第十章函数项级数 §1函数项级数的一致收敛性 点态收敛 设un(x)(n=12,3,…)是具有公共定义域E的一列函数,这无 穷个函数的“和” u1(x)+u2(x)+…+un(x)+… 称为函数项级数,记为∑un(x)
点态收敛 设 un (x)(n = 1,2,3,…)是具有公共定义域 E 的一列函数,这无 穷个函数的“和” 1 + 2 +"+ n xuxuxu )()()( +" 称为函数项级数,记为∑ ∞ =1 )( n n xu 。 第十章 函数项级数 §1 函数项级数的一致收敛性
定义10.1.1设ln(x)(n=1,2,3,…)在E上定义。对于任意固 定的x∈E,若数项级数∑u1(x)收敛,则称函数项级数∑u1(x)在点x n=1 收敛,或称x是∑u1(x)的收敛点。 函数项级数∑un(x)的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数 ∑n(x)的收敛域
定义 10.1.1 设 un (x) (n = 1,2,3,…)在 E 上定义。对于任意固 定的 0 x ∈E,若数项级数∑ ∞ =1 0 )( n n xu 收敛,则称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 在点 0 x 收敛,或称 0 x 是∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛点。 函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛域
设∑un(x)的收敛域为DcE,则∑u1(x)就定义了集合D上的一个 函数 S(x)=∑n(x),xED n=1 S(x)称为∑u1(x)的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的, 因此称∑u1(x)在D上点态收敛于S(x)
设∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛域为 D ⊂ E ,则∑ ∞ =1 )( n n xu 就定义了集合 D 上的一个 函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu , x∈D 。 S(x)称为∑ ∞ =1 )( n n xu 的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的, 因此称∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上点态收敛于 S(x)
例10.1.1利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy 判别法, D'Alembert判别法等)和定义10.1.1,可知下述结论 ∑x的收敛域是(-1),和函数为S(x)21-r
例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy 判别法,D'Alembert 判别法等)和定义 10.1.1,可知下述结论: ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ,和函数为 S(x) = x x 1− ;
例10.1.1利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy 判别法, D'Alembert判别法等)和定义10.1.1,可知下述结论 ∑x的收敛域是(1),和函数为S(x)21 ∑—的收敛域为[-1); h=17 ∑的收敛域为[-1] n=1
∑ ∞ n=1 n n x 的收敛域为 − )1,1[ ; ∑ ∞ =1 2 n n n x 的收敛域为 − ]1,1[ ; 例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy 判别法,D'Alembert 判别法等)和定义 10.1.1,可知下述结论: ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ,和函数为 S(x) = x x 1− ;
例10.1.1利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy 判别法, D'Alembert判别法等)和定义10.1.1,可知下述结论 ∑x的收敛域是(-1),和函数为S(x)21-r ∑—的收敛域为[-1); h=17 ∑的收敛域为[-1] ∑的收敛域为R=(-m+); ∑(n)x"的收敛域为单点集{0}; ∑e灬的收敛域为(0+∞),和函数为S(x)
∑ ∞ =1 ! n n n x 的收敛域为R = −∞ +∞),( ; ∑ ∞ =1 )!( n n xn 的收敛域为单点集{0}; ∑ ∞ = − 1 e n nx 的收敛域为 +∞),0( ,和函数为 S(x) = 1e 1−x 。 例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy 判别法,D'Alembert 判别法等)和定义 10.1.1,可知下述结论: ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ,和函数为 S(x) = x x 1− ; ∑ ∞ n=1 n n x 的收敛域为 − )1,1[ ; ∑ ∞ =1 2 n n n x 的收敛域为 − ]1,1[ ;
给定一个函数项级数∑un(x),可以作出它的部分和函数 n=1 x)=∑u(x),x∈E; k=1 显然,使{S(x)}收敛的x全体正是级数的收敛域D。因此在D上 ∑n(x)的和函数S(x)就是其部分和函数序列{Sx)}的极限,即有 n=1 S(x)=lim Sn(=lim 2u(x), xeD n→
给定一个函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu ,可以作出它的部分和函数 Sn(x) = ∑ = n k k xu 1 )( , x∈E; 显然,使{Sn(x)}收敛的 x 全体正是级数的收敛域 D 。因此在 D 上, ∑ ∞ =1 )( n n xu 的和函数 S(x)就是其部分和函数序列{Sn(x)}的极限,即有 S(x) = n ∞→ lim Sn(x)= n ∞→ lim ∑ = n k k xu 1 )( , x∈D
反过来,若给定一个函数序列{S(x)}(x∈E),只要令 1(x)=S(x), ln+1(x)=Sn+1(x)-S(x)(n=1,2,…), 就可得到相应的函数项级数∑n(x),它的部分和函数序列就是 {Sn(x)}
反过来,若给定一个函数序列 { Sn (x)} ( x ∈ E ),只要令 u1(x) = S1(x ), un + 1 (x) = Sn+ 1 (x ) - Sn (x) ( n = 1,2, … ), 就可得到相应的函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu ,它的部分和函数序列就 是 { Sn (x)}
反过来,若给定一个函数序列{S(x)}(x∈E),只要令 1(x)=S(x), ln+1(x)=Sn+1(x)-S(x)(n=1,2,…), 就可得到相应的函数项级数∑n(x),它的部分和函数序列就是 {Sn(x)}。 所以,函数项级数∑u,(x)与函数序列{S(x)的收敛性在本质上完 全是一回事。为方便起见,下面将经常通过讨论函数序列来研究函数 项级数的性质
所以,函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 与函数序列{Sn(x)}的收敛性在本质上完 全是一回事。为方便起见,下面将经常通过讨论函数序列来研究函数 项级数的性质。 反过来,若给定一个函数序列 {Sn(x)} ( x∈E ),只要令 u1(x) = S1(x), un + 1(x) = Sn+ 1(x) - Sn(x) (n = 1,2,…), 就可得到相应的函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu ,它的部分和函数序列就是 {Sn(x)}