第十二章多元函数的微分学 §1偏导数与全微分 偏导数 定义12.1.1设DcR2为开集, 二=f(x,y),(x,y)∈D 是定义在D上的二元函数,(x0,y)∈D为一定点。如果存在极限 lim f(xo+Ax, yo)-/o, yo) x→)0 那么就称函数∫在点(xn,y)关于x可偏导,并称此极限为∫在点 (x0,y)关于x的偏导数,记为 (xy)(或(x),可(x,)
偏导数 定义 12.1.1 设 D 2 R 为开集， z f x y x y = ( , ), ( , ) D 是定义在 D 上的二元函数，( , ) 0 0 x y D 为一定点。如果存在极限 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ， 那么就称函数 f 在 点 ( , ) 0 0 x y 关 于 x 可偏导，并称此极限为 f 在 点 ( , ) 0 0 x y 关于x的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y x z （或 ( , ) 0 0 f x y x ， ( , ) 0 0 x y x f ）。 第十二章 多元函数的微分学 §1 偏导数与全微分
如果函数∫在D中每一点都关于x可偏导,则D中每一点(x,y)与 其相应的∫关于x的偏导数f(x,y)构成了一种对应关系即二元函数关 系,它称为f关于x的偏导函数(也称为偏导数),记为 或f(x,y) 类似地可定义f在点(xn,y)关于y的偏导数(xn3)(或 f(xn,y),(x0,y))及关于y的偏导函数(或f(x,y),9) 若∫在点(x,υ)关于x和y均可偏导,就简称∫在点(x,y)可偏
如果函数 f 在 D 中每一点都关于 x 可偏导，则 D 中每一点 (x, y) 与 其相应的 f 关于 x 的偏导数 f (x, y) x 构成了一种对应关系即二元函数关 系，它称为 f 关于x的偏导函数（也称为偏导数），记为 x z （或 f (x, y) x ， x f ）。 类 似 地 可 定义 f 在 点 ( , ) 0 0 x y 关 于 y 的偏导数 ( , ) 0 0 x y y z （ 或 ( , ) 0 0 f x y y ， ( , ) 0 0 x y y f ）及关于 y 的偏导函数 y z （或 f (x, y) y ， y f ）。 若 f 在 点 ( , ) 0 0 x y 关 于 x 和 y 均可偏导，就简称 f 在 点 ( , ) 0 0 x y 可 偏 导
现在来看偏导数的几何意义。考虑函数 z=f(x,y)2(x,y)∈D, 它的图像是一张曲面。平面y=y0与这张曲面的交线l(见图12.1.1) 方程为 X=X y=yo f(x,yo) Z z=f(x, y) X 图12.1.1
现在来看偏导数的几何意义。考虑函数 z f x y x y = ( , ), ( , ) D， 它的图像是一张曲面。平面 0 y = y 与这张曲面的交线 l （见图 12.1.1） 方程为 l : = = = ( , ). , , 0 0 z f x y y y x x X Y Z 0 x z f x y = ( , ) T O y0 图12.1.1
利用曲线的切向量的方向余弦表示式,该曲线在点(x0,y)处的切向量 T的方向余弦满足 coS(T, x): coS(T, y): coS(T, 2)=1: 0: f(xo, yo 也就是说,f(x2y)是平面y=y上的曲线l在点(x0,y)处的切线关 于x轴的斜率。这是一元情况的直接推广。 Z z=f(x, y) X 图12.1.1
利用曲线的切向量的方向余弦表示式，该曲线在点 ( , ) 0 0 x y 处的切向量 T 的方向余弦满足 0 0 cos( , ) : cos( , ) : cos( , ) 1: 0: ( , ) x T T T x y z f x y = ， 也就是说， ( , ) 0 0 f x y x 是平面 0 y = y 上的曲线 l 在点( , ) 0 0 x y 处的切线关 于x 轴的斜率。这是一元情况的直接推广。 X Y Z 0 x z f x y = ( , ) T O y0 图12.1.1
从偏导数的定义可以看出,对某个变量求偏导数,只要在求导时 将其他变量看成常数就可以了,这种思想可以推广到一般的n元函数 上去:设x°=(x0,x2,…,x)为开集DcR中一定点。定义n元函数 =f(x12x2,…,xn),(x1,x2…,x)∈D 在x°点关于x,(i=12,…,n)的偏导数为 lim fo +△x1,x+1,…,xn)-f( (如果等式右面的极限存在的话) 如果函数∫在开集(或区域)D上每一点关于每个x,都可偏导 n),则称f在D上可偏导
从偏导数的定义可以看出，对某个变量求偏导数，只要在求导时 将其他变量看成常数就可以了，这种思想可以推广到一般的n元函数 上去：设 ( , , , ) 0 0 2 0 1 0 n x = x x x 为开集 n D R 中一定点。定义n元函数 ( , , , ) 1 2 n u = f x x x ， 1 2 ( , , , ) n x x x D 在 0 x 点关于 i x （i = 1,2, , n）的偏导数为 ( ) 0 x i x f = ( , , , ) 0 0 2 0 1 n i x x x x f = i i i i i n n x x f x x x x x x f x x x i − + + − → ( , , , , , , ) ( , , , ) lim 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 （如果等式右面的极限存在的话）。 如果函数 f 在开集（或区域）D 上每一点关于每个 i x 都可偏导 （i = 1,2, , n），则称 f 在 D 上可偏导
