§4收敛准则 单调有界数列收敛定理 定理2.4.1单调有界数列必定收敛 证不妨设数列{xn}单调增加且有上界,根据确界存在定理,由 {xn}构成的数集必有上确界β,β满足 (1)neN+:xn≤B; (2)Ve>0, 3x: x>B-a 取N Vn>w B-8 ≤xn≤B 因而x-B<E,于是得到 lim x,=Bo 证毕
单调有界数列收敛定理 定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。 证 不妨设数列{ xn }单调增加且有上界，根据确界存在定理，由 { xn }构成的数集必有上确界β ，β 满足： (1) + n ∈∀ N : xn ≤ β ； (2) ∀ > ε 0 ，∃ xn0 : xn0 > β − ε 。 取 N n = 0 , ∀ n N > ： β − ε < ≤ xx nn ≤ β 0 ， 因而 n x − < β ε ，于是得到 lim n→∞ xn = β 。 证毕 §4 收敛准则
注按极限定义证明一个数列收敛时,必须先知道它的极限是什 么。定理2.4.1的重要性在于,它使我们可以从数列本身出发去研究 其敛散性,进而,在判断出数列收敛时,利用极限运算去求出相应 的极限
注 按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是什 么。定理2.4.1的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发去研究 其敛散性，进而，在判断出数列收敛时，利用极限运算去求出相应 的极限
例24.1设x1>0,m1=￥x1+·=12,3…。证明数列{xn} 收敛,并求它的极限。 解首先,应用数学归纳法可直接得到:当n≥2时, 1<x.<2 然后由x=1+ x n=1,2,3,…)可得 (1+xn,)(1+xn1) 这说明对一切n≥2,xn1-xn具有相同符号,从而{x}是单调数列。由 定理2.4.1,{xn}收敛
例2.4.1 设 x1 > 0 , xn+1 =1 1 + +x xn n ,n = 123 ,,,"。证明数列{ xn } 收敛，并求它的极限。 解 首先，应用数学归纳法可直接得到：当n ≥ 2时， < < 21 n x 。 然后由 xn+1 =1 1 + +x xn n (n = 123 ,,,") 可得 n n 1 x x + − = x x x x n n n n − + + − − 1 1 1 1 ( )( ) 。 这说明对一切n ≥ 2 , n n 1 x x + − 具有相同符号，从而{ }n x 是单调数列。由 定理2.4.1，{ xn }收敛
设imxn=a,在等式x=1+x两边同时求极限,得到方程 n→ 1+Xn a=1+ 1+a 1±√5 解得方程的根为a 。由x>1,舍去负值,即有 1 lim x
设lim n→∞ xn = a，在等式 xn+1 =1 1 + +x xn n 两边同时求极限，得到方程 a =1 1 + + a a , 解得方程的根为a = 1 5 2± 。由 > 1 n x ，舍去负值，即有 lim n→∞ xn = 1 5 2 +
例24.2设0<x1<1,xn1=x、(1-x),n=123,…。证明{xn}收 敛,并求它的极限。 解应用数学归纳法,可以得到对一切n∈N+, <x< 由 (1-xn)(n=12,…),可得 即{xn}单调减少有下界,由定理2.4.1,{x}收敛
例2.4.2 设 < x1 < 10 , xn+1 = x x n n ( ) 1− ,n = 123 ,,,"。证明{ xn }收 敛，并求它的极限。 解 应用数学归纳法，可以得到对一切 + n ∈ N ， < xn < 10 。 由 xn+1 = x x n n ( ) 1− ( n = ,2,1 ")，可得 xn+1 - xn = 0 2 xn <− ， 即{ xn }单调减少有下界，由定理2.4.1，{ }n x 收敛
例24.2设0<x1<1,xn1=x、(1-x),n=123,…。证明{xn}收 敛,并求它的极限。 解应用数学归纳法,可以得到对一切n∈N+, <x< 由 (1-xn)(n=12,…),可得 即{xn}单调减少有下界,由定理2.4.1,{x}收敛。 设imxn=a,在等式xn1=xn(1-xn)两边同时求极限,得到方程 n→0 a=a(1-a),解得a=0。于是得到: limx.=0
