§2多元复合函数的求导法则 链式规则 设z=f(xy)(xy)∈D是区域D,cR2上的二元函数,而 g D→R (l,v)+>(x(l2v),y(,v) 是区域D4R2上的二元二维向量值函数。如果g的值域g(D)cD, 那么可以构造复合函数 z=f°g=fx(4,)y,y),(u,)∈Do 复合函数有如下求偏导数的法则
链式规则 设 = yxyxfz ),(),,( ∈ Df 是区域Df ⊂ 2 R 上的二元函数，而 : g g D → 2 R , 6 vuyvuxvu )),(),,((),( 是区域Dg ⊂ 2 R 上的二元二维向量值函数。如果 g 的值域 g D( ) g ⊂ Df ， 那么可以构造复合函数 = fz D g = vuvuyvuxf ),()],,(),,([ ∈ Dg 。 复合函数有如下求偏导数的法则。 §2 多元复合函数的求导法则
定理12.2.1(链式规则)设g在(l0,”)∈D点可导,即x=x(v,), y=y(u1)在(u,n)点可偏导。记x=x(n,1),y=(n”),如果f在 (x0,y)点可微,那么 z z 0 (l2V)=(x0,y0)(b,v)+x(x,y)-(u,v)。 证只证明第一式。由于f在(xn,y)点可微,因此 f(o+Ar, yo ay)-f(xo, yo (x0,yo)Ax+(x,y0)△y+a(△x,y)△x2+A 其中a(△,Ay)满足1ima(△x,△y)=0。定义a(0,0)=0,那么上式当 (△x,△y)→ (Ax,4y)=(0,0)时也成立
定理 12.2.1（链式规则） 设 g 在 vu 00 ),( ∈ Dg 点可导，即 = vuxx ),( ， = vuyy ),( 在 ),( 00 vu 点可偏导。记 ),(),,( 0 00000 = = vuyvuxx ，如果 f 在 ),( 00 yx 点可微，那么 00 0 0 00 0 0 00 (,) (, ) (,) (, ) (,) z zx zy uv xy uv xy uv u xu yu ∂ ∂∂ ∂∂ = + ∂ ∂∂ ∂∂ ； 00 0 0 00 0 0 00 (,) (, ) (,) (, ) (,) z zx zy uv xy uv xy uv v xv yv ∂ ∂∂ ∂∂ = + ∂ ∂∂ ∂∂ 。 证 只证明第一式。由于 f 在 ),( 00 yx 点可微，因此 ),(),(),( , ),(),( 22 00 00 0 0 00 yxyxyyx y f xyx x f yxfyyxxf Δ+ΔΔΔ+Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ = + Δ + Δ − α 其中 α ΔΔ yx ),( 满足 0),(lim 0),( Δ Δ = →ΔΔ yx yx α 。定义 α = 0)0,0( ，那么上式当 Δ Δyx = )0,0(),( 时也成立
设Ax=x(l+△,10)-x(lnn),4y=y(l0+△l,)-y(ln,), 由于x=x(u,1),y=y(u,)在(n”)点可偏导,所以成立 △xO lim (uo, vo), I (l,v0), △a→0△aOa △→>0△u 并且有lmAx2+4y2=0。于是当Am趋于0时, a(△x,Ay)y△x2+△y a(△x,Ay) △ △l 也趋于0,所以 az (uo, vo)=lim f(x(uo +au, vo), y(uo+Au, vo))-f(x(uo,vo),yuo, vo)) A→0 lim f(o+Ax,yo+Ay)-f(xo, yo) A→0 △ul a(△x,△y)√△x2+ Im (Xo, yo )+(x0,y0 +im △a→0 △→>0 △ (l,V)+(x,y
设 ),(),( 0 0 00 =Δ + Δ − vuxvuuxx ， ),(),( 0 0 00 Δ = + Δ − vuyvuuyy ， 由于 = vuxx ),( ， = vuyy ),( 在 ),( 00 vu 点可偏导，所以成立 lim lim),,( ),( 00 0 00 0 vu uy uy vu ux ux u u ∂∂ = ΔΔ ∂∂ = ΔΔ →Δ →Δ ， 并且有 lim 0 22 0 =Δ+Δ →Δ yx u 。于是当Δu 趋于 0 时， 22 2 2 ),( ),( ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ΔΔ ⎟ + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ ΔΔ ⋅ ΔΔ⋅ΔΔ= Δ Δ+ΔΔΔ uy ux uu yx u yxyx α α 也趋于 0，所以 u vuyvuxfvuuyvuuxf vu u z u Δ + Δ + Δ − = ∂ ∂ →Δ )),(),,(()),(),,(( lim),( 0 00 0 0000 0 00 u yxfyyxxf u Δ + Δ + Δ − = →Δ ),(),( lim 0 0 00 0 u yxyx u y yx y f u x yx x f u u Δ Δ+ΔΔΔ +⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ΔΔ ∂∂ + ΔΔ ∂∂ = →Δ →Δ 22 0 00 00 0 ),( lim),(),(lim α 0 0 00 0 0 00 (, ) (,) (, ) (,) fx fy x y uv xy uv xu yu ∂∂ ∂∂ = + ∂∂ ∂∂
