§4反常重积分 无界区域上的反常重积分 设D为平面R2上的无界区域,它的边界是由有限条光滑曲线组 成的。假设D上的函数f(x,y)具有下述性质:它在D中有界的、可求 面积的子区域上可积。并假设所取的割线r为一条面积为零的曲线, 它将D割出一个有界子区域,记为D,并记 d(厂) n 2+y2|(x,y)∈r 为厂到原点的距离。 D 图134.1
无界区域上的反常重积分 设 D为平面 2 R 上的无界区域，它的边界是由有限条光滑曲线组 成的。假设D上的函数 f (x, y) 具有下述性质：它在D中有界的、可求 面积的子区域上可积。并假设所取的割线 为一条面积为零的曲线， 它将D割出一个有界子区域，记为D ，并记 2 2 d x y x y ( ) inf | ( , ) = + 为 到原点的距离。 图 13.4.1 §4 反常重积分 D D
定义13.4.1若当d(门)趋于无穷大,即D趋于D时 9f(xy)dm的极限存在,就称∫(x)在D上可积,方公 f(x, y)dxdy= lim f(x, y)dxdy d(厂)→>+∞ 这个极限值称为f(x,y)在D上的反常二重积分,这时也称反常二重积 分( x, y)dxdy收敛。如果右端的极限不存在,就称这一反常二重积 分发散
定义 13.4.1 若当 d ( ) 趋于无穷大，即 D 趋于 D 时， f x y x y ( , )d d D 的极限存在，就称 f (x, y) 在 D 上可积，并记 ( ) ( , )d d lim ( , )d d d f x y x y f x y x y →+ = D D 。 这个极限值称为 f (x, y) 在D上的反常二重积分，这时也称反常二重积 分 f x y x y ( , )d d D 收敛。如果右端的极限不存在，就称这一反常二重积 分发散
先考虑函数是非负的情况 引理13.4.1设f(x,y)为无界区域D上的非负函数。如果{n}是 列曲线,它们割出的D的有界子区域{D}满足 Dnc…,及limd(厂n) 则反常积分( x, y)dxdy在D上收敛的充分必要条件是:数列 D f(x,y)dxdy}收敛。且在收敛时成立 ∫(xy)drdy=lmn∫!f(xy)dy n→)
先考虑函数是非负的情况。 引理 13.4.1 设 f (x, y) 为无界区域 D 上的非负函数。如果 { } n 是 一列曲线，它们割出的D的有界子区域{ } D n 满足 D D D 1 2 n ，及 lim ( ) n n d → = +， 则反常积分 f x y x y ( , )d d D 在 D上收敛的充分必要条件是：数列 ( , )d d n f x y x y D 收敛。且在收敛时成立 f x y x y ( , )d d D lim ( , )d d n n f x y x y → = D
证必要性是显然的。下面证明充分性 如果{(x,y收敛,记回mj(x,y=。现在证明 Dn im f(x, y)dxdy=I d(r)→>+ 对于曲线,令以()=sp{x+y1(xy)∈r}。由假设 ind()=+∞得知,当n充分大时,成立d(Cn)>pP(1),因此由数列 /(x)u的单调增加性得到 f(x, y)dxdys ll f(x, y)dxdy <I
证 必要性是显然的。下面证明充分性。 如果 ( , )d d n f x y x y D 收敛，记lim ( , )d d n n f x y x y I → = D 。现在证明 ( ) lim ( , )d d d f x y x y I →+ = D 。 对于曲线，令 ( ) 2 2 = + sup | ( , ) x y x y 。由假设 lim ( ) n n d → = +得知，当n充分大时，成立 ( ) ( ) n d ，因此由数列 ( , )d d n f x y x y D 的单调增加性得到 ( , )d d ( , )d d n f x y x y f x y x y I D D
另一方面,由于数列{/(xyAd}收敛于1,对于任意正数e 存在正整数N,使得 f(, y)dxdy>l 因此当d()>p()时,有 ≥f(x,y)dxdy2‖f(x,y)dxdy>I-E 此即 imn‖lf(x,y)dxdy=l d(r)→>+
