§2上极限与下极限 数列的上极限和下极限 先考虑有界数列的情况。 定义921在有界数列{xn}中,若存在它的一个子列{xn}使得 lim xn 则称为数列{xn}的一个极限点。 “5是数列{xn}的极限点”可以等价地表述为:“对于任意给定的 6>0,存在{xn}中的无穷多个项属于ξ的ε邻域” E={是{xn}的极限点}, 则E是非空的有界集合,因此E的上确界H=supE和下确界h=inf E存在
数列的上极限和下极限 先考虑有界数列的情况。 定义 9.2.1 在有界数列 { x n }中，若存在它的一个子列 { k n x }使得 k ∞→ lim nk x = ξ ， 则称 ξ 为数列 { x n }的一个极限点 。 “ ξ 是数列 { x n }的极限点”可以等价地表述为：“对于任意给定的 ε > 0，存在 { x n }中的无穷多个项属于 ξ 的 ε 邻域 ”。 记 E = { ξ | ξ 是 { x n }的极限点 }， 则 E 是非空的有界集合，因此 E 的上确界 H = sup E 和下确界 h = in f E 存在。 §2 上极限与下极限
定理9.2.1E的上确界H和下确界h均属于E,即 H= maxe, h=min e 证由H=spE可知,存在5k∈E(k=12,…),使得 lim H 取G 在(k=1,2,…) 因为5是{xn}的极限点,所以在O5,1)中有xn}的无穷多个项,取 xn∈O(515); 因为2是{xn}的极限点,所以在O2,E2)中有xn}的无穷多个项, 可以取n2>n,使得xn∈O(522);
定理 9.2.1 E 的上确界 H 和下确界 h 均属于 E，即 H = max E， h = min E。 证 由H = sup E 可知，存在ξ k ∈E k = "),2,1( ，使得 lim k k ξ H →∞ = 。 取 k k 1 ε = k = "),2,1( 。 因为ξ 1是{ }n x 的极限点，所以在 ),( 11 O ξ ε 中有{xn }的无穷多个项，取 1 1 1 (,) n x O∈ ξ ε ； 因为ξ 2 是{ }n x 的极限点，所以在 ),( 22 O ξ ε 中有{xn }的无穷多个项， 可以取 12 > nn ，使得 2 2 2 (,) n x O∈ ξ ε ； ……
因为是{xn}的极限点,所以在O5,)中有xn}的无穷多个项, 可以取n>n,使得xn∈O(5,=) 这么一直做下去,便得到{xn}的子列{xn},满足 于是有 Im k→∞ 由定义92.1,H是{xn}的极限点,也就是说,H∈E。 同理可证h∈E
因为ξ k 是{ }n x 的极限点，所以在 ),( O kk ξ ε 中有{xn }的无穷多个项， 可以取 > nn kk −1 ，使得 (,) k n kk x O∈ ξ ε ； …… 这么一直做下去，便得到{ xn }的子列 }{ nk x ，满足 1 k n k x k −ξ < ， 于是有 lim lim k n k k k x ξ H →∞ →∞ = = 。 由定义 1.2.9 ，H 是{xn }的极限点，也就是说， H ∈E。 同理可证 h ∈E
定义9.2.2E的最大值H=maxE称为数列{xn}的上极限 E的最小值h=minE称为数列{xn}的下极限,记为 H=imx;h=lmxn
定义 9.2.2 E 的最大值 H = max E 称为数列{ xn }的上极限， E 的最小值 h = min E 称为数列{ xn }的下极限，记为 H = n ∞→ lim xn ；h = n ∞→ lim xn
定义9.2.2E的最大值H=maxE称为数列{xn}的上极限 E的最小值h=minE称为数列{xn}的下极限,记为 H=imx;h=lmxn。 定理922设{xn}是有界数列。则{n}收敛的充分必要条件是 lim n→ 证若{xn}是收敛的,则它的任一子列收敛于同一极限(定理 244),因而此时E中只有一个元素,于是成立 m x Im x n→0 n→①0 若{xn}不收敛,则至少存在它的两个子列收敛于不同极限,因此有 lim x>lmxn° n→0
定理 9.2.2 设{ xn }是有界数列。则{ }n x 收敛的充分必要条件是 n ∞→ lim xn = n ∞→ lim xn 。 证 若{ xn }是收敛的，则它的任一子列收敛于同一极限（定理 2.4.4），因而此时 E 中只有一个元素，于是成立 lim n→∞ xn = n ∞→ lim xn = n ∞→ lim xn 。 若{ xn }不收敛，则至少存在它的两个子列收敛于不同极限，因此有 n ∞→ lim xn > n ∞→ lim xn 。 定义 9.2.2 E 的最大值 H = max E 称为数列{ xn }的上极限， E 的最小值 h = min E 称为数列{ xn }的下极限，记为 H = n ∞→ lim xn ；h = n ∞→ lim xn
