§2定积分的基本性质 性质1(线性性)设f(x)和8(x)都在[a,b上可积,k1和k2是常数 小函数kf(x)+k2g(x)在a,b上也可积,且有 ∫k/(x)+k8(x)x=k(x)dx+Jg(x)x 证对anb的任意一个划分 q=x0<x1<x,<…<xn=b 和任意点5;∈[x1,x,成立等式 ∑[kf(;)+k2g)x=k∑f(5)x+k∑g(5)x。 令=max(Ax)→0, l≤i<n imn∑kf(5)+k28(5Ax=klm∑f(x+klim∑g(5)x i=1 kL, f(x)dx+k.g(x)dx
性质 1（线性性） 设 f x( )和 g x( )都在[,] a b 上可积， 1 k 和 2 k 是常数。 则函数kf x kgx 1 2 () () + 在[,] a b 上也可积，且有 12 1 2 [ ( ) ( )]d ( )d ( )d b b b a a a kf x kgx x k f x x k gx x += + ∫ ∫∫ 。 证 对[,] a b 的任意一个划分 ， ax x x x b = 012 < < <"< n = 和任意点 ],[ 1 iii xx ξ ∈ − ，成立等式 ∑ ∑ ∑ = = = =Δ+ +Δ Δ n i ii n i ii n i i ii xgkxfkxgkfk 1 2 1 1 1 1 2 ξξ )]()([ ξ )( ξ )( 。 令 0)(max 1 = →Δ ≤≤ i ni λ x ， 12 1 2 0 0 0 1 1 1 lim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) n n n i i i ii ii i i i kf kg x k f x k g x λ λ λ ξξ ξ ξ → → → = = = ∑ ∑∑ + Δ = Δ + Δ 1 2 ( )d ( )d b b a a = + k f x x k gx x ∫ ∫ ， §2 定积分的基本性质
由定义,k1f(x)+k2g(x)在[ab上可积,且 [k,f(x)+k2g(x)]dx=k f(r)dx+k2 g(x)dx
由定义，kf x kgx 1 2 () () + 在[,] a b 上可积，且 12 1 2 [ ( ) ( )]d ( )d ( )d b b b a a a k f x k += + g xxk f xxk g x x ∫ ∫∫
由定义,k1f(x)+k2g(x)在[ab上可积,且 [k,f(x)+k2g(x)]dx=k f(r)dx+k2 g(x)dx 推论若f(x)在[a,b上可积,而g(x)只在有限个点上与f(x)的取 值不相同,则g(x)在[a,b上也可积,并且有 ∫(x)dx=Jg(x)dx 这就是说,若在有限个点上改变一个可积函数的函数值,并不影 响其可积性和积分值
推论 若 f x( )在[, ] a b 上可积，而 g x( )只在有限个点上与 f x( )的取 值不相同，则 g x( )在[, ] a b 上也可积，并且有 ( )d ( )d b b a a f x x = g x x ∫ ∫ 。 这就是说，若在有限个点上改变一个可积函数的函数值，并不影 响其可积性和积分值。 由定义，kf x kgx 1 2 () () + 在[,] a b 上可积，且 12 1 2 [ ( ) ( )]d ( )d ( )d b b b a a a k f x k += + g xxk f xxk g x x ∫ ∫∫
性质2(乘积可积性)设f(x)和g(x)都在[a,b上可积,则f(x)g(x) 在[ab上也可积。 证由于f(x)和g(x)都在{a,b上可积,所以它们在{a,b]上有界 因此存在常数M,满足 (x)sM和|g(x) 对a,b的任意划分 =x0<x1<x 设和是[x1,x中的任意两点,则有 f()g(x)-f()g() f(x)-f(x)|·|g(x)|+|f(x)|·g(x)-g(x) ≤M[|(x)-f(6)+|g(x)-8()
