第十一章 Euclid空间上的极限和连续 §1 Euclid空间上的基本定理 到目前为止,我们所学习的只是一元函数的分析性质。但在现实 生活中,除了非常简单的情况之外,可以仅用一个自变量和一个因变 量的变化关系来刻画的问题可以说是非常少的。比如像物理学中研究 质点运动这么一个相对较为容易的问题,也需要用到确定空间位置的 三个坐标变量x、y、z和一个时间变量t以及多个函数值(如位置、 速度、加速度、动量等),更不用说在各种不同的学科研究中会遇到 更为复杂的问题。这种多个自变量和多个因变量的变化关系,反映到 数学上就是多元函数(或多元函数组,即向量值函数)
到目前为止, 我们所学习的只是一元函数的分析性质。但在现实 生活中，除了非常简单的情况之外，可以仅用一个自变量和一个因变 量的变化关系来刻画的问题可以说是非常少的。比如像物理学中研究 质点运动这么一个相对较为容易的问题，也需要用到确定空间位置的 三个坐标变量 x、y、z 和一个时间变量 t 以及多个函数值（如位置、 速度、加速度、动量等），更不用说在各种不同的学科研究中会遇到 更为复杂的问题。这种多个自变量和多个因变量的变化关系，反映到 数学上就是多元函数（或多元函数组，即向量值函数）。 第十一章 Euclid空间上的极限和连续 §1 Euclid空间上的基本定理
Euclid空间中的距离与极限 先回忆一下一元函数的极限定义 imf(x)=A台VE>0,彐δ>0,Vx(0<x-x0k):|f(x)-AkE x→x0 从上述定义可知在自变量的变化过程中,只要x与x充分接近(x ≠x0),函数值f(x)就可以与A任意接近。而这个“接近”,不管是用 符号“0<x-x<d”和“(x)-Akg”表示,还是用语言“在x的δ去 心邻域O(xn,8){x}中”和“落在点A的ε邻域中”表示,实质上都是 用绝对值,即一维空间中两点间的距离来刻画的。所以在定义了高维 空间以后,必须将“距离”的概念推广至高维空间,定义出类似于“绝 对值”那样的度量概念,然后才能在此基础上去相应地定义极限,进 而构筑整个多元分析理论
Euclid 空间中的距离与极限 先回忆一下一元函数的极限定义： lim x x → 0 f x( ) = A ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ( 0 0| | <− < x x δ )：| () | fx A − < ε 。 从上述定义可知在自变量的变化过程中，只要 x 与 x0充分接近（x ≠x0 ），函数值 f (x)就可以与 A 任意接近。而这个“接近”，不管是用 符号“ xx 0 ||0 <−< δ ”和“| () | fx A − < ε ”表示，还是用语言“在 x0的δ 去 心邻域 0 0 Ox x ( , )\{ } δ 中”和“落在点 A 的ε 邻域中”表示，实质上都是 用绝对值，即一维空间中两点间的距离来刻画的。所以在定义了高维 空间以后，必须将“距离”的概念推广至高维空间，定义出类似于“绝 对值”那样的度量概念，然后才能在此基础上去相应地定义极限，进 而构筑整个多元分析理论
记R为实数全体,定义n个R的 Descartes乘积集为 R"=RxRx…×R={(x1,x2…xn)|x1∈R,i=1,2 R"中的元素x=(x1,x2…xn)称为向量或点,x,称为x的第个坐标。特 别地,R"中的零元素记为0=(00,…,0)。 设x xn),y=(V,y2…,yn)为R"中任意两个向量,为 任意实数,定义R"中的加法和数乘运算 x+y=(,+yi,x2+y2, ,xn+yn) λx=(x1,x2,…,λxn), R"就成为向量空间
记 R 为实数全体，定义 n 个 R 的 Descartes 乘积集为 n R R R ××= L× R = { |),,,( 21 n L xxx xi ∈ R， = L,,2,1 ni }。 n R 中的元素 x ),,,( 21 n = L xxx 称为向量或点， i x 称为 x 的第i个坐标。特 别地， n R 中的零元素记为0 = L )0,,0,0( 。 设 x = ),,,( 21 n L xxx ，y = ),,,( 21 n L yyy 为 n R 中任意两个向量，λ 为 任意实数，定义 n R 中的加法和数乘运算： x + y = ),,,,( 2211 nn + + L + yxyxyx λ x = ),,,( 21 n λ λ L λ xxx , n R 就成为向量空间
