§2第二类曲线积分与第二类曲面积分 第二类曲线积分 设L为空间中一条可求长的连续曲线,起点为A,终点为B(这 时称L为定向的)。一个质点在力 F(x,y,=)=P(x,y,z)i+o(x,y,)j+R(x, y, z)k 的作用下沿L从A移动到B 我们要计算F(x,y,z)所作的 P=B F(5217,51) 功 K AQ。·P y
第二类曲线积分 设L 为空间中一条可求长的连续曲线，起点为 A，终点为B（这 时称L 为定向的）。一个质点在力 F(x, y,z) = P(x, y,z)i + Q(x, y,z) j + R(x, y,z)k 的作用下沿L 从 A移动到B ， 我们要计算F(x, y,z)所作的 功。 §2 第二类曲线积分与第二类曲面积分 x y P O 0=A P1 P2 Pi Pi+1 Pn=B ( , , ) i i i F Ki t z
为了解决这个问题,在曲线L上插入一些分点 P(x1,y12=1),P2(x2,y2=2)2…,Pn=1(xn=1,yn=1,=n) 并令P(x0,y,)=A,P(xn,ynzn)=B(见图14.2.1)。并且这些点是从A 到B计数的。这样L就被这些分点分成n个小弧段P1P(i=12,…,n)。 在小弧段P2P上任取一点K(5,n,),取曲线L在K的单位切向量 t=cosa, i+cos B j+cos y, k, 使它的方向与L的定向一致。那么质点从P移动到P时(i=12,…,n) F所作的功近似地等于 F(52m2,5;) [P(91,,5) cos a1+Q(1,,1)cosB1+R(5,,=)cos]As1 这里As是小弧段P,P的弧长
为了解决这个问题，在曲线L 上插入一些分点 ( , , ), ( , , ), , ( , , ) 1 1 1 1 2 2 2 2 n−1 n−1 n−1 n−1 P x y z P x y z P x y z ， 并令P0 (x0 , y0 ,z0 ) = A, Pn (xn , yn ,zn ) = B（见图 14.2.1）。并且这些点是从 A 到B 计数的。这样L 就被这些分点分成n个小弧段Pi−1 Pi (i = 1,2, , n )。 在小弧段Pi−1 Pi上任取一点 ( , , ) Ki i i i ，取曲线L 在Ki的单位切向量 cos cos cos t i i i i = + + i j k , 使它的方向与L 的定向一致。那么质点从Pi−1移动到Pi时（i = 1,2, , n） F 所作的功近似地等于 ( , , ) F i i i τ i i s i i i i i i i i i i i i i = [P( , , )cos + Q( , , )cos + R( , , )cos ]s 。 这里 i s 是小弧段Pi−1 Pi的弧长
因此F将质点沿L从A移动到B所作的功为 W=lim∑F(5,m,)T;△s A→ =lim >IP(S;, n, 5)cos a; +@(5i, n, si)cos B,+R(S, n, 5)Cosy JAs J[P(x, J, =)cosa+O(x, J, 2)cos B+R(x,,2)cos r]ds L 其中为所有的小弧段的最大长度
因此 F 将质点沿 L 从 A 移动到 B 所作的功为 0 1 lim ( , , ) n i i i i W → = = F τ i i s 0 1 lim ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos d , n i i i i i i i i i i i i i i L P Q R s P x y z Q x y z R x y z s → = = + + = + + 其中 为所有的小弧段的最大长度
根据这一思想我们引入下面的定义。 定义14.2.1设L为一条定向的可求长连续曲线,起点为A,终 点为B。在L上每一点取单位切向量r=(cosa,cosB,cosy),使它与L的 定向相一致。设 f(x,y, a)=P(x,y, z)i+O(x,y, s)j+R(x,y, z)k 是定义在L上的向量值函数,则称 ∫.rds=[P(x,y2osa+xy,2)s月+R(x,y)osy小 为∫在L上的第二类曲线积分
根据这一思想我们引入下面的定义。 定义 14.2.1 设 L 为一条定向的可求长连续曲线，起点为 A ，终 点为B 。在L 上每一点取单位切向量τ= (cos, cos , cos ) ，使它与L 的 定向相一致。设 f (x, y,z) = P(x, y,z)i + Q(x, y,z) j + R(x, y,z)k 是定义在L 上的向量值函数，则称 L f τds ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos d L = + + P x y z Q x y z R x y z s 为 f 在L 上的第二类曲线积分
在曲线L上的点(x,y)处取L的弧长微元ds,作向量ds=rds,其中 r=(cosa,cosB,cosy)为曲线L在点(x,y,z)处与L同向的单位切向量 那么凼在x轴上的投影是 cos ads,记为dx,即dx= cos ads。同理记 dy= cos Bds,d=cos/ds。于是,第二类曲线积分又可以表示为 ∫:zdsd于」f·ds=∫P(x,y,A+Q(xy,)+R(x,y。 它也称为1-形式o=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)d在L上的第二类 曲线积分,记为∫o
在曲线 L 上的点 (x, y,z) 处取 L 的弧长微元 ds ，作向量 ds =tds,其中 τ= (cos, cos , cos )为曲线 L 在点(x, y,z) 处与 L 同向的单位切向量。 那 么 ds 在 x 轴上的投影是 cos d s ，记为 dx ， 即 d cos d x s = 。同理记 d cos d y s = ，d cos d z s = 。于是，第二类曲线积分又可以表示为 ds L f t ds = d L f s ( , , )d ( , , )d ( , , )d L = + + P x y z x Q x y z y R x y z z 。 它也称为 1-形式 = + + P x y z x Q x y z y R x y z z ( , , )d ( , , )d ( , , )d 在L 上的第二类 曲线积分，记为 L
