§3 Green公式、 Gauss公式和 Stokes公式 Green公式 设L为平面上的一条曲线,它的方程是r()=x(t)i+y(t)j,a≤t≤B。 如果ra)=r(B),而且当t,t2∈(a,B),t1≠2时总成立r(1)≠r(12),则称 L为简单闭曲线(或 Jordan曲线)。这就是说,简单闭曲线除两个端 点相重合外,曲线自身不相交。 设D为平面上的一个区域。如果D内的任意一条封闭曲线都可以 不经过D外的点而连续地收缩成D中一点,那么D称为单连通区域。 否则它称为复连通区域。例如,圆盘(x,y)|x2+y2<l}是单连通区域, 而圆环(x,y)<x2+y2<14}是复连通区域
Green 公式 设L为平面上的一条曲线，它的方程是 = + tytxt )()()( jir ，α ≤ t ≤ β 。 如果 α = rr β )()( ，而且当 ),(, tt 21 ∈ α β ， 21 ≠ tt 时总成立 )()( 1 2 ≠ rr tt ，则称 L为简单闭曲线（或 Jordan 曲线）。这就是说，简单闭曲线除两个端 点相重合外，曲线自身不相交。 设 D为平面上的一个区域。如果D内的任意一条封闭曲线都可以 不经过D外的点而连续地收缩成D中一点，那么D称为单连通区域。 否则它称为复连通区域。例如，圆盘 }1|),{( 22 yxyx <+ 是单连通区域， 而圆环 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ <+< 1 21 ),( 22 yxyx 是复连通区域。 §3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式
单连通区域D也可以这样叙述:D内的任何一条封闭曲线所围的 点集仍属于D。因此,通俗地说,单连通区域之中不含有“洞”,而 复连通区域之中会有“洞”。 对于平面区域D,给它的边界D规定一个正向:如果一个人沿aD 的这个方向行走时,D总是在他左边。这个定向也称为D的诱导定向, 带有这样定向的aD称为D的正向边界。例如,如图143.1所示的区 域D由L与1所围成,那么在我们规定的正向下,L为逆时针方向,而 l为顺时针方向。 D 图143.1
单连通区域D也可以这样叙述：D内的任何一条封闭曲线所围的 点集仍属于D。因此，通俗地说，单连通区域之中不含有“洞”，而 复连通区域之中会有“洞”。 对于平面区域D，给它的边界∂D规定一个正向：如果一个人沿∂D 的这个方向行走时，D总是在他左边。这个定向也称为D的诱导定向， 带有这样定向的∂D称为 D的正向边界。例如，如图 14.3.1 所示的区 域 D由L与l 所围成，那么在我们规定的正向下，L为逆时针方向，而 l 为顺时针方向。 D l L 图14.3.1
定理14.3.1(Gren公式)设D为平面上由光滑或分段光滑的 简单闭曲线所围的单连通闭区域。如果函数P(x,y.,Q(x,y)在D上具有 连续偏导数,那么 Pdx +Odj ao aP ray, ax ay 其中ωD取正向,即诱导定向
定理 14.3.1（Green 公式） 设D为平面上由光滑或分段光滑的 简单闭曲线所围的单连通闭区域。如果函数 P( , ), ( , ) x y Q x y 在 D上具有 连续偏导数，那么 d d d d Q P P x Q y x y x y ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ += − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ D D ， 其中∂D取正向，即诱导定向
证先假设D可同时表示为以下两种形式 D={(x,y)y(x)≤y≤y2(x),asx≤b ={(x,y)x1(y)≤x≤x2(y)c≤y≤d} 的情形(这时平行于x轴或y轴的直线与区域D的边界至多交两点)。 这样的区域称为标准区域。 下面在这种假设下证明定理(参见图143,2)。 y=y2(x) y=y(x) 图1432
证 先假设D可同时表示为以下两种形式 1 2 D = ≤≤ ≤≤ {(, ) x y | y ( ) ( ), x y y xaxb} ),()(|),{( } = 1 ≤ ≤ 2 ≤ ≤ dycyxxyxyx 的情形（这时平行于 x轴或 y 轴的直线与区域D的边界至多交两点）。 这样的区域称为标准区域。 下面在这种假设下证明定理（参见图 14.3.2）。 ( ) 2 x = x y )( 1 = yxx yy x = 2 ( ) yy x = 1( ) O a b x y c d 图14.3.2
P dxr(x)ap dy y(x)ay ∫Pxy()-Pxy(x)小x=JP(xyx(x)dx-丁P(x,y(x)dx P(x, ydx D 式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有 d, x20)00 dxd ax x(n)ax CTO(x(v), y)-O(,(v), y)]dy =ro((v), y)dy+lo(x(),y)dy O(x, y)dy 两式合并就得到所需的结果
[ ] 2 1 ( ) ( ) 2 1 1 2 dd d d ( , ( )) ( , ( )) d ( , ( ))d ( , ( ))d ( , )d , b yx a yx b b a a a b P P xy x y y y P xy x Pxy x x Pxy x x Pxy x x Pxy x ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ =−= − − = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ D D 式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有 [ ] 2 1 ( ) ( ) 21 2 1 dd d d ( ( ), ) ( ( ), ) d ( ( ), )d ( ( ), )d ( , )d d xy c xy d d c c c d Q Q xy y x x x Q x y y Q x y y y Q x y y y Q x y y y Qxy y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ =−= + = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ 。 D D 两式合并就得到所需的结果
再证区域D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图 14.3.3的区域,在这种区域上,平行于y轴的直线与D的边界的交点 可能会多于两个。如图所示用光滑曲线AB将D分割成两个标准区域 D与D,(D的边界为曲线ABMA,D,的边界为曲线ANBA)。因此可以 应用 Green公式得到 a0 aP Pdx+od dxdy D dx ay Pdx+ody 00 aP dxdy D ax a B N 图143.3