另一方面，由于数列 ( , )d d n f x y x y D 收敛于 I ，对于任意正数 ， 存在正整数 N ，使得 ( , )d d N f x y x y I − D 。 因此当 ( ) ( ) N d 时，有 ( , )d d ( , )d d N I f x y x y f x y x y I − D D 。 此即 ( ) lim ( , )d d d f x y x y I →+ = D
例134.1设D={(x,y)a2≤x2+y20)。记r=√x2+y2 f(x,y)=p(p>0) 为定义在D上的函数。证明积分/(xy)cy当p>2时收敛;当p≤2时 发散 证取rn={(x,y)x2+y2=p2}(p>a),它割出的D的有界部分 为 D={(x,y)a≤x2+y2≤p} 利用极坐标变换得到 lI f(x, y )dxdy de p…-pAr=2 Irdr 令p趋于正无穷大,最后一个积分当p>2时收敛,当p≤2时发散。由 引理13.4.1即可得知所需的结论。 从以上推导可以看出,当D为扇形区域 {a≤r<+o,a≤0≤B(a,BE[0,2π 时,上述结论也成立
例 13.4.1 设 2 2 2 D = + + {( , ) | } x y a x y （a 0）。记r = x + y 2 2 ， f x y r ( , ) = p ( p ) 1 0 为定义在D上的函数。证明积分 f x y x y ( , )d d D 当 p 2时收敛；当 p 2时 发散。 证 取 2 2 2 {( , ) | } ( ) x y x y a = + = ，它割出的D的有界部分 为 2 2 2 2 {( , ) | } x y a x y D = + 。 利用极坐标变换得到 2π 1 1 0 ( , )d d d d 2π d p p a a f x y x y r r r r − − = = D 。 令 趋于正无穷大，最后一个积分当 p 2时收敛，当 p 2时发散。由 引理 13.4.1 即可得知所需的结论。 从以上推导可以看出，当D为扇形区域 a r + , ( , [0, 2 π]) 时，上述结论也成立
定理13.4.1(比较判别法)设D为R2上具有分段光滑边界的无 界区域,在D上成立0≤f(x,y)≤g(x,y)。那么 1)当』( x, y)dxdy收敛时,jf( x, y)dxdy也收敛 (2)当f(xy)dcy发散时,jgx,y)ddy也发散。 证明从略
定理 13.4.1（比较判别法） 设 D 为 2 R 上具有分段光滑边界的无 界区域，在D上成立0 f (x, y) g(x, y) 。那么 （1）当 g x y x y ( , )d d D 收敛时， f x y x y ( , )d d D 也收敛； （2）当 f x y x y ( , )d d D 发散时， g x y x y ( , )d d D 也发散。 证明从略
反常二重积分有一个重要特点:可积与绝对可积是等价的。 定理13.4.2设D为R2上具有分段光滑边界的无界区域,则 f(x,y)在D上可积的充分必要条件是:f(x,y)在D上可积 证记 f(x,y),当f(x,y)≥0 ft(x,y) 当f(x,y)0 f∫(x,y)= -(x,y),当/(x,y)≤0。 显然,这两个函数都是非负的,且不大于|f(x,y) 因此,由比较判别法,若|f(x,y)在D上可积,则f+(x,y)和f(x,y) 均在D上可积,于是 f(x,y)=f(x,y)-f(x, y) 也在D上可积。充分性得证
反常二重积分有一个重要特点：可积与绝对可积是等价的。 定理 13.4.2 设D为 2 R 上具有分段光滑边界的无界区域，则 f (x, y) 在 D上可积的充分必要条件是：| f (x, y)|在 D上可积。 证 记 f x y f x y f x y f x y + = ( , ) ( , ) , ( , ) , , ( , ) ; 当 当 0 0 0 及 f x y f x y f x y f x y − = − ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 当 当 。 显然，这两个函数都是非负的，且不大于| f (x, y)|。 因此，由比较判别法，若| f (x, y)|在D上可积，则 f x y + ( , )和 f x y − ( , ) 均在D上可积，于是 f (x, y) f (x, y) f (x, y) + − = − 也在D上可积。充分性得证
