§2重积分的性质与计算 重积分的性质 性质1(线性性)设∫和g都在区域!上可积,a,B为常数,则 +在?上也可积,并且 ∫(af+/8ld=a∫fd+f∫gd。 性质2(区域可加性)设区域g被分成两个内点不相交的区域 21和!2,如果∫在Ω上可积,则∫在1和2上都可积;反之,如 果f在21和2上可积,则∫也在息上可积。此时成立 fdv= fdv+I fdv
重积分的性质 性质 1（线性性）设 f 和 g 都在区域 Ω 上可积，α, β 为常数，则 α + βgf 在 Ω 上也可积，并且 ( )d α β f + g V ∫ Ω =α f dV ∫ Ω + β g Vd ∫ Ω 。 性质 2（区域可加性） 设区域 Ω 被分成两个内点不相交的区域 Ω1和 Ω2，如果 f 在 Ω 上可积，则 f 在 Ω1和 Ω2上都可积；反之，如 果 f 在 Ω1和 Ω2上可积，则 f 也在 Ω 上可积。此时成立 f dV ∫ Ω 1 = f dV ∫ Ω + 2 f dV ∫ Ω 。 §2 重积分的性质与计算
性质3设被积函数∫=1。当n=2时 ∫ jd.xdy=J∫1dxdy=9的面积 当n≥3时 ∫dr=jldr=9的体积。 性质4(保序性)设∫和g都在区域!上可积,且满足∫≤g 则成立不等式 fdV≤lgdV
性质 3 设被积函数 f ≡ 1。当n = 2时 d dx y ∫∫ Ω = 1d dx y = ∫∫ Ω Ω 的面积； 当n ≥ 3时 dV ∫ Ω = 1dV = ∫ Ω Ω 的体积。 性质 4 （保序性） 设 f 和g 都在区域 Ω 上可积，且满足 f ≤ g ， 则成立不等式 f dV ≤ ∫ Ω g Vd ∫ Ω
性质5设f在区域上可积,M与m分别为f在上的上确界 和下确界,则成立不等式 ms|fd≤MV, 其中V当n=2时为Ω的面积,当n>2时为的体积 性质5是性质4的直接推论。 性质6(绝对可积性)设∫在区域旦上可积,则∫也在上可 积,且成立不等式 ∫fdr|s∫fd?
性质 5 设 f 在区域 Ω 上可积， M 与m分别为 f 在 Ω 上的上确界 和下确界，则成立不等式 m V ≤ f dV ≤ ∫ Ω M V ， 其中V 当n = 2时为 Ω 的面积，当n > 2时为 Ω 的体积。 性质 5 是性质 4 的直接推论。 性质 6（绝对可积性） 设 f 在区域 Ω 上可积，则 f || 也在 Ω 上可 积，且成立不等式 | f dV ∫ Ω | ≤ | |d f ∫ Ω Ω
性质7(乘积可积性)设∫和g都在区域!上可积,则∫·g也 在g上可积。 性质8(积分中值定理)设f和g都在区域!2上可积,且g在g 上不变号。设M与m分别为∫在!上的上确界和下确界,则存在常数 u∈[m,M],使得 f·g dv=u g dy 特别地,如果∫在Ω上连续,则存在ξ∈,使得 ∫/gd=f(5)∫gdr
性质 7 （乘积可积性） 设 f 和 g 都在区域 Ω 上可积，则 f g⋅ 也 在 Ω 上可积。 性质 8（积分中值定理） 设 f 和 g 都在区域 Ω 上可积，且 g 在 Ω 上不变号。设 M 与m分别为 f 在 Ω 上的上确界和下确界，则存在常数 μ ∈ Mm ],[ ，使得 f ⋅ g Vd = ∫ Ω μ g Vd ∫ Ω 。 特别地，如果 f 在 Ω 上连续，则存在ξ ∈Ω，使得 f ⋅ g Vd = ∫ Ω f ξ )( g Vd ∫ Ω
矩形区域上的重积分计算 设D=[a,b]×,d是R2上的闭矩形,z=f(x,y)是D上的非负连续函 数,则以D为底、曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积V正是二重积 分 f(x, y)dxd 用过(x,00)(a≤x≤b)点,且与2 yz平面平行的平面截这个曲顶柱 体,所得的截面是曲边梯形(见图 A(xb 132.1),其面积为 A(x)= f(r, y)dy b 图132.1
矩形区域上的重积分计算 设 D = × [, ] [, ] ab cd 是 2 R 上的闭矩形，z f xy = (,) 是 D上的非负连续函 数，则以 D为底、曲面z f xy = (,)为顶的曲顶柱体的体积 V 正是二重 积 分 f ( , )d d xy x y ∫∫ D 。 用过 x )0,0,( ≤ ≤ bxa )( 点，且与 yz 平面平行的平面截这个曲顶柱 体，所得的截面是曲边梯形（见图 13.2.1 ），其面积为 ∫ = d c d),()( yyxfxA 。 a x x b y z z = f (x, y ) O A (x ) 图13.2.1
利用定积分中的结论,即知此曲顶柱体的体积为 V= A(x)dx f(x, y)dy dx C((xy)dydx称为/x,y先对y,再对的累次积分,习惯上写成 faxf(xy)dy,因此有等式 ∫/xy)ddy=rd(x,ydy
利用定积分中的结论，即知此曲顶柱体的体积为 ∫ = b a d)( xxAV ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = b a d c dd),( xyyxf 。 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ b a d c dd),( xyyxf 称为 f xy (,) 先对 y ，再对 x 的累次积分，习惯上写 成 ∫ ∫ b a d c d),(d yyxfx ，因此有等式 f ( , )d d xy x y ∫∫ D = ∫ ∫ b a d c d),(d yyxfx
