§2换元积分法和分部积分法 换元积分法 换元积分法可以分成两种类型: (1)第一类换元积分法 在不定积分∫/(x)中,若(x)可以通过等价变形化成 f(g(x)g(x),而函数()的原函数F(l)是容易求的 因为[F(g(x)=F(g(x)g(x)=f(g(x)g(x)=f(x),可知 ∫/(x)dx=F(g(x)+C
换元积分法 换元积分法可以分成两种类型： ⑴ 第一类换元积分法 在不定积分 f ( ) x x ∫ d 中，若 f x( )可以通过等价变形化成 ~ f gx g x ( ( )) ) ′( ，而函数 ~f u( )的原函数 ~F u( )是容易求的。 因为 )())(( ~ ]))(( ~[ ′ = ′′ xgxgFxgF = )())(( ~ ′ xgxgf = f x( )，可知 f ( ) x x ∫ d ))(( += CxgF~ 。 §2 换元积分法和分部积分法
在运算时,可采用下述步骤:用=g(x)对原式作变量代换,这时 相应地有dn=g'(x)dx,于是, JA(x)dxf(g(x))g(x)dx=f(g(x)dg ∫f()d=F()+C=F(8(x)+C。 这个方法称为第一类换元积分法。由于在将f(x)ldx化成 f(g(x)g(xldx=f(g(x)dg(x)的过程中往往要采取适当地“凑”的办法, 它也被俗称为“凑微分法
在运算时，可采用下述步骤：用u gx = ( )对原式作变量代换，这时 相应地有d d u gx x = ′( ) ，于是， f ( ) x x ∫ d = f ( ( )) ) gx g x x ′( ∫ d = ( f ( ( )) ) gx gx ∫ d = f ( ) u u = ∫ d )( CuF =+ ~ ~ Fgx C ( ( )) + 。 这个方法称为第一类换元积分法 。由于在将 f ( ) x xd 化成 f ( ( )) ) gx g x x ′( = d f ( ( )) ) gx gx( d 的过程中往往要采取适当地“凑”的办法， 它也被俗称为“凑微分法
例621求∫ 解将f(x)=xa看成是/()=和a=x-的复合函数,因为 d(x-a) 所以 x-a (作变量代换u=x-a) X-a 用u=x-a代回) In x-a+c
例 6.2.1 求 x x a − ∫ d 。 解 将 f x x a ( ) = − 1 看成是 ~ f u( ) u = 1 和uxa = − 的复合函数，因为 d d ( ) xa x − = ，所以 x xa ( ) xa xa − = − − ∫ ∫ d d （作变量代换uxa = − ） u u = ∫ d = ln | | u C+ （用uxa = − 代回） = ln | | xa C − +
例621求「 解将f(x)=xa看成是/()=和a=x-的复合函数,因为 d(x-a)=dx,所以 dx X-a (作变量代换u=x-a) xX-a In u+c 用u=x-a代回) In x-a+c 同理可以求出 n (x-a) 1(x-a) 和 dx C 2ax-a Jx+a 2a x
同理可以求出 1 1 1 ( ) 1( ) n n x C xa n xa − = −⋅ + − −− ∫ d （n > 1） 和 2 2 x x a − ∫ d 12 x x a xa xa ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − + ∫ ∫ d d C ax ax a + +− = ln 21 。 例 6.2.1 求 x x a − ∫ d 。 解 将 f x x a ( ) = − 1 看成是 ~f u( ) u = 1 和uxa = − 的复合函数，因为 d d ( ) xa x − = ，所以 x xa ( ) xa xa − = − − ∫ ∫ d d （作变量代换uxa = − ） u u = ∫ d = ln | | u C+ （用uxa = − 代回） = ln | | xa C − +
例622求∫ dx x+a 解 d 作变量代换u=-) x+a 1+(a)2a11+(a) du arc tanu+C (用=代回) 1+l arc tan -+o 同理可以求出 x arc sin-+C。 d -x
例 6.2.2 求 2 2 x x a + ∫ d 。 解 22 2 2 2 1 1 ( ) 1 () 1 () xa x x a a x x xa a a = = ++ + ∫ ∫∫ d d d （作变量代换 u xa = ） 2 1 1 u a u = + ∫ d Cu a = tanarc + 1 （用u xa = 代回） C a x a = tanarc + 1 。 同理可以求出 2 2 x a x − ∫ d = + arcsin xa C
