§5用多项式逼近连续函数 定义10.5.1设函数∫(x)在闭区间[a,b上有定义,如果存在多项 式序列(Pn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x),则称f(x)在这闭区间上 可以用多项式一致逼近。 应用分析语言,“f(x)在[a,b]上可以用多项式一致逼近”可等价 表述为: 对任意给定的>0,存在多项式P(x),使得 I P(x)-f(x)I<e 对一切x∈[a,b]成立
定义 10.5.1 设函数 f (x)在闭区间[a, b]上有定义，如果存在多项 式序列｛Pn (x)｝在[a, b] 上一致收敛于 f (x)，则称 f (x)在这闭区间上 可以用多项式一致逼近。 应用分析语言，“f (x)在[a, b]上可以用多项式一致逼近”可等价 表述为： 对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b]成立。 §5 用多项式逼近连续函数
Weierstrass首先证明了:闭区间[anb]上任意连续函数f(x)都可以 用多项式一致逼近。 这一定理的证法很多,以下证明是由前苏联数学家K orovkin 在 1953年给出的。 定理10.5.1( Weierstrass第一逼近定理)设f(x)是闭区间[a,b] 上的连续函数,则对任意给定的ε>0,存在多项式Px),使得 I Px)-f(x) 对一切x∈[a,b]成立
Weierstrass 首先证明了：闭区间[a, b]上任意连续函数 f (x)都可以 用多项式一致逼近。 这一定理的证法很多，以下证明是由前苏联数学家 Korovkin 在 1953 年给出的。 定理 10.5.1(Weierstrass 第一逼近定理) 设 f (x)是闭区间[a, b] 上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b]成立
证不失一般性,我们设a,b为[0,1]。 设X是[0,1上连续函数全体构成的集合,Y是多项式全体构成的 集合,现定义映射 Bn,:Ⅹ→Y f(0→B,(f,)=∑x(0-x)4, 这里B(,x)表示f∈X在映射B作用下的像,它是以x为变量的n次 多项式,称为 Bernstein多项式
证 不失一般性，我们设[a, b]为[0, 1] 。 设 X 是[0, 1]上连续函数全体构成的集合，Y 是多项式全体构成的 集合，现定义映射 Bn : X → Y f (t) 6 n xfB ),( = ∑ = − ⎟ − ⎠⎞ ⎜⎝⎛ nk knkkn xx nk f 0 )1(C ， 这里 xfB ),( n 表示 f ∈X 在映射 Bn作用下的像，它是以 x 为变量的 n 次 多项式，称为 Bernstein 多项式
关于映射Bn,直接从定义出发,可证明它具有下述基本性质与 基本关系式 (1)B,是线性映射,即对于任意f,g∈X及a,B∈R,成立 Bn(af+Bg, x)=a Bn(, x)+BBn(g, x) (2)Bn具有单调性,即对于任意∫,g∈X,若∫()≥g(1)对一切 t∈[0,1成立,则 Bn(,x)≥Bn(g,x) 对一切x∈[0,1成立;
关于映射 Bn ，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与 基本关系式： (1) Bn是线性映射，即对于任意 f , g ∈X 及α, β ∈ R ，成立 Bn (α f g + β , x) = α Bn (f , x) + β Bn (g, x)； (2) Bn具有单调性，即对于任意 f , g ∈X，若 f (t)≥g(t) 对一切 t∈[0, 1]成立，则 Bn (f , x)≥ Bn (g, x) 对一切 x∈[0, 1]成立；
B. k B C k x x x x B k k-1h1 k k n-1x"(1-x) ∑ (1 ∑ -2 (1 k k k x (1 x x
(3) Bn (1, x) = ∑ = − − n k kk kn n xx 0 )1(C = [x + (1- x)] n = 1； Bn (t, x) = ∑ = − − n k knkk n xx n k 0 )1(C = 1 1 1 1 C (1 ) n k k nk n k x xx − − − − = ∑ − = 1 [ (1 )]n xx x − − = x； Bn (t2, x) = ∑ = − − n k knkk n xx n k 0 2 2 )1(C = ∑ = − − − − n k kk kn n xx n k 1 1 1 )1(C = ∑ = − − − − − n k knkk n xx n k 2 1 1 )1(C1 + ∑ = − − − − n k kk kn n xx n 1 1 1 )1(C1 = ∑ = −− − − − − n k kk kn n x xx n n 2 22 2 2 )1(C 1 + ∑ = −− − − − n k kk kn n xx n x 1 11 1 )1(C = 1 2 x n n − + n x = 2 x + n xx 2 −
