《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第一章 集合与映射（1.2）映射与函数

§2映射与函数 映射 映射是指两个集合之间的一种对应关系

§2 映射与函数 映射 映射是指两个集合之间的一种对应关系

§2映射与函数 映射 映射是指两个集合之间的一种对应关系。 定义1.2.1设ⅹ,Y是两个给定的集合,若按照某种规则∫, 使得对集合ⅹ中的每一个元素x,都可以找到集合γ中唯一确定的元 素y与之对应,则称这个对应规则f是集合X到集合Y的一个映射, 记为 f:X→>Y xhy=f(x) 其中y称为在映射f之下x的像,x称为在映射∫之下y的一个逆像 (也称为原像)

§2 映射与函数 定义1.2.1 设 X ，Y 是两个给定的集合，若按照某种规则 f ， 使得对集合 X 中的每一个元素 x ,都可以找到集合Y 中唯一确定的元 素 y与之对应，则称这个对应规则 f 是集合 X 到集合Y 的一个映射， 记为 f ： X → Y x  y = f (x) 。 其中 y称为在映射 f 之下x 的像，x 称为在映射 f 之下 y的一个逆像 （也称为原像）。 映射 映射是指两个集合之间的一种对应关系

集合X称为映射f的定义域,记为D=X。 在映射f之下,X中元素x的像y的全体称为映射f的值域,记 为 R={yyeY并且y=f(x)x∈x}

集合 X 称为映射 f 的定义域，记为 Df = X 。 在映射 f 之下， X 中元素 x 的像 y的全体称为映射 f 的值域，记 为 Rf ： Rf = { y y Y 并且 y = f (x), x  X }

集合X称为映射f的定义域,记为D=X。 在映射f之下,X中元素x的像y的全体称为映射f的值域,记 为 R={yyeY并且y=f(x)x∈x}。 例1.2.1设X是平面上所有三角形的全体,Y是平面上所有圆 的全体。则对应关系 f:X→>Y x→y(y是三角形x的外接圆) 是一个映射,∫的定义域与值域分别为D,=X和R=Y

例1.2.1 设 X 是平面上所有三角形的全体， Y 是平面上所有圆 的全体。则对应关系 f ： X → Y x  y （ y是三角形x 的外接圆） 是一个映射， f 的定义域与值域分别为 Df = X 和 Rf = Y 。 集合 X 称为映射 f 的定义域，记为 Df = X 。 在映射 f 之下， X 中元素 x 的像 y的全体称为映射 f 的值域，记 为 Rf ： Rf = { y y Y 并且 y = f (x), x  X }

例1.2.2设X={a,By,y={a,b,c,d},则对应关系 f(a=a,f(B) 也是一个映射,∫的定义域与值域分别为 X=a,B,r), R=a, b,dcr

例1.2.2 设 X = {,,}，Y = { a, b, c, d }，则对应关系 f () = a ， f () = d ， f ( ) = b 也是一个映射， f 的定义域与值域分别为 Df = X = {,,}， Rf = { a, b, d }  Y

例1.2.2设X={a,By,y={a,b,c,d},则对应关系 f(a=a, f(B)=d, f(r)=b 也是一个映射,∫的定义域与值域分别为 D=x=a,B, r, R=fa, b,dcr 构成一个映射必须具备下列三个基本要素: (1)集合X,即定义域D,=X; (2)集合y,即限制值域的范围:RcY (3)对应规则f,使每一个x∈X,有唯一确定的y=f(x)与之对应

构成一个映射必须具备下列三个基本要素： (1) 集合 X ，即定义域 Df = X ； (2) 集合Y ，即限制值域的范围： Rf  Y ； (3) 对应规则 f ，使每一个 x  X ，有唯一确定的 y = f (x)与之对应。 例1.2.2 设 X = {,,}，Y = { a, b, c, d }，则对应关系 f () = a ， f () = d ， f ( ) = b 也是一个映射， f 的定义域与值域分别为 Df = X = {,,}， Rf = { a, b, d }  Y

注 1.映射要求元素的像必须是唯一的。 例如,设X=R,Y=R,对应规则∫要求对每一个x∈R, 的像y∈R且满足关系y2=x,这样的对应规则f不满足像的唯一性 要求。 对于不满足像的唯一性要求的对应规则,一般只要对值域范围 稍加限制,就能使它成为映射

注 1． 映射要求元素的像必须是唯一的。 例如，设 + X = R , Y = R，对应规则 f 要求对每一个 + x  R ，它 的像 y  R且满足关系 y x 2 = ，这样的对应规则 f 不满足像的唯一性 要求。 对于不满足像的唯一性要求的对应规则，一般只要对值域范围 稍加限制，就能使它成为映射

例1.2.3设X=R,Y=R={x-x∈R},则对应关系 f:X→Y xh y 是一个映射

例1.2.3 设 + X = R , − Y = R { } + = x − xR ,则对应关系 f ： X → Y x  y (y x) 2 = 是一个映射

例1.2.3设X=R,Y=R={x-x∈R},则对应关系 f:X→Y x}>y(y2=x) 是一个映射。 2.映射并不要求逆像也具有唯一性 例1.2.4设X=Y=R,则 f:x→>Y xhy=x 是一个映射

2.映射并不要求逆像也具有唯一性。 例1.2.4 设 X = Y = R，则 f ： X → Y x  y = x 2 是一个映射。 例1.2.3 设 + X = R , − Y = R { } + = x − xR ,则对应关系 f ： X → Y x  y (y x) 2 = 是一个映射

定义1.2.2 设∫是集合X到集合Y的一个映射,若f的逆像也具有唯一性, 即对x中的任意两个不同元素x1≠x2,它们的像y1与y2也满足y1≠y2, 则称f为单射; 如果映射∫满足R,=Y,则称∫为满射; 如果映射f既是单射,又是满射,则称∫是双射(又称一一对应)

定义1.2.2 设 f 是集合 X 到集合Y 的一个映射，若 f 的逆像也具有唯一性， 即对 X 中的任意两个不同元素 x x 1  2 ，它们的像 y1 与 y 2 也满足 y y 1  2， 则称 f 为单射； 如果映射 f 满足 Rf =Y ,则称 f 为满射； 如果映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 是双射（又称一一对应）