§5用多项式逼近连续函数 定义10.5.1设函数f(x)在闭区间a,b上有定义,如果存在多项 式序列{Pn(x)}在[a,b上一致收敛于f(x),则称f(x)在这闭区间上 可以用多项式一致逼近。 应用分析语言,“f(x)在[a,b]上可以用多项式一致逼近”可等价 表述为: 对任意给定的e>0,存在多项式P(x),使得 I P(x)-f(x)I<e 对一切x∈a,b成立
定义 10.5.1 设函数 f (x)在闭区间[a, b]上有定义，如果存在多项 式序列｛Pn (x)｝在[a, b] 上一致收敛于 f (x)，则称 f (x)在这闭区间上 可以用多项式一致逼近。 应用分析语言，“f (x)在[a, b]上可以用多项式一致逼近”可等价 表述为： 对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b]成立。 §5 用多项式逼近连续函数
Weierstrass首先证明了:闭区间[an,b上任意连续函数f(x)都可以 用多项式一致逼近。 这一定理的证法很多,以下证明是由前苏联数学家 Korovkin在 1953年给出的 定理10.5.1( Weierstrass第一逼近定理)设∫(x)是闭区间a,b 上的连续函数,则对任意给定的e>0,存在多项式P(x),使得 对一切x∈[a,b]成立
Weierstrass 首先证明了：闭区间[a, b]上任意连续函数 f (x)都可以 用多项式一致逼近。 这一定理的证法很多，以下证明是由前苏联数学家 Korovkin 在 1953 年给出的。 定理 10.5.1(Weierstrass 第一逼近定理) 设 f (x)是闭区间[a, b] 上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b]成立
证不失一般性,我们设,b为[0,1]。 设X是[0,1上连续函数全体构成的集合,Y是多项式全体构成的 集合,现定义映射 B. X Y (0→E3∑Acx0-y, 这里Bn(,x)表示f∈X在映射Bn作用下的像,它是以x为变量的n次 多项式,称为 Bernstein多项式
证 不失一般性，我们设[a, b]为[0, 1] 。 设 X 是[0, 1]上连续函数全体构成的集合，Y 是多项式全体构成的 集合，现定义映射 Bn : X → Y f (t) Bn ( f , x) = = − − n k k k n k n x x n k f 0 C (1 ) ， 这里 B ( f , x) n 表示 f ∈X 在映射 Bn作用下的像，它是以 x 为变量的 n 次 多项式，称为 Bernstein 多项式
关于映射Bn,直接从定义出发,可证明它具有下述基本性质与 基本关系式 (1)Bn是线性映射,即对于任意f,g∈X及a,B∈R,成立 Bn(af+Bg, x)=a Bnf, x)+B Bn(g, x); (2)Bn具有单调性,即对于任意f,g∈X,若f(1)≥g(1)对一切 t∈[0,1成立,则 Bn(,x)≥Bn(g,x) 对一切x∈[0,1成立;
关于映射 Bn ，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与 基本关系式： (1) Bn 是线性映射，即对于任意 f , g ∈X 及 , R ，成立 Bn ( f g + , x) = Bn (f , x) + Bn (g, x)； (2) Bn 具有单调性，即对于任意 f , g ∈X，若 f (t)≥g(t) 对一切 t∈[0, 1]成立，则 Bn (f , x)≥ Bn (g, x) 对一切 x∈[0, 1]成立；
(3)Bn(1,x)=∑Cx2(1-x)k=区x+(1-x)”=1 k=0 Bn(tx)=∑Cx1(1-x)=x k-1k-1 k=0 [x(1-x)] B,(t, x) 1 k=0 k-1 n-k k-1 k (1-x) (1-x) k k=1 (1-x) -k k-1k-1 (1-x) k X-X x2+
