第七章定积分 §1定积分的概念和可积条件 定积分概念的导出背景 1609年至1619年间,德国天文学家 Kepler提出了著名的“行星运 动三大定律” (1)行星在椭圆轨道上绕太阳运 行星 动,太阳在此椭圆的一个焦点上。 (2)从太阳到行星的向径在相等的 太阳 时间内扫过相等的面积 (3行星绕太阳公转周期的平方与 其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。 图7.1.1
定积分概念的导出背景 1609年至1619年间，德国天文学家Kepler提出了著名的“行星运 动三大定律”： ⑴行星在椭圆轨道上绕太阳运 动，太阳在此椭圆的一个焦点上。 ⑵从太阳到行星的向径在相等的 时间内扫过相等的面积。 ⑶行星绕太阳公转周期的平方与 其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。 第七章 定积分 §1 定积分的概念和可积条件
这是天文学上划时代的发现( Newton正是在证明这些定律的过程 中发现了万有引力定律,进而创立了现代天体力学),而且也是数学 发展史上的重要里程碑。 方面,在古希腊的数学家们发现了圆锥曲线的性质之后的一千 八百多年以来,人们从未想到过,这样的纯数学结果居然会有如此辉 煌的实际应用价值。 另一方面,为了确定第二定律, Kepler将椭圆中被扫过的那部分 图形分割成许多小的“扇形”,并近似地将它们看成一个个小的三角 形,运用了一些出色的技巧对它们的面积之和求极限,成功地计算出 了所扫过的面积(图7.1.1)。在其卓有成效的工作中,已包含了现 代定积分思想的雏形
这是天文学上划时代的发现 （Newton正是在证明这些定律的过程 中发现了万有引力定律，进而创立了现代天体力学），而且也是数学 发展史上的重要里程碑。 一方面，在古希腊的数学家们发现了圆锥曲线的性质之后的一千 八百多年以来，人们从未想到过，这样的纯数学结果居然会有如此辉 煌的实际应用价值。 另一方面，为了确定第二定律，Kepler将椭圆中被扫过的那部分 图形分割成许多小的“扇形”，并近似地将它们看成一个个小的三角 形，运用了一些出色的技巧对它们的面积之和求极限，成功地计算出 了所扫过的面积（图7.1.1）。在其卓有成效的工作中，已包含了现 代定积分思想的雏形
例如,求由两条直角边和一条抛物线y=x2所围成的所谓曲边 角形的面积,可以采用以下的做法: 用步长h=将[1分成n个长度为h的小区间,其分割点(称为 分点)为 0,1,2, 先在每个小区间[x1x]上,构造以h为底、以f(x21)=x21.为高的小 矩形,则所有这些小矩形的面积之和为 ∑hx2=∑ ∑(-1) 再在每个小区间[x1x上,构造以h为底、以f(x)=x2为高的小矩形, 则所有这些小矩形的面积之和为 h ∑
例如，求由两条直角边和一条抛物线 y x = 2所围成的所谓曲边三 角形的面积，可以采用以下的做法： 用步长 h n = 1 将[,] 0 1 分成 n个长度为 h的小区间，其分割点（称为 分点）为 x ih i n n i = , ,, , , , = 012 1 " − 。 先在每个小区间 ],[ 1 ii xx − 上，构造以 h为底、以 2 1 1 )( i− = i− xxf 为高的小 矩形，则所有这些小矩形的面积之和为 ∑∑ ∑ = = = − ⎟ −= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =⋅=′ n i n i n i n i i n n i n xhS 1 2 3 1 2 1 2 1 )1( 111 ； 再在每个小区间 ],[ 1 ii xx − 上，构造以 h为底、以 2 )( ii = xxf 为高的小矩形， 则所有这些小矩形的面积之和为 ∑∑∑= = = ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⋅= ″ n i n i n i n i i n n i n xhS 1 2 3 1 2 1 2 1 1
(图7.1.2)为上述过程的图示 y= O 图7.1.2
(图7.1.2)为上述过程的图示
设曲边三角形的面积为s,则有 S<S<S 利用数学归纳法,容易证明 ∑(-1y2=12+2+32+…+(n-132=x0=2n ∑2=12+2+32+…+n2=2mn+12n+y, i=1 令n→∞,得到 n(n-1)(2n-1)1 m n→0 6 32=lmnn(n+1)2n+ Im n→00 由极限的夹逼性,可知曲边三角形的面积为
设曲边三角形的面积为S ，则有 n n S SS ′ < < ′′。 利用数学归纳法，容易证明 ∑ =− = n i i 1 2 )1( 6 )12)(1( )1(321 222 2 − − =−++++ nnn " n ∑ = = n i i 1 2 6 )12)(1( 321 222 2 + + =++++ nnn " n ， 令n → ∞，得到 3 1 6 )12)(1( lim lim 3 = − − =′ ∞→ ∞→ n nnn S n n n 与 3 1 6 )12)(1( lim lim 3 = + + = ″ ∞→ ∞→ n nnn S n n n ， 由极限的夹逼性，可知曲边三角形的面积为 1 3 S =
由此可以想到,如果在每个小区间[x1x]上任意取点5∈[x1x], 并构造以h为底、以f(5)=52为高的小矩形,则所有这些小矩形的面 积之和为∑52,显然仍然有 令n→∞,由极限的夹逼性,得到im:2=,就是所求的曲边三 n→ 角形的面积。 f()