在曲线L上的点(x,y)处取L的弧长微元ds,作向量ds=rds,其中 r=(cosa,cosB,cosy)为曲线L在点(x,y,z)处与L同向的单位切向量 那么凼在x轴上的投影是 cos ads,记为dx,即dx= cos ads。同理记 dy= cos Bds,d=cos/ds。于是,第二类曲线积分又可以表示为 ∫:zdsd于」f·ds=∫P(x,y,A+Q(xy,)+R(x,y。 它也称为1-形式o=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)d在L上的第二类 曲线积分,记为∫o 特别地,如果L为xy平面上的定向光滑曲线段,第二类曲线积分 就简化为 ∫P(x,ydx+q(xy)y=∫[P( y)cos a+( x, y)cos B ]ds JIP(, y)cosa+O(x, D)sina]ds 其中a为L的沿L方向的切向量与x轴正向的夹角
特别地，如果 L 为 xy 平面上的定向光滑曲线段，第二类曲线积分 就简化为 ( , )d ( , )d [ ( , )cos ( , )cos ]d [ ( , )cos ( , )sin ]d , L L L P x y x Q x y y P x y Q x y s P x y Q x y s + = + = + 其中 为L 的沿L 方向的切向量与 x 轴正向的夹角。 在曲线 L 上的点 (x, y,z) 处取 L 的弧长微元 ds ，作向量 ds =tds,其中 τ= (cos, cos , cos )为曲线 L 在点(x, y,z) 处与 L 同向的单位切向量。 那 么 ds 在 x 轴上的投影是 cos d s ，记为 dx ， 即 d cos d x s = 。同理记 d cos d y s = ，d cos d z s = 。于是，第二类曲线积分又可以表示为 ds L f t ds = d L f s ( , , )d ( , , )d ( , , )d L = + + P x y z x Q x y z y R x y z z 。 它也称为 1-形式 = + + P x y z x Q x y z y R x y z z ( , , )d ( , , )d ( , , )d 在L 上的第二类 曲线积分，记为 L
第二类曲线积分定义在定向曲线(即指定了方向的曲线)上,它 具有如下性质 性质1(方向性)设向量值函数∫在定向的分段光滑曲线L上的 第二类曲线积分存在。记-L是定向曲线L的反向曲线,则∫在-L上的 第二类曲线积分也存在,且成立 注意这个等式两边的7是方向相反的
第二类曲线积分定义在定向曲线（即指定了方向的曲线）上，它 具有如下性质： 性质 1 （方向性）设向量值函数 f 在定向的分段光滑曲线L 上的 第二类曲线积分存在。记−L是定向曲线L 的反向曲线，则 f 在−L上的 第二类曲线积分也存在，且成立 L f τds = - L - f τds 。 注意这个等式两边的τ是方向相反的
性质2(线性性)设两个向量值函数f,g在定向的分段光滑曲 线L上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数a,B,a∫+/在L上 的第二类曲线积分也存在,且成立 ∫(a∫+Bg);rds=a∫f.rds+∫g:rds
性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 f , g 在定向的分段光滑曲 线L 上的第二类曲线积分存在，则对于任何常数, ， f + g 在L 上 的第二类曲线积分也存在，且成立 ( ) L + f g τds L = f τds L + g τds
性质2(线性性)设两个向量值函数f,g在定向的分段光滑曲 线L上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数a,B,a∫+/在L上 的第二类曲线积分也存在,且成立 ∫(a∫+Bg);rds=a∫f.rds+∫g:rds 性质3(路径可加性)设定向分段光滑曲线L分成了两段L和L2, 它们与L的取向相同(这时记为L=L1+L2),如果向量值函数∫在L上 的第二类曲线积分存在,则它在L和L2上的第二类曲线积分也存在。 反之,如果∫在L和L2上的第二类曲线积分存在,则它在L上的第二 类曲线积分也存在。且成立 ∫rds=∫rds+∫∫.rds
性质3（路径可加性） 设定向分段光滑曲线 L 分成了两段 L1 和 L2， 它们与L 的取向相同（这时记为L L L = +1 2 ），如果向量值函数 f 在L 上 的第二类曲线积分存在，则它在L1 和L2 上的第二类曲线积分也存在。 反之，如果 f 在L1 和L2 上的第二类曲线积分存在，则它在L 上的第二 类曲线积分也存在。且成立 L f τds 1 L = f τds 2 L + f τds 。 性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 f , g 在定向的分段光滑曲 线L 上的第二类曲线积分存在，则对于任何常数, ， f + g 在L 上 的第二类曲线积分也存在，且成立 ( ) L + f g τds L = f τds L + g τds
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线L的方程为 x(D)2y=y(1),z=z(1)2t:a→>b, 这里t:a→b表示参数t从a变化到b,这就确定了L的方向。则L是可 求长的,且曲线的弧长的微分d=√x(0)+y2()+=(。注意到 (x'(),y(n),z()是曲线的切向量,因此它的单位切向量为 T =(cos a, cos B, cosr) (x(t),y(t),=z() x2(t)+y2(t)+z2()
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L 的方程为 x = x(t), y = y(t), z = z(t), t : a → b ， 这里t : a →b表示参数t从a变化到b，这就确定了L 的方向。则L 是可 求长的，且曲线的弧长的微分 2 2 2 d ( ) ( ) ( )d s x t y t z t t = + + 。注意到 (x (t), y (t), z (t))是曲线的切向量，因此它的单位切向量为 τ= ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) 1 (cos ,cos ,cos ) 2 2 2 x t y t z t x t y t z t + + =