例121.1设f(x,y)=x2+2x2y+y,求f(x,y),f,(x,y,f(01)和 f,(0,1)。 解把y看成常数,对x求导便得 f(x,y)=4x+4xy 于是f(01)=0 把x看成常数,对y求导便得 f,(x,y)=2x2+4 于是∫,(0,1)=4
例 12.1.1 设 4 2 4 f (x, y) = x + 2x y + y ，求 f (x, y) x ， f (x, y) y ， (0,1) x f 和 (0,1) y f 。 解 把 y 看成常数，对x求导便得 f x y x xy x ( , ) 4 4 3 = + 。 于是 f x (0,1) = 0。 把 x看成常数，对 y 求导便得 2 3 f (x, y) 2x 4y y = + 。 于是 f y (0,1) = 4
例12.1.2求函数n=h(x+y2+x3)的偏导数。 解 au 2 az y
例 12.1.2 求函数 ln( ) 2 3 u = x + y + z 的偏导数。 解 2 3 1 x x y z u + + = ， 2 3 2 x y z y y u + + = ， 2 3 2 3 x y z z z u + + =
例12.1.2求函数n=h(x+y2+x3)的偏导数。 解 au 2 az y 例12.1.3设z=x”(x>0.,x≠1),证明它满足方程 x az1 az 2 y nx oy 证由于=yx-,=xhx,因此 az 1 az x yr+ In x=2x=2= y Ox hn x Oy y In
例 12.1.3 设 z = x (x 0, x 1) y ，证明它满足方程 z y z x x z y x 2 ln 1 = + 。 证 由于 x x y z yx x z y y , ln 1 = = − ，因此 x x x z x yx y x y z x x z y x y y y ln 2 2 ln 1 ln 1 1 = + = = + − 。 例 12.1.2 求函数 ln( ) 2 3 u = x + y + z 的偏导数。 解 2 3 1 x x y z u + + = ， 2 3 2 x y z y y u + + = ， 2 3 2 3 x y z z z u + + =
“可导必定连续”是一元函数中的一条熟知的性质,但对多元函 数来讲,类似性质并不成立,即可偏导未必连续 例12.1.4设 x f(x, y) x+y2,(x,y)≠(00) 0 (x,y)=(00) 计算f(0,0),f,(00) 解由定义得到 Ax.0 0 f2(00)=lim f(0+△x,O)-f(0,0) lim lim Ax→0 Ax->0 Ax→0 同理f,(0,0)=0。这说明了f(x,y)在(00)点可偏导 但我们已经知道,f(x,y)在(00)点不连续
“可导必定连续”是一元函数中的一条熟知的性质，但对多元函 数来讲，类似性质并不成立，即可偏导未必连续。 例 12.1.4 设 = = + 0, ( , ) (0,0). , ( , ) (0,0), ( , ) 2 2 x y x y x y x y f x y 计算 (0,0), (0,0) x y f f 。 解 由定义得到 0 0 lim 0 0 0 lim (0 ,0) (0,0) (0,0) lim 0 2 2 0 0 = = − + = + − = → → x → x x x x f x f f x x x x 。 同理 f y (0,0) = 0。这说明了 f (x, y)在(0,0) 点可偏导。 但我们已经知道， f (x, y)在(0,0) 点不连续
方向导数 偏导数反映的是二元函数沿x轴方向或y轴方向的变化率。而在 平面R2上,当然也可以讨论函数沿任一射线方向的变化率 R2中的单位向量v总可以表示为v=(cosa,sina),这里a为v与x轴 正向的夹角,因此v代表了一个方向,cosa,sna(=cosB)就是v的方向 余弦(其中B为v与y轴正向的夹角)。设P(xny)∈R2,则以P为起 点,方向为v的射线(图121.2)的参数方程为 x=OP+t=(xo+ t cosa,y+ t sin a),t≥0。 v=(cos a, sin a) B(x0,y0) 图12.1.2
方向导数 偏导数反映的是二元函数沿 x轴方向或 y 轴方向的变化率。而在 平面 2 R 上，当然也可以讨论函数沿任一射线方向的变化率。 2 R 中的单位向量v 总可以表示为v = (cos,sin )，这里 为v 与x轴 正向的夹角，因此v 代表了一个方向，cos, sin (= cos )就是v 的方向 余弦（其中 为v 与 y 轴正向的夹角）。设 P0 (x0 , y0 ) 2 R ，则以 P0 为起 点，方向为v 的射线（图 12.1.2）的参数方程为 x = OP0 + tv = ( cos , sin ) x0 + t y0 + t ， t 0 。 y v = (cos,sin ) O x 图 12.1.2 0 0 0 P x y ( )