§4复合函数求导法则及其应用 复合函数求导法则 定理4.4.1(复合函数求导法则)设函数u=8(x)在x=x可导, 函数y=f(l)在u=l1=g(x0)处可导,则复合函数y=f(g(x)在x=x可 导,且有 f(g(x))y==∫'(l)g(x0)=f(g(x0)g'(x) 证因为y=f(l)在4处可导,所以可微。由可微的定义,对任 意一个充分小的△≠0,都有 f(l+△n)-f(l)=f(a)△+a△l, 其中lima=0。 因为当△n=0时Ay=0,不妨规定当△M=0时a=0,因此上式对 △n=0也成立
复合函数求导法则 定理4.4.1 (复合函数求导法则) 设函数u gx = ( )在 x x = 0可导， 函数 y fu = ( )在u u gx = 0 0 = ( )处可导,则复合函数 y f gx = ( ( ))在 x x = 0可 导，且有 [ ( ))] ( ) ) f gx f u g x x x ( ′ = ′ ′( = 0 0 0 = f gx g x ′( )) ) ( ′( 0 0 。 证 因为 y fu = ( )在u0处可导，所以可微。由可微的定义，对任 意一个充分小的Δu ≠ 0，都有 0 00 f ( ) () () u u fu f u u u + Δ − = Δ+Δ ′ α ， 其中 0 lim u→Δ α = 0。 因为当 u =Δ 0时Δy = 0，不妨规定当Δu = 0时α = 0，因此上式对 Δu = 0也成立。 §4 复合函数求导法则及其应用
设A=g(x+△Ax)-g(x)(Ax≠0),在上式两边同时除以Ax,则有 f(g(x+△x)-f(g(x0) △l△u fo +a 由函数n=g(x)在x=x可导,即有1mn 4(,且此式也蕴含 了lim△u=0。注意到在Ax→>0的过程中,或者有△n=0,这时有a=0 或者有Δn≠0,但M趋于0,因此由lima=0,可知lima=0 Ax→0 于是令Ax→0,得到 dy= lim /(8(=o+Ax)-/(8(=o) (u)lim -+ lim a lim u f(l)g(x0)。 r→0△xAx→0Ax0△r 证毕
设 )()(= 0 0 Δ + Δ − xgxxgu ( 0) Δx ≠ ，在上式两边同时除以Δx ，则有 0 0 0 ( ( )) ( ( )) ( ) f gx x f gx u u f u x x x α + Δ − Δ Δ = + ′ Δ Δ Δ 。 由函数u gx = ( )在 x x = 0可导，即有 0 0 lim ( ) x u g x Δ → x Δ = ′ Δ ，且此式也蕴含 了 0 lim 0 x u Δ → Δ = 。注意到在Δx → 0的过程中，或者有Δu = 0，这时有α = 0； 或者有Δu ≠ 0 ，但Δu 趋于0，因此由 0 lim 0 u α Δ → = ，可知 0 lim 0 x α Δ → = 。 于是令Δx → 0，得到 0 0 0 0 0 0 0 00 ( ( )) ( ( )) lim ( ) lim lim lim ( ) ( ) x x xx y f gx x f gx x x u u f u f u g x x x α Δ → Δ→ Δ→ Δ→ + Δ − = Δ Δ Δ = += ′ ′ ′ Δ Δ d d 。 证毕
复合函数的求导规则可以写成(称为链式法则) dydy du dx du d 复合函数的微分公式可以写成 dlf(g(x))=f(u)g(xdx
复合函数的求导规则可以写成（称为链式法则） d dd d dd y yu x ux = ⋅ 。 复合函数的微分公式可以写成 d[ ( ))] ( ) )d f g ( x = ( f ′ u g′ x x
例44.1求幂函数y=x(x>0)的导函数。 解把y=x=emx看成是由 y=e u=aIn 复合而成的函数,则由链式法则 x)"=(e)·(anx)=(e =aX
例4.4.1 求幂函数 ( 0) a yx x = > 的导函数。 解 把 y x a ax = = e ln 看成是由 y uax u = = ⎧ ⎨ ⎩ e , ln 复合而成的函数，则由链式法则 ( ) x a ′ = (e ) ( ln ) u ′ ⋅ a x ′ x a x x a a xau u = ⋅=⋅ = ln )(e = − ax a 1
例44.1求幂函数y=x(x>0)的导函数。 解把y=x=ex看成是由 y=e u=aIn 复合而成的函数,则由链式法则 (x“)’=(e“)(alnx)=(e =aX 例442求y=ex的导函数 解把y=ewx看成是由 U= cOS x 复合而成的函数,则由链式法则 y=(ecos)'=(e").(cos x)=(e") (sin x)=-e.sin x u=cosx
例4.4.2 求 y x = ecos 的导函数。 解 把 y x = ecos 看成是由 ⎩⎨⎧ == xuy u cos,e 复合而成的函数，则由链式法则 cos cos cos (e ) (e ) (cos ) (e ) ( sin ) e sin x u u x u x y x xx = ′ ′′ ′ = = ⋅ = ⋅ − =− ⋅ 。 例4.4.1 求幂函数 ( 0) a yx x = > 的导函数。 解 把 y x a ax = = e ln 看成是由 y uax u = = ⎧⎨⎩ e ,ln 复合而成的函数，则由链式法则 ( ) x a ′ = (e ) ( ln ) u ′ ⋅ a x ′ x a x x a a xau u = ⋅=⋅ = ln )(e = − ax a 1
注(1)读者在运算熟练之后,就可以默记u后直接求导,而不 必写出u关于x的表达式,如 (√1+x2)= (1+x)y 2y1+x x
注（1）读者在运算熟练之后，就可以默记 u后直接求导，而不 必写出 u关于 x 的表达式，如 ( ) () 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 + ′ = + ⋅ + ′ = + x x x x x
注(1)读者在运算熟练之后,就可以默记u后直接求导,而不 必写出u关于x的表达式,如 (√1+x2)= (1+x)y 2y1+ x (2)链式法则可以推广到多重复合函数的情况: (f(2(f(…fn(x)…) dfi df2 dfm- dfr df2 df3 df 例443求函数y=e的导函数。 解把y=y(x)=e0看成是由 u=g()=vv, v=h(x)=1+cosx 复合而成的函数y(x)=f(g((x),运用上面的公式, dy df dg dh dx du dy dx /1+cosx. sin x (Sin x) 2 1+cosx