如果在R"上引入內积运算 y>=x+x2+…+x=∑xy k=1 那么R"就被称为 Euclid空间。 容易验证内积满足以下性质:设x,y,z∈R",,H∈R,则 (1)(正定性)≥0,而=0当且仅当x=0; 2)(对称性)=; (3)(线性性)=1+ (4)( Schwarz不等式)2≤
如果在 n R 上引入内积运算 ＜x , y＞ nn = + +L+ yxyxyx 2211 =∑ = n k kk yx 1 ， 那么 n R 就被称为 Euclid 空间。 容易验证内积满足以下性质：设 x，y，z∈ n R ，λ , μ ∈R, 则 (1) （正定性）＜x , x＞≥ 0 , 而＜x , x＞= 0 当且仅当 x= 0； (2) （对称性）＜x , y＞ = ＜y , x＞； (3) （线性性）＜λ x + μ y , z＞ = λ ＜x , z＞ + μ ＜y , z＞； (4) （Schwarz 不等式）＜x , y＞2 ≤ ＜x , x＞＜y , y＞
如果在R"上引入內积运算 ,y>=xy+x2y2+…+x,yn=∑xy k=1 那么R"就被称为 Euclid空间。 容易验证内积满足以下性质:设x,y,z∈R",,H∈R,则 (1)(正定性)≥0,而=0当且仅当x=0; 2)(对称性); (3)(线性性)=1+ (4)( Schwarz不等式)2≤。 我们仅证明(4)。由(1)-(3)可以得到 nx ty, ar ty 2+2≤0。 这就得到了 Schwarz不等式
我们仅证明(4)。由(1) — (3)可以得到 ＜λ x +y , λ x +y＞ = λ2 ＜x , x＞ + 2λ ＜x , y＞ + ＜y , y＞ ≥ 0 对任意λ∈ R都成立，所以其判别式不大于零，即 4＜x , y＞2 - 4＜x , x＞＜y , y＞≤0。 这就得到了 Schwarz 不等式。 如果在 n R 上引入内积运算 ＜x , y＞ nn = + +L+ yxyxyx 2211 =∑ = n k kk yx 1 ， 那么 n R 就被称为 Euclid 空间。 容易验证内积满足以下性质：设 x，y，z∈ n R ，λ , μ ∈R, 则 (1) （正定性）＜x , x＞≥ 0 , 而＜x , x＞= 0 当且仅当 x= 0； (2) （对称性）＜x , y＞ = ＜y , x＞； (3) （线性性）＜λ x + μ y , z＞ = λ ＜x , z＞ + μ ＜y , z＞； (4) （Schwarz 不等式）＜x , y＞2 ≤ ＜x , x＞＜y , y＞
平面解析几何中两点x=(x,x2),y=(y1,y2)间的距离公式 y1)2+(x2-y2)2 启示我们可以按照这样的方式,在R"上定义“距离” 定义111.1 Euclid空间R"中任意两点x=(x,x2…,x)和y =(y,y2…,yn)间的距离定义为 x-y=√(x1-y1)2+(x2-y2)2+…+(x2-yn) 并称 k=1 为κ的 Euclid范数(简称范数)。 显然,x的范数就是x到0的距离(即x的模长)
平面解析几何中两点 x = ),( 21 xx ，y = ),( 21 yy 间的距离公式 2 22 2 11 −+− yxyx )()( 启示我们可以按照这样的方式，在 n R 上定义“距离”： 定义 11.1.1 Euclid 空间 n R 中任意两点 x = ),,,( 21 n L xxx 和 y = ),,,( 21 n L yyy 间的距离定义为 | x – y | = 2 2 22 2 11 )()()( nn yxyx L −++−+− yx ， 并称 x = , xx >< = ∑ = n k k x 1 2 为 x 的 Euclid 范数（简称范数）。 显然，x 的范数 x 就是 x 到 0 的距离（即 x 的模长）