例2.4.2 设 < x1 < 10 , xn+1 = x x n n ( ) 1− ,n = 123 ,,,"。证明{ xn }收 敛，并求它的极限。 解 应用数学归纳法，可以得到对一切 + n ∈ N ， < xn < 10 。 由 xn+1 = x x n n ( ) 1− ( n = ,2,1 ")，可得 xn+1 - xn = 0 2 xn <− ， 即{ xn }单调减少有下界，由定理2.4.1，{ }n x 收敛。 设 lim n→∞ xn = a ，在等式 xn+1 = x x n n ( ) 1− 两边同时求极限，得到方程 aa a = ( ) 1− ，解得a = 0。于是得到： lim n→∞ xn = 0
应用 Stolz定理: XX x lim(nx,)=lim lim -lim n→0 n→)0 n→0 1n→∞xn-xn+l 换言之,不管0<x1<1如何选取,当n充分大时,无穷小量{xn}的 变化规律与无穷小量}愈来愈趋于一致,在许多场合,{x}可以 用{}来代替。这两个无穷小量称为是等价的。 n
应用Stolz定理： limn→∞ ( ) nx n = limn→∞ n x n 1 = lim n→∞ 1 1 1 1 x x n n + − = lim n→∞ x x x x n n n n + − + 1 1 = lim n→∞ x x x n n n 2 2 1 1 ( ) − = 。 换言之，不管 10 < x1 < 如何选取， 当 n 充分大时，无穷小量{ }n x 的 变化规律与无穷小量 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n 1 愈来愈趋于一致，在许多场合，{ }n x 可以 用 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n 1 来代替。这两个无穷小量称为是等价的
例24.3设x1=√2,xm1=√3+2xn,n=12,3…。证明数列{xn}收 敛,并求它的极限。 解首先有00,数列{xn}单调增加且 √3+2xn+xn 有上界,由定理2.4.1可知{x}收敛
例2.4.3 设 x1 = 2 , xn+1 = 3 2 + xn , n = ,3,2,1 "。证明数列{ xn }收 敛，并求它的极限。 解 首先有 30 ++− + nn nn xx xx ，数列{ xn }单调增加且 有上界，由定理2.4.1可知{ xn }收敛
例24.3设x1=V2,xn1=√3+2xn,n=1,2,3…。证明数列{xn}收 敛,并求它的极限。 解首先有00,数列{xn}单调增加且 √3+2xn+xn 有上界,由定理2.4.1可知{x}收敛 设imxn=a,对xn1=√3+2xn两边求极限,得到a=√3+2a,解 n→0 此方程,得到a=3,即 n x
例2.4.3 设 x1 = 2 , xn+1 = 3 2 + xn , n = ,3,2,1 "。证明数列{ xn }收 敛，并求它的极限。 解 首先有 30 ++− + nn nn xx xx ，数列{ xn }单调增加且 有上界，由定理2.4.1可知{ xn }收敛。 设lim n→∞ xn = a ，对 xn+1= 3 2 + xn 两边求极限，得到a = 3 2 + a ，解 此方程，得到a = 3，即 lim n→∞ xn = 3
例24.4“ Fibonacci数列”与兔群增长率: 设一对刚出生的小兔要经过两个季度,即经过成长期后到达成熟 期,才能再产小兔,且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑 兔子死亡的前提下,求兔群逐年增长率的变化趋势。 解 设第一季度只有1对刚出生的小兔,则各季兔对总数见下表: 匚季度」小兔对数成长期兔对数成熟期兔对数兔对总和 34567 123 235 112358
例2.4.4 “Fibonacci数列”与兔群增长率： 设一对刚出生的小兔要经过两个季度，即经过成长期后到达成熟 期，才能再产小兔，且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑 兔子死亡的前提下，求兔群逐年增长率的变化趋势。 解 设第一季度只有1对刚出生的小兔，则各季兔对总数见下表： 季度 小兔对数 成长期兔对数 成熟期兔对数 兔对总和 11 0 0 1 20 1 0 1 31 0 1 2 41 1 1 3 52 1 2 5 63 2 3 8 7 5 3 5 13