性质 2 （乘积可积性） 设 f x( )和 g x( )都在[,] a b 上可积，则 f x gx () () ⋅ 在[,] a b 上也可积。 证 由于 f x( )和 g x( )都在[,] a b 上可积，所以它们在[,] a b 上有界。 因此存在常数 M ，满足 |)(| ≤ Mxf 和 | ( )| , [ , ] gx M x ab ≤ ∈ 。 对[,] a b 的任意划分 ax x x x b = 012 < < <"< n = ， 设 x和 ~x 是[ ,] x x i i −1 中的任意两点，则有 | ( ) ( ) ( ) ( )| ˆ ˆ | ( ) ( )| | ( )| | ( )| | ( ) ( )| ˆˆ ˆ () () () () . ˆ ˆ f xgx f xgx f x f x gx f x gx gx M f x f x gx gx − ≤− ⋅ + ⋅− ≤⎡ − + − ⎤ ⎣ ⎦
记f(x)g(x)在小区间[x21,x上的振幅为a,f(x)和g(x)在小区间 x,x上的振幅分别为a和o,,则上式意味着 ≤M(2+o), 因此 ∑0Ax≤MC∑oAx+∑Ax) 令λ=max(Δx)→0,不等式的右端趋于零。由极限的夹逼性,得到 l≤i<n 根据 Riemann可积的充分必要条件,即知∫(x)g(x)在a,b]可积 要注意的是,一般说来 f(x)g()dx+ f()dx g(x)
记 f x gx () () ⋅ 在小区间 [ ,] x x i i −1 上的振幅为 ωi ， f x( ) 和 g x( ) 在小区间 [ ,] x x i i −1 上的振幅分别为ωi′和ωi′′ ，则上式意味着 ( ) ωi ii ≤ M ω ω ′ + ′′ ， 因此 1 11 0( ) n nn i i ii ii i ii ω ωω x Mx x = == ≤ ∑ ∑∑ Δ≤ Δ+ Δ ′ ′′ 。 令 1max( ) 0 i i n λ x ≤ ≤ = Δ → ，不等式的右端趋于零。由极限的夹逼性，得到 0 1 lim 0 n i i i x λ ω → = ∑ Δ = ， 根据 Riemann 可积的充分必要条件，即知 f x gx () () ⋅ 在[,] a b 可积。 要注意的是，一般说来 ( ) ( ) ( ) ( )d ( )d ( )d b bb a aa f xgx x f x x gx x ≠ ⋅ ∫ ∫∫
性质3(保序性)设f(x)和g(x)都在[a,上可积,且在a,上恒有 f(x)≥g(x),则成立 f(rdx2 g(x)dx 证我们只要证明对[ab上的非负函数f(x),成立 f(x)dx≥0 由于在[ab]上f(x)≥0,因此对[a,b的任意一个划分 x10,即得到 l≤i<n (x)dx=im∑/(5)△x20
性质 3（保序性）设 f x( )和 g x( )都在[,] a b 上可积，且在[,] a b 上恒有 f x gx () () ≥ ，则成立 ( )d ( )d b b a a f x x ≥ g x x ∫ ∫ 。 证 我们只要证明对[,] a b 上的非负函数 f x( )，成立 ( )d 0 b a fx x ≥ ∫ 。 由于在[,] a b 上 f x( ) ≥ 0，因此对[,] a b 的任意一个划分 ax x x x b = 012 < < <"< n = 和任意点 1 [ ,] i ii ξ x x ∈ − ，有 1 () 0 n i i i f x ξ = ∑ Δ ≥ 。 令 1max( ) 0 i i n λ x ≤ ≤ = Δ → ，即得到 0 1 ( )d lim ( ) 0 n b i i a i fx x f x λ ξ → = = ∑ Δ ≥ ∫
性质4(绝对可积性)设f(x)在[a,b上可积,则|f(x)在[a,b上 也可积,且成立 f(x)dx≤|f(x)ldx 证由于对于任意两点和x,都有 f(x一|f(X)|≤|f(x)-f(x) 仿照性质2的证明即可证得f(x)在ab上可积。 又因为对任意x∈[ab],成立 f(x)|≤f(x)≤|f(x) 由性质3得到 If(x)I dxs f(x)dxs If(x)Idx 这就是 f(x)dxs I f(x)I dx