再证区域D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图 14.3.3 的区域，在这种区域上，平行于 y 轴的直线与 D的边界的交点 可能会多于两个。如图所示用光滑曲线 AB 将D分割成两个标准区域 D1与 D2（ D1的边界为曲线 ABMA，D2的边界为曲线 ANBA）。因此可以 应用 Green 公式得到 1 1 d d d d Q P P x Qy x y x y ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ += − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ D D , 2 2 d d d d Q P P x Qy x y x y ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ += − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ D D 。 D2 D1 O x N A B M y 图14.3.3
注意D与D,的公共边界AB,其方向相对于D而言是从A到B, 相对于OD2而言是从B到A,两者方向正好相反,所以将上面的两式相 加便得 00P Pdx+ ody aD (Ox dy 对于Gren公式一般情形的证明比较复杂,这里从略
注意D1与 D2的公共边界 AB ，其方向相对于 1 ∂D 而言是从 A到B ， 相对于 2 ∂D 而言是从B 到 A，两者方向正好相反，所以将上面的两式相 加便得 d d d d Q P P x Qy x y x y ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ += − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ D D 。 对于 Green 公式一般情形的证明比较复杂，这里从略
Gren公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。 以只有一个洞为例(见图14.34),用光滑曲线连结其外边界L上 点M与内边界上一点N,将D割为单连通区域。由定理14.31得到 D 图1434 ag aP dxdy Pdx +Odv dx dy NM + Pdx+ody= Pdx+ ody 其中L为逆时针方向,l为顺时针方向,这与D的诱导定向相同
Green 公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。 以只有一个洞为例（见图 14.3.4），用光滑曲线连结其外边界L上一 点M 与内边界l上一点N ，将D割为单连通区域。由定理 14.3.1 得到 图 14.3.4 d d d d d d d d, L MN l NM L l Q P x y Px Qy x y P x Qy Px Qy ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = + ++ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =+ + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ D D 其中L为逆时针方向，l为顺时针方向，这与∂D的诱导定向相同。 D l L M N
Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二 类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论 1.记取诱导定向的D上的单位切向量为r,单位外法向量为n (见图14.3.5),那么显然有 cos(n, y)=-cos( t, x),cos(n, x)=sin( t, x) 因此得到Gren公式的另一种常用表示形式 OF aG dxdy= Fdy-Gd [FSin(, x)-Gcos(, x)]ds I[Fcos(n, x)+G cos(n, y)]ds 这个形式便于记忆和推广。 aD D 图143.5
Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二 类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论： 1. 记取诱导定向的∂D上的单位切向量为τ ，单位外法向量为n （见图 14.3.5），那么显然有 n y = −cos(),cos( τ x), ， n x),cos( =sin( τ x), 。 因此得到 Green 公式的另一种常用表示形式 dd d d F G xy Fy Gx x y ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + = −= ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫∫ ∫ ∫ D DD [ sin( , ) cos( , )]d F τ xG xs − τ ∂ = ∫ D [ cos( , ) cos( , )]d F n n x G+ y s ， 这个形式便于记忆和推广。 ∂D τ n D 图14.3.5
2. Green公式是 Newton-Leibniz公式的推广。设f(x)在[ab上具 有连续导数,取D=a,b]×[0,1(见图14.36)。在Gren公式中取P=0, Q=f(x),就得到 (x)dy=∫f(x)y D D 利用化累次积分的方法,等式左边就是∫d∫(xdx=(xux。而等 式右边等于 +∫++∫(x)y=+(x)=(b0+/(a)y=/(b)-f(a) AB BC CD DA BC DA 这就得到 Newton- Leibniz公式 ∫r(xdx=/(b)-f(a)。 D O 图1436
2. Green 公式是 Newton-Leibniz 公式的推广。设 xf )( 在 ba ],[ 上具 有连续导数，取D = [ , ] [0,1] a b × （见图 14.3.6）。在 Green 公式中取P = 0， = xfQ )( ，就得到 f ( )d d ( )d x xy f x y ∂ ′ = ∫∫ ∫ D D 。 利用化累次积分的方法，等式左边就是 1 0 d ( )d ( )d b b a a y fxx fxx ′ ′ = ∫∫ ∫ 。而等 式右边等于 1 0 0 1 ( )d ( )d ( )d ( )d ( ) ( ) AB BC CD DA BC DA +++ = + = + = − f x y fx y fb y fa y fb fa ∫∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 。 这就得到 Newton-Leibniz 公式 ( )d b a f ′ x x ∫ = − afbf )()( 。 a b x 1 D y O 图14.3.6