由于一个无上界(下界)数列中必有子列发散至正(负)无穷大, 按上述思路,可将极限点的定义扩充为 定义9.2.1在数列{xn}中,若存在它的一个子列{xn}使得 imxn=5(-∞≤5≤+0), 则称为数列{xn}的一个极限点。 “5=+∞(或-∞)是{xn}的极限点”也可以等价地表述为:“对 于任意给定的G>0,存在{xn}中的无穷多个项,使得x>G(或x< G)
由于一个无上界（下界）数列中必有子列发散至正（负）无穷大， 按上述思路，可将极限点的定义扩充为 定义 9.2.1' 在数列 { x n }中，若存在它的一个子列 { k n x }使得 k ∞→ lim k n x = ξ （ −∞ ≤ ≤ +∞ ξ ）， 则称 ξ 为数列 { x n }的一个极限点 。 “ ξ = ∞+ （或 − ∞）是 { x n }的极限点”也可以等价地表述为：“对 于任意给定的 G > 0，存在 { x n }中的无穷多个项，使得 x n > G （ 或 x n < - G）
同样地,仍定义E为{xn}的极限点全体。当5=+∞(或-∞)是 xn}的极限点时,定义supE=+(或infE=-∞);当5=+∞(或- 是{xn}的唯一极限点时,定义supE=infE=+(或supE=infE ∞0)。那么定理92.1依然成立,而定理92.2只要改为 定理9.2.2limx,存在(有限数、+∞或-0)的充分必要条件 n→) 是 n→
同样地，仍定义 E 为{ xn }的极限点全体。当ξ =+ ∞ （或− ∞）是 { xn }的极限点时，定义 sup E =+ ∞（或 inf E =− ∞）；当ξ =+ ∞（或− ∞） 是{ xn }的唯一极限点时，定义 sup E = inf E =+ ∞ （或 sup E = inf E =− ∞）。那么定理 9.2.1 依然成立，而定理 9.2.2 只要改为 定理 9.2.2' lim n→∞ xn 存在（有限数、+ ∞ 或− ∞）的充分必要条件 是 n ∞→ lim xn = n ∞→ lim xn
例92.1求数列{x=c32}的上极限与下极限 解因为xm:=x3n:=5,xn3 所以{xn} 的最大极限点是1,最小极限点是-cos”,即 lin cOS n→) n→0
例 9.2.1 求数列 2 π cos 5 n n x ⎧ ⎫ ⎨ = ⎬ ⎩ ⎭的上极限与下极限。 解 因为 n −45 x = n −15 x = 2 π cos 5 ， n −35 x = n −25 x = π cos 5 − ， 5 1 n x = ，所以 { x n } 的最大极限点是 1，最小极限点是 π cos 5 − ，即 n ∞→ lim 1 n x = ， n ∞→lim n x = π cos 5 −
例92.2求数列n=ny)的上极限与下极限。 解此数列为 1.2.4..6,-.8 它没有上界,因而 limx.=+0。 又由xn>0,且{x2n1}的极限为0,即知 limx.=0。 n→
例 9.2.2 求数列{ }n nxn − )1( = 的上极限与下极限。 解 此数列为 1, 2, 31 , 4, 51 , 6, 71 , 8, …， 它没有上界，因而 n ∞→ lim xn =+ ∞ 。 又由 xn > 0，且 }{ n−12 x 的极限为 0，即知 n ∞→ lim xn = 0
例92.2求数列n=ny)的上极限与下极限。 解此数列为 1.2.4..6,-.8 它没有上界,因而 limx.=+0。 又由xn>0,且{x2n1}的极限为0,即知 0。 例923求数列{xn=n}的上极限与下极限。 解由于limx=-∞,因而 lim x m x Im x n→)
例 9.2.3 求数列{ xn = -n}的上极限与下极限。 解 由于lim n→∞ xn =− ∞，因而 n ∞→ lim xn = n ∞→ lim xn = lim n→∞ xn =− ∞ 。 例 9.2.2 求数列{ }n nxn − )1( = 的上极限与下极限。 解 此数列为 1, 2, 31 , 4, 51 , 6, 71 , 8, …， 它没有上界，因而 n ∞→ lim xn =+ ∞ 。 又由 xn > 0，且 }{ n−12 x 的极限为 0，即知 n ∞→ lim xn = 0