综合上述三式,考虑函数(-s)2在Bn映射下的像,注意s在这 里被视为常数,得到 Bn(t-s),x)=B,(tx)-2s B, (t, x)+s'Bn(1, x) X-X 2sx +s +(xs)2。 n
综合上述三式，考虑函数 ( t - s ) 2 在 B n映射下的像，注意 s 在这 里被视为常数，得到 B n (( t - s ) 2 , x) = B n ( t 2 , x ) - 2 s B n ( t, x) + s 2 B n (1, x) = x 2 + n xx 2 − - 2sx + s 2 = n xx 2 − + (x - s ) 2
现在证明定理。 由于函数f在[0,1上连续,所以必定有界,即存在M>0,对于 切t∈[0,1],成立 lf(1)≤M; 而根据 Cantor定理,f在0,1]上一致连续,于是对任意给定的>0, 存在>0,对一切t,s∈[0,1], 当|t-s<δ时,成立 lf(0-f(s)|<5 当|t-s|≥δ时,成立 2M f()-f(s)|≤2M≤x2(t-s)2 也就是说,对一切t,s∈O,1l,成立 8 2M 8 2M 2。2(-s)≤f(-f(s)≤22(t-s)2
现在证明定理。 由于函数 f 在[0, 1]上连续，所以必定有界，即存在 M＞0，对于 一切 t∈[0, 1]，成立 ｜f (t)｜≤ M； 而根据 Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的ε＞0， 存在δ＞0，对一切 t, s ∈[0, 1]， 当｜t - s｜＜δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜＜ 2ε ; 当｜t - s｜≥δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜≤2M ≤ 2 2M δ (t - s)2。 也就是说，对一切 t, s ∈[0, 1], 成立 - 2 ε - 2 2M δ (t - s)2 ≤ f (t) - f (s) ≤ 2 ε + 2 2M δ (t - s)2
考虑上式的左端,中间,右端三式(关于t的连续函数)在映射Bn 作用下的像(关于x的多项式),注意f(s)在这里被视为常数,即 Bn((s),x)=f(),并根据上面性质(1),(2)与(3),得到对一切x,s∈[0, 1],成立 8 2M +(x-S ≤B1(f2x)f()≤E+2M X-x +(x-s) n 令s=x,且注意x(1-x)≤1,即得 -x)k-f(x)≤+ 22 取N=「M1,当n>N时, ∑ Ch x (1-x)k-f(x) 对一切x∈[0,1成立
考虑上式的左端，中间，右端三式（关于 t 的连续函数）在映射 B n 作用下的像（关于 x 的多项式），注意 f ( s )在这里被视为常数，即 B n (f ( s), x) = f ( s )，并根据上面性质(1)，(2) 与(3)，得到对一切 x, s ∈[0, 1]，成立 - 2 ε - 2 2 M δ 2 2 ( ) x x x s n ⎡ ⎤ − + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ≤ B n (f , x ) -f ( s) ≤ 2 ε + 2 2 M δ 2 2 ( ) x x x s n ⎡ − ⎤ + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， 令 s = x，且注意 x (1 -x ) ≤ 4 1 , 即得 ∑= − ⎟ −− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n k knkkn xfxx n k f 0 )()1(C ≤ 2 ε + 2 2 M n δ 。 取 N = 2 M δ ε ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦，当 n ＞ N 时, ∑= − ⎟ −− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n k knkkn xfxx n k f 0 )()1(C ＜ ε 对一切 x ∈[0, 1]成立
定理10.51还可以表述为:设f在[a,b上连续,则它的 Bernstein 多项式序列{B(,x)}在[a,b上一致收敛于f
定理 10.5.1 还可以表述为：设 f 在[a, b]上连续，则它的 Bernstein 多项式序列｛ xfB ),( n ｝在[a, b]上一致收敛于 f