§3微积分基本定理 从实例看微分与积分的联系 到目前为止,我们已详细介绍了微分与积分(这里专指定积分) 的基本概念,但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上,揭 示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备 知识已经基本具备,可以为这两个重要的概念建立桥梁了
从实例看微分与积分的联系 到目前为止，我们已详细介绍了微分与积分（这里专指定积分） 的基本概念，但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上，揭 示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备 知识已经基本具备，可以为这两个重要的概念建立桥梁了。 §3 微积分基本定理
先来看一个颇具启发性的例子。在引入定积分定义时我们已经知 道,以速度v()作变速运动的物体,在时间段[,z2]中所走过的路程S可 以表示为定积分 ∑w(5) 72 s=lim v(tdt →0 但是这个和式的极限一般来说是很难求的 让我们换一个角度考虑问题:设物体在时间段[0,n所走过的路程 为S(),那么它在时间段团T,]所走过的路程可以表示为 S=S(T2)-(71), 于是就有 v(t)dt=S(72)-S(7) 注意到v(t)=S(t),或者说S(1)是v(1)的一个原函数,于是上式说明了, v()在区间[T,2上的积分值可以用它的一个原函数在区间的两个端点 处的函数值之差来表示
先来看一个颇具启发性的例子。在引入定积分定义时我们已经知 道，以速度v t( )作变速运动的物体，在时间段[, ] T T 1 2 中所走过的路程 S 可 以表示为定积分 2 0 1 1 lim ( ) ( )d n T i i T i S v t vt t λ ξ → = = Δ= ∑ ∫ ， 但是这个和式的极限一般来说是很难求的。 让我们换一个角度考虑问题：设物体在时间段[,] 0 t 所走过的路程 为S t( )，那么它在时间段[, ] T T 1 2 所走过的路程可以表示为 S ST ST = () () 2 1 − ， 于是就有 2 1 ( )d T T vt t ∫ = ST ST () () 2 1 − 。 注意到vt S t () () = ′ ，或者说S t( ) 是v t( )的一个原函数，于是上式说明了， v t( )在区间[, ] T T 1 2 上的积分值可以用它的一个原函数在区间的两个端点 处的函数值之差来表示
微积分基本定理 Newton- Leibniz公式 设f(x)在区间a,b]上可积,由定积分的区间可加性,可知对任意 x∈b,积分(存在。当x在中变化时,「()d的值也随之 而变化,所以它是定义在[a,b上的关于x的函数。这个函数具有如下 的重要性质:
微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式 设 f x( )在区间[,] a b 上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意 x ab ∈[,]，积分 ( )d x a f t t ∫ 存在。当 x 在[,] a b 中变化时， ( )d xa f t t ∫ 的值也随之 而变化，所以它是定义在[,] a b 上的关于 x 的函数。这个函数具有如下 的重要性质：
微积分基本定理 Newton- Leibniz公式 设f(x)在区间a,b]上可积,由定积分的区间可加性,可知对任意 x∈b,积分(存在。当x在中变化时,「()d的值也随之 而变化,所以它是定义在[a,b上的关于x的函数。这个函数具有如下 的重要性质: 定理7.3.1设f(x)在a,上可积,作函数 F(x)=f()dt,x∈[ab] 则 (1)F(x)是[a,b]上的连续函数 (2)若∫(x)在[a,b]上连续,则F(x)在[ab上可微,且有 F'(x)=f(x)
定理 7.3.1 设 f x( )在[,] a b 上可积，作函数 ( ) ( )d , [ , ] x a F x = ∈ f t t x ab ∫ ， 则 ⑴ F x( )是[,] a b 上的连续函数； ⑵ 若 f x( )在[,] a b 上连续，则 F x( )在[,] a b 上可微，且有 F x fx ′() () = 。 微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式 设 f x( )在区间[,] a b 上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意 x ab ∈[,]，积分 ( )d x a f t t ∫ 存在。当 x 在[,] a b 中变化时， ( )d xa f t t ∫ 的值也随之 而变化，所以它是定义在[,] a b 上的关于 x 的函数。这个函数具有如下 的重要性质：
证由定积分的区间可加性, F(x+△)-F(x)-0)d-.oud=-∫ 记m、M分别为f(x)在a上的最小值和最大值,由积分第一中值定 理,得到 7:Ax(m∈[m,M]) 若f(x)在[a,b]上可积 F(x+△x)-F(x) f()·Ax(在x与x+Ax之间,若f(x)在[a,b上连续 显然,不管在哪一种情况下,当Ax→0时都有F(x+Ax)-F(x)→0, 即F(x)在{a,b上连续。 若f(x)在[a,b连续,当Ax→0时有5→x,因而f()→f(x),于是 F(x=lim F(x+△x)-F(x) lim f(5)=f(x) Ax→>0
证 由定积分的区间可加性， ( ) ( ) ( )d ( )d ( )d x x x x x a ax F x x Fx ft t ft t ft t +Δ +Δ +Δ − = − = ∫ ∫∫ 。 记 m、M 分别为 f x( )在[,] a b 上的最小值和最大值，由积分第一中值定 理，得到 Fx x Fx ( ) () + Δ − ⎩⎨⎧ Δ⋅ Δ+ ∈Δ⋅ = 与在 之间 在若 上连续。 在若 上可积， ()( ],[)(), ),],[( ],[)( xxxxf baxf Mmx baxf ξξ ηη 显然，不管在哪一种情况下，当Δx → 0时都有 Fx x Fx ( ) () + Δ − → 0， 即 F x( )在[,] a b 上连续。 若 f x( )在[,] a b 连续，当Δx → 0时有ξ → x ，因而 f () () ξ → f x ，于是 0 0 ( ) () ( ) lim lim ( ) ( ) x x Fx x Fx F x f f x x ξ Δ → Δ → + Δ − ′ = == Δ