这个几何方法提示我们:重积分可以通过累次积分来计算。 定理13.2.1设二元函数f(x,y)在闭矩形D=[a,bx[c,上可积。 若积分 h(x)= f(x, y)d y 对于每个x∈[ab存在,则M(x)在[a,b上可积,并有等式 f(x,y)dxdy= h(x)dx f(x,y)dy dx= dx f(x,y)dy
这个几何方法提示我们：重积分可以通过累次积分来计算。 定理 13.2.1 设二元函数 yxf ),( 在闭矩形D = [, ] [, ] ab cd × 上可积。 若积分 xh )( = ∫dc d),( yyxf 对于每个 ∈ bax ],[ 存在，则 xh )( 在 ba ],[ 上可积，并有等式 f ( , )d d xy x y ∫∫ D = ∫ba d)( xxh ∫ ∫ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = ba dc dd),( xyyxf = ∫ ∫ ba dc d),(d yyxfx
证在[a,b中插入分点 <x,<…<x 并记Ax1=x1-x1(i=12,…,n)。显然只要证明 im∑()Ax,=(x, eddy D 这里为x1x中任意一点,为所有Ax的最大者。 再在[c4中插入分点 C=y<y1<…<ym=d, 并记y=y-y(j=12…m)。过[a和[d上的这些分点分别作 平行于坐标轴的直线将D分成许多小矩形(这是D的一个划分),记 x1,x]×[y1,y,1=1,2,…,mj=12,…,m; m,= inf ff(x, y)), M sup f(x, y)) (x,y)∈D (x,y)∈D
证 在[,] a b 中插入分点 ax x x b = 0 1 < <"< n = ， 并记Δ −= iii −1 xxx （ = ",,2,1 ni ）。显然只要证明 ∑ =Δ = → n i ii xh 1 0 ξ )(limλ f xy x y ( , )d d ∫∫D ， 这里ξ i 为 ],[ 1 ii xx − 中任意一点，λ 为所有Δxi的最大者。 再在 dc ],[ 中插入分点 dyyyc = < 10 < " < m = ， 并记Δ −= jjj −1 yyy （ = ",,2,1 mj ）。过 ba ],[ 和 dc ],[ 上的这些分点分别作 平行于坐标轴的直线将D分成许多小矩形（这是D的一个划分），记 1 1 [ , ][ , ] ij i i j j x x y y D = − − × ， = " = ",,2,1;,,2,1 mjni ； (,) inf { (, )} ij x y ij m f x y ∈ = D ， (,) sup { (, )} ij x y ij M f x y ∈ = D
由于∈[x,x],所以 ∑m2y≤M5)=∑1(5,ydys∑My,1=12…,n 将这些不等式分别乘以Ax,再把它们逐个加起来就得 ∑∑mAx4y≤∑s∑∑M△x△y° i=l j 不等式的左右两端正是f(x,y)在所作划分上的 Darboux小和与大 和,由于f(x,y)在D上可积,当所有Ax,4y都趋于零时,这个不等式 两端都趋于 f(x, y) y 由极限的夹逼性,即得到 广Mx)dx=mn∑M5Ax=J( x,y)dxdy
由于 ],[ 1 iii xx ξ ∈ − ，所以 ∑ ∑∫ ∑ = = = =≤Δ Δ≤ − m j jij m j y y i i m j jij hym yMyyf j j 1 1 1 1 ξ )( ξ d),( ， = ",,2,1 ni 。 将这些不等式分别乘以Δxi，再把它们逐个加起来就得 ∑∑ ∑ ∑∑ = = = = = ≤Δ≤ΔΔ ΔΔ n i m j jiij n i ii n i m j jiij xhyxm yxM 1 1 1 1 1 ξ )( 。 不等式的左右两端正是 yxf ),( 在所作划分上的 Darboux 小和与大 和，由于 yxf ),( 在 D上可积，当所有 ji Δ ,Δyx 都趋于零时，这个不等式 两端都趋于 f ( , )d d xy x y ∫∫ D 。 由极限的夹逼性，即得到 ∫ba d)( xxh = ∑ =Δ = → n i ii xh 1 0 ξ )(limλ f ( , )d d xy x y ∫∫D
可以同样推出,若f(x,y)在D=[ab×,d4上可积,且对所有 yEIc, d,积分(xydx都存在,则f(xy)先对x,再对y的累次积分 ∫dyf(x,ydx也存在,且成立 f(x, y)dxd y f(x, y)dx
可以同样推出，若 f xy (,) 在 D = [, ] [, ] ab cd × 上可积，且对所有 y cd ∈[, ]，积分∫ba d),( xyxf 都存在，则 f xy (,) 先对 x，再对 y 的累次积分 ∫ ∫ dc ba d),(d xyxfy 也存在，且成立 f ( , )d d xy x y ∫∫ D = ∫ ∫ dc ba d),(d xyxfy