例623求∫ tan xdx 解∫ tan xdx=∫ sInx dx (cos x)'d (作变量代换u=cosx) COS X COSx du 用 u= COSx 代回) COSX I+C 等熟练之后,只要将代换u=g(x)默记在心,就可以直接写出 sInx tan xdx=c d(cos x) In cos x|+C。 COSX cOSX
例 6.2.3 求 tan x x ∫ d 。 解 tan x x ∫ d sin cos x x x = ∫ d (cos ) cosx x x′ = −∫ d （作变量代换u x = cos ） u u = −∫ d = − ln | | u C+ （用u x = cos 代回） = − ln |cos | x C+ 。 等熟练之后，只要将代换u gx = ( )默记在心，就可以直接写出 tan x x ∫ d sin cos x x x = ∫ d (cos ) cos xx = −∫ d = − ln |cos | x C+
例6.24求∫ sec xdx 解 cOSX d(sin x) COSx cOS x 1-sin'x 作变量代换nm3,并利用∫x4=2m++c,得到 1+sin x secxdx= +C=iIn(+sin x) sInx sIn x l sinic=In secx+tanx+c COSX 可以类似地求出 cot xdx = In sin x+C 和 cSc xdx= In cscx-cotx +C
例 6.2.4 求 sec x x ∫ d 。 解 sec x x ∫ d 2 1 cos cos cos x x x x x = = ∫ ∫ d d 2 (sin ) 1 sinxx = − ∫ d , 作变量代换u x = sin ，并利用 2 2 x x a − ∫ d C ax ax a + +− = ln 21 ，得到 sec x x ∫ d C xx C xx + −+ =+ −+ = 2 2 sin1 )sin1( ln 21 sin1 sin1 ln 21 CxxC x x ++=+ + = |tansec|ln cos sin1 ln 。 可以类似地求出 cot x x ∫ d = ln |sin | x C+ 和 csc x x ∫ d = − |cotcsc|ln + Cxx
例625求∫ √x(1+x 解「 d(yx)=2 arctan+C。 √x(1+x)11+(√x
例 6.2.5 求 (1 ) x x x + ∫ d 。 解 2 1 2 ( ) 2arctan (1 ) 1 ( ) x x xC xx x = = + + + ∫ ∫ d d
例625求∫ x(1+ 解 d(yx)=2 arctan√x+C。 (1+x)11+(x 例6.2.6求∫ nmx cos ndx(m≠n) 解∫ sin mx cos ndx=,jms( m-n)x]dx cos(m+n)x cos(m-n)x +c m+n m-n 可以类似地求出∫ sin rdx和 cosme cosnxdx
例 6.2.6 求 sin cos mx nx x ∫ d ( ≠ nm )。 解 sin cos mx nx x ∫ d 1 [sin( ) sin( ) ] 2 = ++ − m nx m nx x ∫ d C nm xnm nm xnm +⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ −− + ++ −= )cos()cos( 21 。 可以类似地求出 sin sin mx nx x ∫ d 和 cos cos mx nx x ∫ d 。 例 6.2.5 求 (1 ) x x x + ∫ d 。 解 2 1 2 ( ) 2arctan (1 ) 1 ( ) x x xC xx x = = + + + ∫ ∫ d d
(2)第二类换元积分法 若不定积分(xx不能直接求出,但能够找到一个适当的变量代 换x=0(1)(要求x=(1)的反函数t=g-(x)存在),将原式化为 f(x)dx=f(()do(1)=f(9()y()dt, 而f(()0()的原函数F()是容易求的。 因为 F(o(x)=F(x=/(0(0 f(o()o(t) f(o(t)=f(x) p(t) 所以 ∫f(x)dx=F(2(x)+C
⑵ 第二类换元积分法 若不定积分 fx x ( ) ∫ d 不能直接求出，但能够找到一个适当的变量代 换 = ϕ tx )( （要求 = ϕ tx )( 的反函数 )(1 xt − = ϕ 存在），将原式化为 fx x ( ) ∫ d = ft t ( ( )) ) ϕ ϕ( = ∫ d f t tt ( ( )) ) ϕ ϕ′( ∫ d ， 而 ϕ ϕ′(ttf )))(( 的原函数 ~F t( )是容易求的。 因为 1 F( ( )) x x ϕ − d d = ( ) t F t x ′ d d = ( ( )) ( ) t ft t x ϕ ϕ′ dd = )( 1 )())(( t ttf ϕ ϕϕ ′ ′ = ϕ = xftf )())(( ， 所以 fx x ( ) = ∫ d + CxF − ))(( ~ 1 ϕ