§4函数的 Taylor公式及其应用 函数在x=0处的 Taylor公式 函数f(x)在x=0处的 Taylor公式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(0)x2+…+f(0)x x"+(x), 2 n! 其中r(x)有 Peano余项与 Lagrange余项两种表示形式,即有 (x)o(x),或x) (x,e(0, (n+1) 函数f(x)在x=0处的 Taylor公式又称为函数f(x)的 Maclaurin公 式。下面我们求几个最基本的初等函数的Maclaurin公式
函数在 x = 0处的 Taylor 公式 函数 ( ) xf 在 x = 0处的 Taylor 公式 )( ! )0( !2 )0( )0()0()( )( 2 xrx n f x f xffxf n n n ++ + ′′ += ′ + " ， 其中 xr )( n 有 Peano 余项与 Lagrange 余项两种表示形式，即有 )()( n n = xoxr ，或 1 )1( )!1( )( )( + + + = n n n x n xf xr θ ，θ ∈(0,1)。 函数 ( ) xf 在 x = 0处的 Taylor 公式又称为函数 (xf )的 Maclaurin公 式。下面我们求几个最基本的初等函数的 Maclaurin 公式。 §4 函数的Taylor公式及其应用
例5.4.1求f(x)=e在x=0处的 Taylor公式。 解对函数f(x)=e有 f(x)=f(x)=f(x)=…=f 于是 f(0)=f(0)=f"(O)=…=fm(0) 因此,e在x=0处的 Taylor公式 e=1+x+++…+=+r(x), 它的余项为 r1(x)=o(x"),或rn(x) 6∈(0,1) n
例 5.4.1 求 f x x () e = 在 x = 0处的 Taylor 公式。 解 对函数 f x x () e = 有 n x )()()( xfxfxfxf e)()( = ′ = ′′ " === ， 于是 )0()0()0( 1)0()( = ′ = ′′ === n fff " f ， 因此，ex在 x = 0处的 Taylor 公式 !!3!2 1e 32 n xxx x n x " +++++= + r x n ( )， 它的余项为 )()( n n = xoxr ，或 )1,0( , )!1( e )( 1 ∈ + = + θ θ n x n x n xr
例54.2求f(x)=sinx和f(x)=cosx在x=0处的 Taylor公式 解先考虑f(x)=sinx。 由于对k=0,1,2,…,有 k (x=sinx+ 于是 k=2n (-1)”,k=2n+1 因此sinx在x=0处的 Taylor公式为 2n+1 sinx=x-=+ +(一 +2n+2(x) (2n+ 相应的余项为 n()-x2),或n(1)=-5m(x+2n+3x,oe (2n+3)!
例 5.4.2 求 fx x ( ) sin = 和 fx x ( ) cos = 在 x = 0处的 Taylor 公式。 解 先考虑 fx x ( ) sin = 。 由于对 k = 012 ,, , "，有 ( ) ( ) sin π 2 k k fx x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 于是 ⎩ ⎨ ⎧ +=− = = ,12,)1( ,2,0 )0()( nk nk f n k 因此sin x 在 x = 0处的 Taylor 公式为 )!12( )1( !5!3 sin 53 12 + −+−+−= + n xx x xx n " n + + r x 2 2 n ( ) ， 相应的余项为 )()( 22 22 + + = n n xoxr ，或 2 3 2 2 2 3 ( ) sin π , (0,1) (2 3)! 2 n n x n r x x n θ θ + + ⎛ ⎞ + = +∈ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠
同理可以求出cox在x=0处的 Taylor公式为 cosr=1-xx4 +r(x), 2!4 (2n) 相应的余项为 2n+2 r2n (x)=o(xin), 2n, (x)=xcos e 2n+2 ∈(0,1) (2n+2
同理可以求出cos x 在 x = 0处的 Taylor 公式为 )!2( )1( !4!2 1cos 42 2 n xx x x n n " −+−+−= + + r x 2 1 n ( )， 相应的余项为 )()( 12 12 + + = n n xoxr ，或 2 2 2 1 2 2 ( ) cos π , (0,1) (2 2)! 2 n n x n r x x n θ θ + + ⎛ ⎞ + = +∈ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠
例5.43求f(x)=(1+x)(a为任意实数)在x=0处的 Taylor 公式。 解因为 f(0)=(1+x) f(0)=a(l+x)2=a f"(0)=a(a-1)(1+x) ( 对任意正整数k,一般地有 f((0)=a(a-1)…(a-k+1)
例 5.4.3 求 α += xxf )1()( （α 为任意实数）在 x = 0处的 Taylor 公式。 解 因为 1)1()0( 0 =+= x= xf α ， α α α ′ =+= = − 0 1 )1()0( x f x ， )1()1)(1()0( 0 2 ′′ −=+−= = − αα αα α x f x ， …… 对任意正整数k ，一般地有 )1()1()0()( f k +−−= k " ααα
a)a(a-1)…(a-k+1 k k 并规定 0 当a为正整数n时,=C,1≤j≤n,因而它是组合数的推 由此得到 (1+x) x+ x”+r2(x), 它的余项为 r1(x)=0(x"),或r( 1+t) 6∈(0,1) n