（2）链式法则可以推广到多重复合函数的情况： x f f f f f f f xffff x n n n n d d d d d d d d d d ⋅= ⋅ −1 3 2 2 1 321 "" ))))((((( " 。 例4.4.3 求函数 y x = + e 1 cos 的导函数。 解 把 y yx x = = + () e 1 cos 看成是由 ( ) e , ( ) , ( ) 1 cos , u y f = = = = = =+ u u g v v v hx x 复合而成的函数 yx f ghx ( ) ( ( ( ))) = ，运用上面的公式， 1 cos 1 esin e ( sin ) . 2 2 1 c o s x u y f gh x uvx x x v x + =⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − =− + d ddd d ddd 注（1）读者在运算熟练之后，就可以默记 u后直接求导，而不 必写出 u关于 x 的表达式，如 ( ) () 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 + ′ = + ⋅ + ′ = + x x x x x
(3)形如 y=f(x)=u(x)"x 的函数称为幂指函数,对于幂指函数的求导,常采用对数求导法: 对等式两边取对数, In f(x)=v(x)Inu(x), 在等式两边分别对x求导,得到 f(x) u(x) v(xInu(x)+v(x) f(x) 所以 f(x)=f(x)v(r)Inu(x)+v(r)() u(x) u(x)"()v(x)Inu(x)+v(x) u(x
（3）形如 y f x ux v x = = () () ( ) 的函数称为幂指函数，对于幂指函数的求导，常采用对数求导法： 对等式两边取对数， ln ( ) ( ) ln ( ) f x vx ux = ， 在等式两边分别对 x求导，得到 '( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) ( ) ( ) f x u x v x ux vx f x u x′ = + ′ ， 所以 ( ) '( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) ( ) u x y f x f x v x ux vx u x ⎡ ′ ⎤ ′ ′ == + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) ( ) v x u x ux v x ux vx u x ⎡ ′ ⎤ = + ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
例444求函数y=(sinx)的导函数 解对等式两边取对数, In y=cos x In sin x 在等式两边分别对x求导,得到 (sin x) In y)=(cos x )'Insin x +cos x SInx COSX sinx Insinx cos x y sinx 所以 y=(sin x) COS x cOS x sinxinsin x SInx
例4.4.4 求函数 y x x = (sin )cos 的导函数。 解 对等式两边取对数， ln cos ln sin y xx = ， 在等式两边分别对 x求导，得到 (ln ) (cos ) ln sin cos (sin ) sin y x xx xx ′ = ′ + ′ ， 即 ′ =− + y y xxx x x sin ln sin cos cos sin ， 所以 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ′ = − xx xx xy x sinlnsin sin cos )(sin 2 cos
(4)求导和求微分的运算规则(包括函数的四则运算、反函数、复合 函数的求导和求微分公式)列表如下 导数运算法则 微分运算法则 线性组合(cf+c2g)y=cf+cg!|dc/+c2g)=cJf+cg 乘法(·g)=fg+/gd/g)=g+fg 除法 fg-fg′ d||=8v-/dg g g g g 反函数|[f(y) If(]dy f(x) 复合函数[f(g(x)=f(n)g(x)|4f(g(x)=/()(x)dx 由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运 算的产物,有了基本初等函数的导函数表,再加上这张表,初等函 数的求导和求微分问题已经得到解决
⑷ 求导和求微分的运算规则（包括函数的四则运算、反函数、复合 函数的求导和求微分公式）列表如下： 导数运算法则 微分运算法则 线性组合 ( ) cf cg cf cg 12 1 2 + ′ = ′ + ′ d dd gcfcgcfc 21 21 + )( = + 乘 法 ( ) f g f g fg ⋅ ′ = ′ + ′ d ⋅ )( = + dd gffggf 除 法 2 g gfgf g f ′ − ′ = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 f gf f g g g ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ d d d 反 函 数 [ ( )] ( ) f y f x − ′ = ′ 1 1 yyf xf y x d d d ])([ )( 1 = ′ ′ = − 复合函数 [ ( ))] ( ) ) f gx f ug x ( ′ = ′ ′( d[ ( ))] ( ) )d f g( x = ( f ′ u g′ x x 由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运 算的产物，有了基本初等函数的导函数表，再加上这张表，初等函 数的求导和求微分问题已经得到解决