下面证明必要性,用反证法。设f(x,y)在D上可积,但f(x,y)在D 上不可积。由于 If(x,yl=f(x,y)+f(,y) 那么非负函数∫+(x,y)和f(x,y)中至少有一个在D上不可积。不妨设 ∫*(x,y)在D上不可积。由引理13.4.1知,对于任意大的正数K,存 在一条曲线r,使得在它割出的D的有界子区域D上成立 f∫(x,y)dxdy>K 因此由归纳法可知,存在一族曲线{rn},它们割出的D的有界子区域 D}满足DcD2c…cDnc…,及limd(厂n)=+0。 且成立 ∫r(xy)ddy>2/(x,y)ddy+n(n=12…) 因此 f(r,y)dxdy>llf(x, y)l dxdy+n nm+1-Dn
下面证明必要性，用反证法。设 f (x, y) 在D上可积，但| f (x, y)|在 D 上不可积。由于 | f (x, y)|= f x y + ( , )+ f x y − ( , )， 那么非负函数 f x y + ( , )和 f x y − ( , )中至少有一个在D上不可积。不妨设 f x y + ( , )在 D上不可积。由引理 13.4.1 知，对于任意大的正数K ，存 在一条曲线 ，使得在它割出的D的有界子区域D 上成立 f x y x y K ( , )d d + D 。 因此由归纳法可知，存在一族曲线{ } n ，它们割出的D的有界子区域 { } D n 满足 1 2 lim ( ) n n n d → D D D = + ，及 。 且成立 1 ( , )d d 2 | ( , ) | d d ( 1,2, ) n n f x y x y f x y x y n n + + + = 。 D D 因此 1 ( , )d d | ( , ) | d d ( 1,2, ) n n n f x y x y f x y x y n n + − + + = 。 D D D
由于f(x,y)在Dn1-D上可积,可知f*(x,y)在Dn1-D上可积(见 本章§1习题4),其 Darboux小和收敛于它在Dn1-Dn上的积分。所以 充分细分Dn1-D后,f(x,y)的 Darboux小和 m.o1> JJ f(, y)drdy-1>[If(,y)Idrdy+n (n=1,2,…), +1-D 其中△on为细分Dn1-D后所得小区域on的面积(r=12,…,Sn),m为 f(x,y)在小区域σn上的下确界。由上式知,存在许多Dn1-D上的小 区域σn,在它们上面成立m>0,记P为所有这样的小区域的并集。 那么 ∫(x,y)dy2∑m△on>小f(x,y)|ddy+n-1(m=12…)
由于 f (x, y) 在 D D n n +1 − 上可积，可知 f x y + ( , )在D D n n +1 − 上可积（见 本章§1 习题 4），其 Darboux 小和收敛于它在D D n n +1 − 上的积分。所以 充分细分D D n n +1 − 后， f (x, y) + 的 Darboux 小和 1 1 ( , )d d 1 | ( , ) | d d 1 ( 1,2, ) n S i i n n i n n n m f x y x y f x y x y n n + = − + − + − = D D D ， 其中 i n σ 为细分D D n n +1 − 后所得小区域 i n σ 的面积（ Sn i =1,2, , ）， i mn 为 f (x, y) + 在小区域 i n σ 上的下确界。由上式知，存在许多D D n n +1 − 上的小 区域 i n σ ，在它们上面成立 0 i mn ，记 P n为所有这样的小区域的并集。 那么 1 ( , )d d | ( , ) | d d 1 ( 1,2, ) n S i i n n i n n f x y x y m f x y x y n n + = + − = P D