性质 4（绝对可积性）设 f x( )在[,] a b 上可积，则 | ( )| f x 在[,] a b 上 也可积，且成立 ( )d | ( ) | d b b a a f x x ≤ f x x ∫ ∫ 。 证 由于对于任意两点x 和~x ，都有 || ( )| | (~)| | | ( ) (~ fx fx fx fx − ≤ − ) | ， 仿照性质 2 的证明即可证得 | ( )| f x 在[,] a b 上可积。 又因为对任意 ∈ bax ],[ ，成立 − | ( )| ( ) | ( )| fx fx fx ≤ ≤ ， 由性质 3 得到 | ( ) | d ( )d | ( ) | d b bb a aa − ≤≤ f x x f x x f x x ∫ ∫∫ ， 这就是 ( )d | ( ) | d b b a a f x x ≤ f x x ∫ ∫ 。
要注意的是,性质4的逆命题不成立,也就是说,由f(x)在[a,b 上的可积性并不能得出f(x)在[a,b上的可积性。 反例: f(以)=1,x为有理数 ∈[0,1] 1,x为无理数
要注意的是，性质 4 的逆命题不成立，也就是说，由| ( )| f x 在[,] a b 上的可积性并不能得出 f x( ) 在[,] a b 上的可积性。 反例： ⎩ ⎨ ⎧ − = ,1 , ,1 , )( 为无理数 为有理数 x x xf x ∈[ ,] 0 1
性质5(区间可加性)设f(x)在[ab上可积,则对任意点c∈[ab], f(x)在,和[,b上都可积;反过来,若f(x)在[a,d]和[c上都可积, 则f(x)在[a,上可积。此时成立 f(x)dx=/(x)dx+lf(x)dx 证先假定f(x)在{ab上可积,设c是[a,b中任意给定的一点。 由定理7.1.3,对任意给定的E>0,存在[a,b]的一个划分 a=X<x, <x<.<x 使得满足 O△x.<E 我们总可以假定c是其中的某一个分点x4,否则只要在原有划分中插 入分点c作成新的划分,由 Darboux和的性质(引理7.1.1),上面的 不等式仍然成立
性质 5（区间可加性）设 f x( )在[,] a b 上可积，则对任意点c ab ∈[,]， f x( )在[,] a c 和[, ] c b 上都可积；反过来，若 f x( )在[,] a c 和[, ] c b 上都可积， 则 f x( )在[,] a b 上可积。此时成立 ( )d ( )d ( )d b cb a ac f x x fx x fx x = + ∫∫∫ 。 证 先假定 f x( )在[,] a b 上可积，设c是[,] a b 中任意给定的一点。 由定理 7.1.3，对任意给定的ε > 0，存在[,] a b 的一个划分 ax x x x b = 012 < < <"< n = ， 使得满足 1 n i i i ω x ε = ∑ Δ < 。 我们总可以假定c是其中的某一个分点 xk ，否则只要在原有划分中插 入分点c作成新的划分，由 Darboux 和的性质（引理 7.1.1），上面的 不等式仍然成立
a=x<x1<x<…<x=C c=xk<xul<xkr<.<xn=b 分别看成是对[a,]和[e,b作的划分,则显然有 ∑0Ax<6和∑aAx<E 由定理7.1.3,f(x)在a,和,上都是可积的
将 ax x x x c = 012 < < <"< k = 和 cx x x x b = kk k n < + + 1 2 < <"< = 分别看成是对[,] a c 和[, ] c b 作的划分，则显然有 1 k i i i ω x ε = ∑ Δ < 和 1 n i i i k ω x ε = + ∑ Δ < ， 由定理 7.1.3， f x( )在[,] a c 和[, ] c b 上都是可积的
