 vt s t () () = ′ ， 也即运动物体的速度是它的位移函数的导数。 §2 导数的意义和性质
将“速度”这个概念加以推广 凡是牵涉到某个量的变化快 慢的,诸如物理学中的光热磁电的各种传导率、化学中的反应速率 经济学中的资金流动速率、人口学中的人口增长速率等等,统统都可 以看成是广义的“速度”,因而都可以用导数来表达。换句话说,导 数实际上是因变量关于自变量的变化率。 比如,设函数p=p(1)表示某个地区在时刻t的人口数,那么当 t→0时,便得到该地区在时刻t的人口增长速率为 p'(t=lim 2p=1im(+)-p(, △→0△t△→0 △t 即人口增长速率是人口数量函数的导数
将“速度”这个概念加以推广 ── 凡是牵涉到某个量的变化 快 慢的，诸如物理学中的光热磁电的各种传导率、化学中的反应速率、 经济学中的资金流动速率、人口学中的人口增长速率等等，统统都 可 以看成是广义的“速度”，因而都可以用导数来表达。换句话说，导 数实际上是因变量关于自变量的变化率。 比如，设函数 p pt = ( )表示某个地区在时刻 t 的人口数，那么当 Δ t → 0 时，便得到该地区在时刻 t的人口增长速率为 ′ = = + − → → p t p t pt t pt t t t ( ) lim lim ( ) () Δ Δ Δ Δ Δ 0 0 Δ ， 即人口增长速率是人口数量函数的导数
导数的几何意义 设y=f(x)是平面上的一条光滑的 连续曲线,(xf(x)是曲线上一个定点, 割线 (x+Ax(x+△x)是曲线上的一个动点,+A 切线 过(x,f(x)和(x+△x,f(x+△x)两点可 以唯一确定曲线的一条过点x,f(x)的 △ 割线,并且,当点(x+Ax,f(x+△x)在 曲线上移动时将引起割线位置的不断 变化。曲线的切线定义应该是:如果 图4.2.3 在点(x+Ax,f(x+4x)沿着曲线无限趋近于点(x,f(x)(即Ax→0)时, 这些变化的割线存在着唯一的极限位置,则处于这个极限位置的直线 就被称为曲线y=f(x)在点(x,f(x)0的切线(图4.2.3)
导数的几何意义 设 y fx = ( )是平面上的一条光滑的 连续曲线， xfx ))(,( 是曲线上一个定点， + Δ Δ+ xxfxx ))(,( 是曲线上的一个动点， 过( , ( )) xfx 和( , ( )) x xfx x + Δ + Δ 两点可 以唯一确定曲线的一条过点( , ( )) xfx 的 割线，并且，当点( , ( )) x xfx x + Δ + Δ 在 曲线上移动时将引起割线位置的不断 变化。曲线的切线定义应该是：如果 在点( , ( )) x xfx x + Δ + Δ 沿着曲线无限趋近于点( , ( )) xfx （即Δx → 0）时， 这些变化的割线存在着唯一的极限位置，则处于这个极限位置的直线 就被称为曲线 = xfy )( 在点( , ( )) x f x 处的切线（图4.2.3）
现求过点(x,f(x)的切线的斜率。因为割线的斜率为 f(x+△x)-f(x) 因此,过点(x,f(x)的切线斜率就是极限 Ny=lif(x+△x)-f(x) 的值,即f(x)在x处的导数值f(x)这就是导数的几何意义 由此进一步可得,曲线y=f(x)在点P(xnf(x0)处的切线方程是 y-f(x0)=f(x0)(x-x0) 过P点且与切线垂直的直线称为曲线y=f(x)在点P处的法线,于是 当f(x)≠0时,在点P处的法线方程是 y X-X
现求过点( , ( )) xfx 的切线的斜率。因为割线的斜率为 Δ Δ Δ Δ y x fx x fx x = ( ) () + − ， 因此，过点( , ( )) xfx 的切线斜率就是极限 lim lim ( ) () Δ Δ Δ Δ Δ x x Δ y x fx x fx → → x = + − 0 0 的值，即 f x( )在 x 处的导数值 f x ′( )──这就是导数的几何意义。 由此进一步可得，曲线 = xfy )( 在点 ))(,( 000 xfxP 处的切线方程是 ))(()( 0 0 0 − = ′ − xxxfxfy 。 过P0 点且与切线垂直的直线称为曲线 = xfy )( 在点P0 处的法线，于是 当 0)(′ xf 0 ≠ 时，在点P0 处的法线方程是 )( )(1 )( 0 0 0 xx xf xfy − ′ −=−
例42.1求抛物线y2=2px(p>0)上任意一点(x,y)处的切线 斜率 解设(x0,y)属于上半平面(属于下半平面时是类似的),将方 程改写成 则它在(x0,y)处的切线斜率应为 lim /(xo+Ax)==f(xo)- lim y2p(=xo+Ax)-v2pxo Ax→0 △x Ax→0 △x 2p lim Ax(y(x+Ax)+√x)Ax√2 由此很容易求得它在任意一点处的切线方程
例4.2.1 求抛物线 )0(2 2 ppxy >= 上任意一点(, ) x y 0 0 处的切线 斜率。 解 设(, ) x y 0 0 属于上半平面（属于下半平面时是类似的），将方 程改写成 == xpxxfy ≥ )0(2)( ， 则它在(, ) x y 0 0 处的切线斜率应为 0 0 0 0 0 0 0 00 0 ( ) () 2( ) 2 lim lim 2 lim (( ) ) 2 x x x fx x fx p x x px x x x p p xx xx x Δ → Δ → Δ → +Δ − +Δ − = Δ Δ Δ = = +Δ + ⋅Δ ， 由此很容易求得它在任意一点处的切线方程