定理11.1.1距离满足以下性质 (1)(正定性)|x-y|≥0,而|x-y|=0当且仅当x=y (2)(对称性)|x-y|=|y-x|; (3)(三角不等式)|x-z|≤|x-y|+|y-z 证明略
定理 11.1.1 距离满足以下性质： (1) （正定性）| x – y | ≥ 0，而| x – y | = 0 当且仅当 x= y； (2) （对称性）| x – y | = | y – x | ； (3) （三角不等式）| x – z | ≤| x – y | + | y – z | 。 证明略
定义了距离就可以引入邻域以及收敛的概念。 定义11.1.2设a=(a1,a2…an)∈R",δ>0,则点集 O(a,6)={x∈R"x-ak<6} kr∈R"(x1-a1)2+(x2-a2)2+…+(x-an)2< 称为点a的δ邻域,a称为这个邻域的中心,δ称为邻域的半径。 特别地,O(a,δ)在R上就是开区间,在R2上是开圆盘,在R3上 则是开球
定义了距离就可以引入邻域以及收敛的概念。 定义 11.1.2 设 a = ),,,( 21 n L aaa n ∈ R ，δ > 0 , 则点集 δ {),( axxa <−∈= δ} n O R { <−++−+−∈= δ } 2 2 22 2 11 )()()( nn n x R axax L ax 称为点 a 的 δ 邻域，a 称为这个邻域的中心， δ 称为邻域的半径 。 特别地， O a δ ),( 在 R 上就是开区间，在 2 R 上是开圆盘，在 3 R 上 则是开球
定义11.3设{x}是R中的一个点列。若存在点a∈R",对于 任意给定的ε>0,存在正整数K,使得当k>K时,成立 x-a<E(即x∈O(a,E) 则称点列{x}收敛,或点列{x}收敛于a,也称a为点列{x}的极限。 为 lim xk =a 个点列不收敛就称其发散
定义 11.1.3 设 }{xk 是 n R 中的一个点列。若存在点 a n ∈R ，对于 任意给定的ε > 0，存在正整数K ，使得当 > Kk 时，成立 ax <− ε k （即 O ax ε ),( k ∈ ）， 则称点列 }{xk 收敛，或点列 }{xk 收敛于 a，也称 a 为点列 }{xk 的极限。 记为 k ∞→ lim xk = a。 一个点列不收敛就称其发散
定义11.3设{x}是R中的一个点列。若存在点a∈R",对于 任意给定的ε>0,存在正整数K,使得当k>K时,成立 x-a<E(即x∈O(a,E) 则称点列{x}收敛,或点列{x}收敛于a,也称a为点列{x}的极限。 为 lim xk =a 个点列不收敛就称其发散 记x=(x,x2,…,x)(k=1,2…),a=(a1,a2…,an),利用不等式 -4≤x-a2-≤∑x-0=2,n 可以得到 定理11.1.2imxk=a的充分必要条件是limx=a1(i=1,2…,n) k→∞
记 ),2,1(),,,( xk = 21 kk L nk kxxx = L ，a = ),,,( 21 n L aaa ，利用不等式 j k j − ax ≤ 2 1 | | () n k k i i i x a = x a −= − ∑ ≤ njax n i i k i ,,2,1,|| 1 ∑ =− L = 可以得到 定理 11.1.2 k ∞→ lim xk = a 的充分必要条件是lim niax ),,2,1( i ki k == L ∞→ 。 定义 11.1.3 设 }{xk 是 n R 中的一个点列。若存在点 a n ∈R ，对于 任意给定的ε > 0，存在正整数K ，使得当 > Kk 时，成立 ax <− ε k （即 O ax ε ),( k ∈ ）， 则称点列 }{xk 收敛，或点列 }{xk 收敛于 a，也称 a 为点列 }{xk 的极限。 记为 k ∞→ lim xk = a。 一个点列不收敛就称其发散