由此可以想到，如果在每个小区间 ],[ 1 ii xx − 上任意取点ξ i ∈ ],[ 1 ii xx − ， 并构造以h为底、以 2 )( ii f = ξξ 为高的小矩形，则所有这些小矩形的面 积之和为 ∑ = n i i n 1 1 2 ξ ，显然仍然有 ″ ≤≤ ′ ∑ = n n i n i S n S 1 1 2 ξ ， 令n → ∞，由极限的夹逼性，得到 311 lim 1 2 ∑ = = ∞→ ni i n n ξ ，就是所求的曲边三 角形的面积。 y=f(x) f i ( ) ξ 0 xi-1 xi 1 x y
利用上述思想,我们来求由连续曲线y=f(x)(假设f(x)>0), 直线x=a,x=b和x轴围成的曲边梯形的面积(图7.1.3) 在[a,b中取一系列的分点x,作成一“种划分 P: a=x<x,<x<<x=b 记小区间[x21,x的长度为 △x1=x1 并在每个小区间上任意取一点,用底为Ax,高为f(5)的矩形面积近 似代替小的曲边梯形的面积 y-f() f(3,) 图713
利用上述思想，我们来求由连续曲线 y fx = ( )（假设 f x( ) > 0）， 直线 x = a ， x = b 和 x轴围成的曲边梯形的面积（图7.1.3）： 在[, ] a b 中取一系列的分点 xi，作成一种划分 P：ax x x x b = <012 < < " < n = ， 记小区间[ ,] x x i i −1 的长度为 Δxxx i ii = − −1， 并在每个小区间上任意取一点 ξi ，用底为 Δxi，高为 )( i f ξ 的矩形面积近 似代替小的曲边梯形的面积。 图7.1.3 Δxi i ξ y =f(x ) f i ( ) ξ 0 a xi-1 xi b x y
那么这些小矩形面积之和 ∑f(5)Ax 就是整个大的曲边梯形的面积的近似。令λ=max(△x),当λ→0时,若 极限 in∑f(51)x 存在,那么这个极限显然就是 所要求的曲边梯形的精确面积。 y-f() f(3,)
那么这些小矩形面积之和 ∑= Δ n i ii xf 1 ξ )( 就是整个大的曲边梯形的面积的近似。令 )(max 1 i ni = Δx ≤≤ λ ,当 λ → 0 时，若 极限 ∑= → Δ n i ii xf 1 0 ξ )(limλ 存在，那么这个极限显然就是 所要求的曲边梯形的精确面积。 Δxi i ξ y =f(x ) f i ( ) ξ 0 a xi-1 xi b x y
在许多其他领域的研究中,也大量地遇到诸如此类的和式的极限 可题。比如,求一个以速度v(t)做变速运动的物体从时间t=7到时间 t=T2所走过的路程S,可以先在时间段[T,2中取一系列的分点t, 作成划分 P:T=10<1<l2x…<tn=12, 并在每个小区间[t,上随意取一点5,只要时间间隔 充分小,v(5)就可以近似地看作是在[1,时间段中的平均速度,因 此在这段时间中走过的路程近似地等于v(ξ,)AM,于是整个路程就近似 等于 ∑v()M1 若当λ=max△1)→0时,极限 ∑v(5)△M 存在,那么这个极限就是所要求的路程S的精确值
在许多其他领域的研究中，也大量地遇到诸如此类的和式的极限 问题。比如，求一个以速度v t( )做变速运动的物体从时间t T = 1到时间 t T = 2所走过的路程 S ，可以先在时间段[, ] T T 1 2 中取一系列的分点 ti ， 作成划分 P：Tt tt t T 1012 = < < < " < n = 2， 并在每个小区间[ ,] t t i i −1 上随意取一点 ξ i，只要时间间隔 Δttt i ii = − −1 充分小， )( i v ξ 就可以近似地看作是在[ ,] t t i i −1 时间段中的平均速度，因 此在这段时间中走过的路程近似地等于v t i i ( ) ξ Δ ，于是整个路程就近似 等于 ∑= Δ n i ii tv 1 ξ )( 。 若当 λ = → ≤ ≤ max( ) 1 0 i n i Δ t 时, 极限 ∑= → Δ n i ii tv 1 0 ξ )(limλ 存在，那么这个极限就是所要求的路程 S 的精确值
定积分的定义 定义7.1.1设f(x)是定义于{a,b上的有界函数,在[,b上任意 取分点{x}0,作成一种划分 P: a=x<x, <x b 并任意取点∈[x,x]。记小区间区x,x的长度为Ax1=x-x1,并令 λ=max(△x,),若当λ→0时,极限 im∑f(5)Ax 存在,且极限值既与划分P无关,又与对的取法无关,则称∫(x)在 a,b]上 Riemann可积。和式 ∑f(5)x 称为 Riemann和,其极限值称为f(x)在[a,b上的定积分,记为 I= f(x)dx 这里a和b分别被称为积分的下限和上限
定积分的定义 定义7.1.1 设 f x( )是定义于[, ] a b 上的有界函数，在[, ] a b 上任意 取分点{ } xi in=0 ，作成一种划分 P： ax x x x b = 012 < < <"< n = ， 并任意取点ξ i ∈ [ ,] x x i i −1 。记小区间[ ,] x x i i −1 的长度为Δxxx i ii = − −1，并令 λ = ≤ ≤ max( ) 1 i n i Δx ，若当λ → 0时，极限 ∑ = → Δ n i ii xf 1 0 ξ )(limλ 存在，且极限值既与划分P无关，又与对ξ i 的取法无关，则称 f x( )在 [, ] a b 上Riemann可积。和式 1 ( ) n i i i f ξ x = ∑ Δ 称为Riemann和，其极限值 I 称为 f x( )在[, ] a b 上的定积分，记为 I ＝ ( ) b a f x x ∫ d ， 这里a 和b 分别被称为积分的下限和上限