从这个结论出发可以得到抛物线的一个重要的光学性质。 记抛物线的方程为y2=2px(p>0),设它在点(x0,y)处的切线与x 轴的夹角为B,由于y=√2px0,该切线的斜率可以写成 tane P 2xo yo 再记点(x2,y)与抛物线的焦点2,0 切线 法线 的连线与x轴的夹角为a,该连线与 (x0,y 抛物线在点(x2y3)处的切线的夹角为 0,(如图4.2.4) 图4.2.4
从这个结论出发可以得到抛物线的一个重要的光学性质。 记抛物线的方程为 )0(2 2 ppxy >= ，设它在点(, ) x y 0 0 处的切线与 x 轴的夹角为 θ1，由于 y px 0 0 = 2 , 该切线的斜率可以写成 1 0 0 tan 2 p p x y θ = = ， 再记点(, ) x y 0 0 与抛物线的焦点 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0, 2 p 的连线与 x 轴的夹角为 θ 2，该连线与 抛物线在点 0 0 (, ) x y 处的切线的夹角为 θ ，（如图4.2.4）
由此得到 y tan 于是 tan 0.-tan e tan 0= 1+ tan.. tan 0 切线 y 法线 1+ yo p (x yo P tan e 即θ恰好等于切线与x轴的夹角a。 图4.2.4
由此得到 0 2 0 2 tan p x y− θ = ， 于是 2 1 2 1 tantan1 tantan tan θθ θθ θ ⋅+ − = 0 2 0 0 0 2 0 0 1 y p x y y p x y p p ⋅ − + − − = 1 0 == tanθ y p ， 即θ 恰好等于切线与 x轴的夹角θ1
根据光的反射定律,入射角(入射光线与反射面的法线的夹角) 等于反射角(反射光线与反射面的法线的夹角),可知任意一束从抛 物线焦点处出发的光线,经抛物线的反射,反射光线与抛物线的对称 轴平行。 根据这一原理,将抛物线绕它的对称轴旋转,得到一个旋转抛物 面,于是,放在焦点处的点光源发出的光线,经过旋转抛物面反射后, 成为一束平行于对称轴的光线射出;反过来,由于光路的可逆性,平 行于旋转抛物面对称轴的入射光线,经过旋转抛物面的反射,汇聚于 它的焦点上。 探照灯、伞形太阳灶、抛物面天线等都是这一原理实际应用的例 子
根据光的反射定律，入射角（入射光线与反射面的法线的夹角） 等于反射角（反射光线与反射面的法线的夹角），可知任意一束从抛 物线焦点处出发的光线，经抛物线的反射，反射光线与抛物线的对称 轴平行。 根据这一原理，将抛物线绕它的对称轴旋转，得到一个旋转抛物 面，于是，放在焦点处的点光源发出的光线，经过旋转抛物面反射后， 成为一束平行于对称轴的光线射出；反过来，由于光路的可逆性，平 行于旋转抛物面对称轴的入射光线，经过旋转抛物面的反射，汇聚于 它的焦点上。 探照灯、伞形太阳灶、抛物面天线等都是这一原理实际应用的例 子
例422求椭圆x+=1(anb>0)上任一点(x,y)处的切线方 程 解设(x,y)属于上半平面(属于下半平面时是类似的),将此 区域中的椭圆方程改写成 y=f(x) (-a<x<a), 则它在(x2y)处的切线斜率应为 lim f(xo+Ax)-/(xo) a-(xoAx)-va'-x x→ △x a4r→0 △x (x+△x)2 Im a0(√a2-(x+△n2+a2-x2)△xaa2-x 于是它在(xn,y)处的切线方程为 y-yo
例4.2.2 求椭圆 )0,(1 2 2 2 2 ba >=+ b y a x 上任一点(, ) x y 0 0 处的切线方 程。 解 设(, ) x y 0 0 属于上半平面（属于下半平面时是类似的），将此 区域中的椭圆方程改写成 )( ( ), 22 axaxa a b xfy <<−−== 则它在 0 0 (, ) x y 处的切线斜率应为 2 22 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 22 2 2 00 0 ( ) () ( ) lim lim ( ) lim (( ) ) x x x fx x fx b a x x ax xa x b b x xx x a a a x x ax x ax Δ → Δ → Δ → +Δ − − +Δ − − = Δ Δ − +Δ − = = − +Δ + − ⋅Δ − 。 于是它在 0 0 (, ) x y 处的切线方程为 y y b a x a x − = x x − − 0 − 0 2 0 2 0 ( )
注意到(x0,y)位于椭圆上,即 满足 两边整理后便得到切线方程 J·y b 这正是我们在平面解析几何 图4.2.5 中已知的结论。 可以证明椭圆的一个光学性质:从椭圆的一个焦点发出的任意 束光线,经椭圆反射后,反射光线必定经过它的另一个焦点(图 4.2.5)
注意到(, ) x y 0 0 位于椭圆上，即 满足 y b a a x 0 2 0 2 = − , 两边整理后便得到切线方程 x x a y y b 0 2 0 2 1 ⋅ + ⋅ = , 这正是我们在平面解析几何 中已知的结论。 可以证明椭圆的一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的任意 一束光线，经椭圆反射后，反射光线必定经过它的另一个焦点（图 4.2.5）