记 , ! )1()1( k k k +−− =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α " ααα 并规定 1 0 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α 。 当 α 为正整数 n时， n j n j ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = C ，1 ≤ ≤ nj ，因而它是组合数的推广。 由此得到 n x n x xxx ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =+ α αααα α 2 3 " 3210 )1( + r x n ( )， 它的余项为 )()( n n = xoxr ，或 )1( )1,0( , 1 )( 1)1( ⋅+ ∈ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ++− θ θ α α nn n xx n xr
下面是几种最常见的情况。 (a)当a为正整数n时,上式即成为 0(6/4 ∑C 这是熟知的二项式展开定理,此时的余项为零
下面是几种最常见的情况。 (a) 当 α 为正整数 n时，上式即成为 ( ) 1 C 0 0 + = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = = = x ∑ ∑ n k x x n k n k n k k k n ， 这是熟知的二项式展开定理，此时的余项为零
下面是几种最常见的情况。 (a)当a为正整数n时,上式即成为 k ∑Ch 这是熟知的二项式展开定理,此时的余项为零 (b)当a=-1时,易知,=(-1,因此 =1-x+x-x4+(-1)x+Fn(x), 1+x 余项为 (x)=0x”),或r(x)=(-1) 6∈(0,1) (1+bx)
(b)当α −= 1时，易知⎛−⎝⎜ ⎞⎠⎟ = − 1 1 k k ( ), 因此 nn xxxx x x 1 )1( 1 1 432 −+−+−+−= + " + r x n ( )， 余项为 )()( n n = xoxr ，或 1 1 2 ( ) ( 1) , (0,1) (1 ) n n n n x r x x θ θ + + + = − ∈ + 。 下面是几种最常见的情况。 (a)当α 为正整数n时，上式即成为 ( ) 1 C 0 0 + = ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ = = = x ∑ ∑ nk x x n kn k nk k kn ， 这是熟知的二项式展开定理，此时的余项为零
(c)当a=时,对k≥1,有 (-1)…(-k+1) k (1-2(1-4)…(1-2(k-1)2 k=1, 2k! k-1(2k-3) k>1, (2k)! 其中记号为 k(k-2)(k-4)…6·4·2,k=2n, k!! k(k-2)(k-4)…53.1,k=2n+1 因此, 1·3 (2n-3 +x=1+-x x”+r1(x), 2.4 9 (2m)! 余项为 n+1 (x)=o(x"),或r(x)=(-1)y (2n-1)!!x b∈(0,1)。 (2n+2)(1+0x)2
(c) 当 2 1 α = 时，对 k ≥ 1，有 ! )1()1( 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k +−− =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ " !2 ))1(21()41)(21( k k k − − − − = " ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ > − − = = − ,1 , !)!2( !)!32( )1( , ,1 2 1 1 k k k k k 其中记号 k !! 为 ⎩ ⎨ ⎧ +=⋅⋅−− =⋅⋅−− = .12,135)4)(2( ,2,246)4)(2( !! kkk nk kkk nk k " " 因此， n n x n n xxx x !)!2( !)!32( )1( 642 31 42 1 2 1 11 2 3 1 − −+− ⋅⋅ ⋅ + ⋅ −+=+ " − + r x n ( )， 余项为 )()( n n = xoxr ，或 1 2 1 (2 1)!! ( ) ( 1) , (0,1) (2 2)!!(1 ) n n n n n x r x n x θ θ + + − = − ∈ + +
(d)当a=-时,对k≥1,有 (-)(--1)…(号-k+1) k k! (-1)(-1-2)(-1-4)…(-1-2(k-1) 2k 2k-1) (2k)! 因此 1.3 1.3.5 1--x+ (2n-1 x 2.4.6 x”+rn(x), √1+x (2n)!! 余项为 r(x)=o(x),或r(x)=(-1(2n+1)x21 ∈(0,1)。 (2n+2)(1+x)
(d)当 21 α −= 时，对k ≥ 1，有 , !)!2( !)!12( )1( !2 ))1(21()41)(21)(1( ! )1()1)(( 21 21 21 21 k k k k k k k k k − −= −−−−−−−− = +−−−−− =⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− " " 因此 n n x n n xx x x !)!2( !)!12( )1( 642 531 42 31 21 1 11 2 3 − −+− ⋅⋅⋅ ⋅ − ⋅⋅ +−= + " + r x n ( )， 余项为 )()( n n = xoxr ，或 )1,0(, )1( !)!22( !)!12( )1()( 2 3 1 1 ∈ + + + −= + + + θ θ n n n n x x n n xr