§3 Fourier级数的性质 Fourier级数的分析性质 为简单起见,假定f(x)的周期为2π 首先,利用 Riemann引理可以直接得出 定理16.3.1设f(x)在[兀上可积或绝对可积,则对于f(x)的 Fourier系数a与b,有 lim an 0, limb.=0 n→0 n→0
Fourier 级数的分析性质 为简单起见，假定 f x( )的周期为2π。 首先，利用 Riemann 引理可以直接得出 定理 16.3.1 设 f x( )在[−π,π]上可积或绝对可积，则对于 f x( )的 Fourier 系数an与bn，有 = 0lim ∞→ n n a ， = 0lim ∞→ n n b 。 §3 Fourier级数的性质
定理16.3.2( Fourier级数的逐项积分定理)设f(x)在[-兀上 可积或绝对可积 x) +2(a, cos nx+ b sin nx), 则f(x)的 Fourier级数可以逐项积分,即对于任意c,x∈[-π,π], ∫/(dt=J"ydr+∫! (a, cosnt+snm)dt
定理 16.3.2（Fourier 级数的逐项积分定理） 设 f x( )在[−π,π]上 可积或绝对可积， f x( )~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )， 则 f x( )的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意c x, [ ∈ −π,π]， ( )d x c ft t ∫ 0 1 d ( cos sin )d 2 x x n n c c n a t a nt b nt t ∞ = =+ + ∫ ∫ ∑
定理16.3.2( Fourier级数的逐项积分定理)设f(x)在[兀上 可积或绝对可积 f(x)o+2(a, cos nx+b, sin nx), n=1 则f(x)的 Fourier级数可以逐项积分,即对于任意c,x∈[-π,π], ∫oxd="ydt+∫! (a,cos nt+snm)dt 证这里仅对f(x)在[兀x上只有有限个第一类不连续点的情况 加以证明
证 这里仅对 f x( )在[−π,π]上只有有限个第一类不连续点的情况 加以证明。 定理 16.3.2（Fourier 级数的逐项积分定理） 设 f x( )在[−π,π]上 可积或绝对可积， f x( )~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )， 则 f x( )的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意c x, [ ∈ −π,π]， ( )d x c ft t ∫ 0 1 d ( cos sin )d 2 x x n n c c n a t a nt b nt t ∞ = =+ + ∫ ∫ ∑
考虑函数 FO X)= f(1)-0dt 由定理7.3.1可知F(x)是周期为2的连续函数,且在f(x)的连 续点,成立F(x)=f(x)-,而在f(x)的第一类不连续点,F(x)的两 个单侧导数 F(x)=f(x+) 都存在。由 Dini-Lipschitz判别法的推论,F(x)可展开为收敛的 Fourier 级数 FO Ao )=4+∑(A1 cos nx+B,sinx)
考虑函数 F x( ) = 0 () d 2 xc a f t t ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 。 由定理 7.3.1 可知 F x( )是周期为2π 的连续函数，且在 f x( )的连 续点，成立 F x fx ′ = − a () () 02 ，而在 f x( )的第一类不连续点，F x( )的两 个单侧导数 xF )( ±′ = xf ±)( - 2a0 都存在。由Dini-Lipschitz 判别法的推论，F x( )可展开为收敛的Fourier 级数 F x( ) = A A nx B nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )
利用分部积分法,即有 sIn nx F(x)cos nxd x F(x) F(x)sin ndx a sin ndx 类似可得 n 于是 Ao cos nx +-sin nx
利用分部积分法，即有 An = π -π 1 ( ) cos d π F x nx x ∫ π π π -π 1 sin 1 ( ) ( )sin d π π nx F x Fx nx x n n − ⎡ ⎤ = − ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ π 0 π 1 ( ) sin d π 2 a f x nx x n − ⎡ ⎤ = − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ = − bnn 。 类似可得 B a n n n = 。 于是 F x( ) = ∑ ∞ = ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛−+ + 1 0 cos sin 2 n n n nx na nx n A b
令 有 cos nc +-sin nc 2 两式相减并整理,即得到 a F(x)= f(t)-o dt 2 ∑ sin nx- sinC +6 cos nx+ conc n ∑∫(asem+sndt
令 x = c ，有 ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−+= + 1 0 cos sin 2 0 n n n nc n a nc n A b ， 两式相减并整理，即得到 F x( ) = 0 () d 2 x c a f t t ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− + − = 1 sinsin coscos n n n n ncnx b n ncnx a 1 ( cos sin )d x n n c n a nt b nt t ∞ = = + ∑ ∫