注意,定理条件“f可微”不能减弱为“∫可偏导” 例12.2.1从上节已经知道, 2 f(x,y)=1x2+ x 在(00点可偏导,且f,(00)=f,(0,0)=0,但它在00)点不可微 现在设x,y分别是自变量t的函数 y=L, 直接代入就知这个复合函数实质上是z=t,因此在t=0点的导数为 dz d 但若贸然套用链式规则,就会导出 d z 0)=[fx(t2,1)2+f,(t2,1)1 dt =[x(0.0)2·0+f,(00)·1=0 的错误结果
注意，定理条件“ f 可微”不能减弱为“ f 可偏导” 。 例 12.2.1 从上节已经知道， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ ≠+ == + ,0 0 , ,0 2 ),( 22 22 42 3 yx yx yx xy yxfz 在 )0,0( 点可偏导，且 = = 0)0,0()0,0( x y ff ，但它在 )0,0( 点不可微。 现在设 x, y分别是自变量 t 的函数 ⎩ ⎨ ⎧ = = , , 2 ty tx 直接代入就知这个复合函数实质上是 z = t ，因此在 t = 0点的导数为 1)0( d d = t z 。 但若贸然套用链式规则，就会导出 0 2 2 ]1),(2),([)0( d d = ⋅+⋅= t x y ttftttf t z = ⋅ ⋅ + ⋅ = 0]1)0,0(02)0,0([ x y f f 的错误结果
下面不加证明地把链式规则推至一般情况。 设 f(y1,y2,…,yn),(y1,y2 为区域D,cR"上的m元函数。又设 g D→R X,x )+>(y1,y2…,yn) 为区域D2cR"上的n元m维向量值函数。如果g的值域g(Dn)∈D, 那么可以构造复合函数 z=f°g=fy1(x12x2,…,xn)2y2(x12x2,…,xn)…,yn(x12x2,…x月, xn)∈D
下面不加证明地把链式规则推至一般情况。 设 = 21 " m 21 " yyyyyyfz m ),,,(),,,,( ∈ D f 为区域 D f ⊂ m R 上的 m 元函数。又设 : g g D → m R ， ),,,(),,,( 21 n 21 m 6" " yyyxxx 为区域 D g ⊂ n R 上的 n 元 m 维向量值函数。如果 g 的值域 g D( ) g ⊂ D f ， 那么可以构造复合函数 = fz D g = )],,,(,),,,,(),,,,([ 211 n 212 n m 21 n " "" " xxxyxxxyxxxyf , 1 2 (, , , ) n xx x " ∈ D g
定理122(链式规则)设g在x∈D点可导,即y,y2…,yn在 可偏导,且∫在y°=g(x°)点可微,则 z (x) (y)ax (x)+(y)2(x)+…+ 0(y)a )(x), 上式可以用矩阵表示为 z y2 Oy ay ax 或用向量值函数的导数记号表为 (fog)(x0)=∫(y)g(x)
定理 12.2.2（链式规则） 设 g 在 ∈0 x Dg 点可导，即 m ,,, yyy 21 " 在 0 x 点可偏导，且 f 在 )( 0 0 = xgy 点可微，则 )( 0 x i x z ∂ ∂ )()()()( )()( 0 2 0 0 0 2 0 1 0 1 xyxy xy i m i i m x y y z x y y z x y y z ∂ ∂ ∂ ∂ ++ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = " ， = ",,2,1 ni 。 上式可以用矩阵表示为 0 ,,, 21 n xx x z x z x z = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ ∂∂ ∂∂ " 0 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 21 ,,, n xx m m m n n m yy x y x y x y x y x y x y x y x y x y y z y z y z = = ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ ∂∂ ∂∂ = " ### "" " ， 或用向量值函数的导数记号表为 )()()()( 0 0 xgyxg 0 f D ′ = f ′ ′