注定理7.3.1具有非常重要的意义 首先,它扩展了函数的形式。(dr与我们所熟悉的初等函数形 式迥异,但它确实是一种函数的表示形式,它使我们对函数的认识冲 出了初等函数的束缚,不再囿于这狭窄的范围 其次,它说明了当(x)在上连续时,∫/(正是f(x)在b 上的一个原函数,这就是我们在第六章§3所断言的:任何连续函数 必存在原函数。如∫d是的一个原函数,∫ed是e的一 个原函数,等等。 另外它还给出了对∫(d这种形式的函数求导(通常称为“对积 分上限求导”)的一个法则:(dx)=f(x)
注 定理 7.3.1 具有非常重要的意义。 首先，它扩展了函数的形式。 ( )d x a f t t ∫ 与我们所熟悉的初等函数形 式迥异，但它确实是一种函数的表示形式，它使我们对函数的认识冲 出了初等函数的束缚，不再囿于这狭窄的范围。 其次，它说明了当 f x( )在[,] a b 上连续时， ( )d x a f t t ∫ 正是 f x( )在[,] a b 上的一个原函数，这就是我们在第六章§3 所断言的：任何连续函数 必存在原函数。如 sin d x a t t t ∫ 是 sin x x 的一个原函数， 2 e d x t a t − ∫ 是e − x2 的一 个原函数，等等。 另外它还给出了对 ( )d x a f t t ∫ 这种形式的函数求导（通常称为“对积 分上限求导”）的一个法则：( ) ( )d ( ) xa f t t fx ′ = ∫
例7.31计算F(x)=smvd的导数 解记u=x2,则 F(x)=G(n)=lsin√da 由复合函数求导法则, d d F(x=,G(u).u(x) sin id t l.2x=2 x sin x。 du
例 7.3.1 计算 2 0 ( ) sin d x F x tt = ∫ 的导数。 解 记u x = 2 ，则 0 ( ) ( ) sin d u F x Gu t t = = ∫ ， 由复合函数求导法则， 2 0 d d ( ) ( ) ( ) sin d 2 2 sin d d u u x F x Gu u x t t x x x u u = ⎛ ⎞ ′ ′ = ⋅= ⎜ ⎟ ⋅ = ⎝ ⎠ ∫
例7.31计算F(x)=smvd的导数 解记u F(x)=G(u)= sin vt dt 由复合函数求导法则, d d F(x=,G(u).u(x) sin id t l.2x=2 x sin x。 du sin tdt 例73.2求极限lim x→>0 解由于/(x0,此这个极限是待定型,由 L'Hospital法 sin√tdt sin vt dt 0 2xsin x 2 m Im →0 x→)0
例 7.3.2 求极限 2 0 3 0 sin d lim x x t t → x ∫ 。 解 由于 ( )d 0 a a fx x = ∫ ，因此这个极限是 00 待定型。由 L'Hospital 法 则， 2 0 3 0 sin d lim x x t t → x ∫ 2 0 3 0 sin d lim ( ) x x t t → x ′ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ′ ∫ = → lim sin x x x 0 x 2 2 3 = 2 3 。 例 7.3.1 计算 2 0 ( ) sin d x F x tt = ∫ 的导数。 解 记u x = 2 ，则 0 ( ) ( ) sin d u F x Gu t t = = ∫ ， 由复合函数求导法则， 2 0 d d ( ) ( ) ( ) sin d 2 2 sin d d u u x F x Gu u x t t x x x u u = ⎛ ⎞ ′ ′ = ⋅= ⎜ ⎟ ⋅ = ⎝ ⎠ ∫
定理7.3.1最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论——微积分基本定理。 定理7.3.2(微积分基本定理)设f(x)在{b上连续,F(x)是f(x) 在[ab上的一个原函数,则成立 ∫f(x)dx=F()-F(a)
定理 7.3.1 最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论——微积分基本定理。 定理 7.3.2 (微积分基本定理) 设 f x( )在[,] a b 上连续，F x( )是 f x( ) 在[,] a b 上的一个原函数，则成立 ( )d ( ) ( ) b a f x x Fb Fa = − ∫
定理7.3.1最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论——微积分基本定理。 定理7.32(微积分基本定理)设f(x)在{b上连续,F(x)是f(x) 在[ab上的一个原函数,则成立 ∫f(x)dx=F()-F(a) 证设F(x)是f(x)在[b上的任一个原函数,而由定理7.3.1, ∫(dr也是f(x)在上的一个原函数,因而两者至多相差一个常数 f(tdt= F(x)+C, 令x=a,即得到C=-F(a),所以 f(odt=F(x)-F(a) 再令x=b,便得到 f(x)dx= f(odt= F(b)-F(a
证 设 F x( ) 是 f x( )在[,] a b 上的任一个原函数，而由定理 7.3.1， ( )d x a f t t ∫ 也是 f x( )在[,] a b 上的一个原函数，因而两者至多相差一个常数。 记 ( )d ( ) x a f t t Fx C = + ∫ ， 令x = a ，即得到C Fa = − ( )，所以 ( )d ( ) ( ) x a f t t Fx Fa = − ∫ 。 再令 x = b，便得到 ( )d ( )d ( ) ( ) b b a a f x x ft t Fb Fa = =− ∫ ∫ 。 定理 7.3.1 最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论——微积分基本定理。 定理 7.3.2 (微积分基本定理) 设 f x( )在[,] a b 上连续，F x( )是 f x( ) 在[,] a b 上的一个原函数，则成立 ( )d ( ) ( ) b a f x x Fb Fa = − ∫