令 有 cos nc +-sin nc 2 两式相减并整理,即得到 F(x)=|011=∑ sin nx- sinC +6 cos nx+ conc n ∑∫(cosm+bsm)dr 定理16.3.2说明,只要f(x)可以展成 Fourier级数 f(x)+2(a, cos nx+b, sin nx) 哪怕这个级数并不表示∫(x),甚至根本不收敛,它的逐项积分级数 也一定能收敛于f(x)的积分
定理 16.3.2 说明，只要 f x( )可以展成 Fourier 级数 f x( )~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )， 哪怕这个级数并不表示 f x( )，甚至根本不收敛，它的逐项积分级数 也一定能收敛于 xf )( 的积分。 令 x = c ，有 ∑ ∞ = ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛−+= + 1 0 cos sin 2 0 n n n nc na nc n A b ， 两式相减并整理，即得到 F x( ) = 0 () d 2 xc a f t t ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑∞= ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ +− + − = 1 sinsin coscos n n n n ncnx b n ncnx a 1 ( cos sin )d x n n c n a nt b nt t ∞ = = + ∑∫
从定理16.3.2的证明,我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier级数的一个必要条件。 推论16.3.1+∑( a. cos nx+ b sin nx)是某个在[兀丌上可积或 n=1 绝对可积函数的 Fourier级数的必要条件是∑一收敛。 n=1
从定理 16.3.2 的证明，我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier 级数的一个必要条件。 推论 16.3.1 a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )是某个在[− π,π]上可积或 绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 b n n n = ∞ ∑ 1 收敛
从定理16.3.2的证明,我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier级数的一个必要条件。 推论16.3.1+∑( a. cos nx+ b sin nx)是某个在[兀丌上可积或 n=1 绝对可积函数的 Fourier级数的必要条件是∑一收敛。 n=1 由推论16.3.1可知并不是任意一个收敛的三角级数就一定是某 个可积或绝对可积函数的 Fourier级数的。比如三角级数∑mn,由 Dche别法可知它是点点收敛的,但由于∑nn发散,它不可能 是某个可积或绝对可积函数的ouer级数
由推论 16.3.1 可知并不是任意一个收敛的三角级数就一定是某 个可积或绝对可积函数的 Fourier 级数的。比如三角级数 ∑ ∞ = 2 ln sin n n nx ，由 Dirichlet 判别法可知它是点点收敛的，但由于 ∑ ∞ = 2 ln 1 n nn 发散，它不可能 是某个可积或绝对可积函数的 Fourier 级数。 从定理 16.3.2 的证明，我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier 级数的一个必要条件。 推论 16.3.1 a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )是某个在[− π,π]上可积或 绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 b n n n = ∞ ∑ 1 收敛
Fourier级数逐项微分的结果就远没有这么好了。一般说来, Fourier级数是不能逐项微分的,除非是加上特别的条件。 定理16.3.3( Fourier级数的逐项微分定理)设f(x)在[-兀上 连续, f(x) do +2(a, cos nx + b, sin nx) 2 f(-x)=f(x),且除了有限个点外f(x)可导。进一步假设∫(x)在[兀上 可积或绝对可积(注意:∫(x)在有限个点可能无定义,但这并不影 响其可积性)。则∫'(x)的 Fourier级数可由∫(x)的 Fourier级数逐项微 分得到,即 r(():邮m 2(a, nsin nx +b,n cos nx)
Fourier 级数逐项微分的结果就远没有这么好了。一般说来， Fourier 级数是不能逐项微分的，除非是加上特别的条件。 定理 16.3.3（Fourier 级数的逐项微分定理） 设 f x( )在[−π,π]上 连续， f x( )~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )， f f (−π) ( = π) ，且除了有限个点外 xf )( 可导。进一步假设 f x ′( )在[−π,π]上 可积或绝对可积（注意： f x ′( )在有限个点可能无定义，但这并不影 响其可积性）。则 f x ′( )的 Fourier 级数可由 f x( )的 Fourier 级数逐项微 分得到，即 f x ′( )~ 0 1 d d ( cos sin ) d2 d n n n a a nx b nx x x ∞= ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∞ = −= + 1 sin( )cos n n n nxnbnxna