例1222设:= arctan(xy), y=e,求山 x 解由链式规则 dz az dx az d y x .1+ e(l+x dx ax dx aydx 1+xy 1+x 1+x2e 于是 d
例 12.2.2 设 z = xy),arctan( x y = e ，求 d 0 d x = x z 。 解 由链式规则 2 2 2 2 2 2 ddd e (1 ) 1 e d d d1 1 1e x x x z zx zy y x x x x x y x xy xy x ∂ ∂ + = + = ⋅+ ⋅ = ∂∂ + + + 。 于是 1 d d 0 = x = x z
例1223设:=x,而x=n-2,y=2+,计算, 解 azaz ax az 2x x 2 Ox Ou Oy ou 2(u-2v)2(u-2y)22(l4-2l)(l+3v) 2u+v(2+v) (2+v az 0z Ox az ay 2x (-2) 4(l-2v)(u-2v)(2v-)9+2v) 2l+v(2u+y) (2u+v)
例 12.2.3 设 y x z 2 = ，而 = − = 2,2 + vuyvux ，计算 v z u z ∂ ∂ ∂ ∂ , 。 解 2 2 2 1 2 z zx zy x x u xu yu y y ∂ ∂∂ ∂∂ ⎛ ⎞ = + = ⋅+− ⋅ ⎜ ⎟ ∂ ∂∂ ∂∂ ⎝ ⎠ 2 2 2 2( 2 ) 2( 2 ) 2( 2 )( 3 ) 2 (2 ) (2 ) u v u v u vu v uv uv uv − − −+ =− = ++ + 。 2 2 2 ( 2) 1 z zx zy x x v xv yv y y ∂ ∂∂ ∂∂ ⎛ ⎞ = + = ⋅− + − ⋅ ⎜ ⎟ ∂ ∂∂ ∂∂ ⎝ ⎠ 2 2 2 4( 2 ) ( 2 ) (2 )(9 2 ) 2 (2 ) (2 ) u v u v vu u v uv uv uv − − −+ =− − = ++ +
例122.4设z=(2x+y)+y,计算 az 解设u=2x+y,=x+2y,则z=”。于是 azaz au az av =yu.2+u'Inu u ox Oy ox 2(x+2y)(2x+y) x+2y (2x+ y)yiN(2x+ y (2x+y) 2(x+2y) +n(2x+y) 2x+ az az au az a u.1+u' Inu 2 x+2y)(2x+y)2+2y+2(2x+y)*2yln(2x+y) (2x+y) (x+2y) +2n(2x+y) 2x+
例 12.2.4 设 yx yxz 2 )2( + += ，计算 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , 。 解 设 = + = + 2,2 yxvyxu ，则 v = uz 。于是 1 2 ln 1 z zu zv v v vu u u x ux vx ∂ ∂∂ ∂∂ − = + = ⋅+ ⋅ ∂ ∂∂ ∂∂ 2 1 2 2 2( 2 )(2 ) (2 ) ln(2 ) 2( 2 ) (2 ) ln(2 ) 2 x y x y x y x y xy xy xy x y x y x y x y + − + + = + + ++ + ⎛ ⎞ + = + ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ + 。 2ln1 1 ⋅+⋅= ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ − uuvu y v v z y u u z y z v v )2ln()2(2)2)(2( 12 2 yxyx yxyx yx yx ++++= + −+ + 2 ( 2) (2 ) 2ln(2 ) 2 x y x y x y x y x y + ⎛ ⎞ + =+ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ +
例12.2.5设w=f(x2+y2+x2,xyz),f具有二阶连续偏导数,计 算 Ow 0 w ax azax 解将v=f(x2+y2+2,xy)看成复合函数 u=x+y+2 w=f(u, v) lv=xyz 显然 2x 2 由链式规则, Ow aw au aw ay ax au ax ay ax 2x.+ y= av
例 12.2.5 设 ( ), 222 ++= xyzzyxfw ， f 具有二阶连续偏导数，计 算 xz w x w ∂∂ ∂ ∂ ∂ 2 , 。 解 将 ( ), 222 ++= xyzzyxfw 看成复合函数 ⎩ ⎨ ⎧ = ++= = . , ),,( 222 xyzv zyxu vufw 显然 yz x v x x u = ∂ ∂ = ∂ ∂ ,2 。 由链式规则， v w yz u w x x v v w x u u w x w ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 2