(3) Bn (1, x) = = − − n k k k n k n x x 0 C (1 ) = [x + (1- x)] n = 1； Bn (t, x) = = − − n k k k n k n x x n k 0 C (1 ) = 1 1 1 1 C (1 ) n k k n k n k x x x − − − − = − = 1 [ (1 )]n x x x − − = x； Bn (t 2 , x) = = − − n k k k n k n x x n k 0 2 2 C (1 ) = = − − − − n k k k n k n x x n k 1 1 1 C (1 ) = = − − − − − n k k k n k n x x n k 2 1 1 C (1 ) 1 + = − − − − n k k k n k n x x n 1 1 1 C (1 ) 1 = = − − − − − − n k k k n k n x x x n n 2 2 2 2 2 C (1 ) 1 + = − − − − − n k k k n k n x x n x 1 1 1 1 C (1 ) = 1 2 x n n − + n x = 2 x + n x x 2 −
冬约热综合上述三式,考虑函数(-s)在B映射下的像,注意s在这 被视为常数,得到 Bn((t-s),x)=Bn (t, x)-2s B, (t, x)+S2B, (1,x) =x-+ 2sx + s +(x-s)
综合上述三式，考虑函数(t - s) 2在 Bn 映射下的像，注意 s 在这 里被视为常数，得到 Bn ((t-s) 2 , x) = Bn (t 2 , x)-2s Bn (t, x) + s 2 Bn (1, x) = x 2 + n x x 2 − -2sx + s 2 = n x x 2 − + (x-s) 2
现在证明定理。 由于函数∫在[0,1上连续,所以必定有界,即存在M>0,对于 切t∈[0,1],成 f()|≤M; 而根据 Cantor定理,f在[O,1]上一致连续,于是对任意给定的e>0, 存在6>0,对一切t,s∈[0,1, 当|t-s<δ时,成立 E If(t-f(s) 2 当|t-s|≥δ时,成立 2M f(1)-f(s)|≤2M≤x2(t-s) 也就是说,对一切t,s∈[0,1],成立 8 2M 8 2M (t-s)2≤f(t)-f(s)≤ t- S
现在证明定理。 由于函数 f 在[0, 1]上连续，所以必定有界，即存在 M＞0，对于 一切 t∈[0, 1]，成立 ｜f (t)｜≤ M； 而根据 Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的ε＞0， 存在δ＞0，对一切 t, s ∈[0, 1]， 当｜t - s｜＜δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜＜ 2 ; 当｜t - s｜≥δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜≤2M ≤ 2 2M (t - s) 2。 也就是说，对一切 t, s ∈[0, 1], 成立 - 2 - 2 2M (t - s) 2 ≤ f (t) - f (s) ≤ 2 + 2 2M (t - s) 2
考虑上式的左端,中间,右端三式(关于t的连续函数)在映射Bn 作用下的像(关于x的多项式),注意f(s)在这里被视为常数,即 Bn((s),x)=f(s),并根据上面性质(1),(2)与(3),得到对一切x,s∈[0, ],成立 E-2M「x-x2 +(x-)3≤Bn(,x)f(s)≤ E,2M「x-x2 +(x-s)2, 令s=x,且注意x(1-x)≤1,即得 k=0(n 22n6 取N=「M,当n>N时 E kck (1-x)-k-f(x<e 对一切x∈[0,1成立
考虑上式的左端，中间，右端三式（关于 t 的连续函数）在映射Bn 作用下的像（关于 x 的多项式），注意 f (s)在这里被视为常数，即 Bn (f (s), x) = f (s)，并根据上面性质(1)，(2)与(3)，得到对一切 x, s∈[0, 1]，成立 - 2 - 2 2M 2 2 ( ) x x x s n − + − ≤ Bn (f , x)-f (s) ≤ 2 + 2 2M 2 2 ( ) x x x s n − + − ， 令 s = x，且注意 x (1-x)≤ 4 1 , 即得 = − − − n k k k n k n x x f x n k f 0 C (1 ) ( ) ≤ 2 + 2 2 M n 。 取 N = 2 M ，当 n＞N 时, = − − − n k k k n k n x x f x n k f 0 C (1 ) ( ) ＜ε 对一切 x∈[0, 1]成立
定理10.51还可以表述为:设f在[anb上连续,则它的 bernstein 多项式序列{Bn(f,x)}在[a,b上一致收敛于f
定理 10.5.1 还可以表述为：设 f 在[a, b]上连续，则它的 Bernstein 多项式序列｛ B ( f , x) n ｝在[a, b]上一致收敛于 f