第六章不定积分 §1不定积分的概念和运算法则 微分的逆运算 不定积分 定义6.1.1若在某个区间上,函数F(x)和f(x)成立关系 F'(x)=f(x), 或等价地, d(F(x))=f(x)dx, 则称F(x)是f(x)在这个区间上的一个原函数
微分的逆运算 ── 不定积分 定义6.1.1 若在某个区间上，函数F x( ) 和 f x( )成立关系 F x fx ′() () = ， 或等价地， d d ( ( )) ( ) F x = f x x ， 则称F x( ) 是 f x( )在这个区间上的一个原函数。 第六章 不定积分 §1 不定积分的概念和运算法则
注意,如果一个函数存在原函数,那么它的原函数必定是不唯 的。比如,若F(x)是f(x)的原函数,那么对任何常数C,F(x)+C也是 f(x)的原函数 反之,若G(x)是f(x)的任一个原函数,则[F(x)-G(x)=0。于是 x)-G(x)=C,即G(x)=F(x)+C。 所以,只要求出了f(x)的任意一个原函数F(x),就可以用F(x)+C 来代表f(x)的原函数全体了
注意，如果一个函数存在原函数，那么它的原函数必定是不唯一 的。比如，若F x( ) 是 f x( )的原函数，那么对任何常数 C，Fx C ( ) + 也是 f x( )的原函数。 反之，若G x( ) 是 f x( )的任一个原函数，则[ ( ) ( )] Fx Gx − ′ = 0。于是 Fx Gx C () () − ≡ ，即Gx Fx C () () = + 。 所以，只要求出了 f x( )的任意一个原函数F x( )，就可以用Fx C ( ) + 来代表 f x( )的原函数全体了
定义6.1.2一个函数f(x)的原函数全体称为这个函数的不定积 分,记作(x)x。 这里,“∫”称为积分号,f(x)称为被积函数,x称为积分变量。 微分运算“d”与不定积分运算“∫”构成了一对逆运算: f(x)dx F(x)+C 或者具体写成 40/())/)(即(地)-/() dF(x)=F(x)+C
定义6.1.2 一个函数 f x( )的原函数全体称为这个函数的不定积 分，记作 f ( )d x x ∫ 。 这里，“ ∫ ”称为积分号， f x( )称为被积函数，x称为积分变量。 微分运算“d ”与不定积分运算“ ∫ ”构成了一对逆运算： ( ) ( ) ( ) F x f x x Fx C ⎯⎯→ + ←⎯⎯∫d d ， 或者具体写成 ( f () () x x fx x ) = ∫ dd d （ 即 ( f () () x x) f x x = ∫ d d d ） 与 F() () x Fx C = + ∫d
例6.1.1求∫s sin xax o 解由于d(cosx)=- sin xdx,即d(-cosx)= sin xdx,因此得到 sin xax cosx+C
例6.1.1 求 sin x x ∫ d 。 解 由于d d (cos ) sin x xx = − ，即d d ( cos ) sin − x xx = ，因此得到 sin cos xx x C = − + ∫ d
例6.1.1求∫s sin xax o 解由于d(cosx)=- sin xdx,即d(-cosx)= sin xdx,因此得到 sin xax cosx+C。 例6.12求∫xdx,(a≠-1)。 解由于(1 a+1 因此有 a+1 X x +C a
例6.1.2 求 x x α ∫ d ，（α ≠ −1）。 解 由于 α α α = xx ′ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + +1 1 1 ，因此有 1 1 1 xx x C α α α + = + + ∫ d 。 例6.1.1 求 sin x x ∫ d 。 解 由于d d (cos ) sin x xx = − ，即d d ( cos ) sin − x xx = ，因此得到 sin cos xx x C = − + ∫ d
例613求∫。 解当x>0时,有(nx)=-,因此 ax inx+C(x>0)。 x 当x<0时,有[n(-x=-(-1)=-,因此 x (-x)+C(x<0) 把两式结合起来,便得到 In x +C
例6.1.3 求 x x ∫ d 。 解 当 x > 0时，有(ln ) x x ′ = 1 ，因此 ln x x C x = + ∫ d ( ) x > 0 。 当 x < 0时，有[ln( )] ( ) − ′ = − x − = x x 1 1 1 ，因此 ln( ) x x C x = − + ∫ d ( ) x < 0 。 把两式结合起来，便得到 ln | | x x C x = + ∫ d
不定积分的线性性质 定理6.1.1(线性性)若函数f(x)和g(x)的原函数都存在, 则对任意常数k和k2,函数kf(x)+k28(x)的原函数也存在,且有 ∫f(x)+kg(x]x=f(x)x+k」g(xx 证略
不定积分的线性性质 定理6.1.1（线性性） 若函数 f x( )和 g x( )的原函数都存在， 则对任意常数k1和 k2，函数kf x kgx 1 2 () () + 的原函数也存在，且有 12 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) kf x kgx x k f x x k gx x += + ∫ ∫∫ ddd 。 证 略
基本的不定积分公式: 微分 不定积分 e +c d(In x) =In x+C d(x=axdx ∫xdx=ax++C(≠ d(sin x)=cos xdx cos xdx=sinx+C d(cos x)=-sin xdx sin xdx=-cosx+C d( tan x)=sec: sec xdx= tanx+C d(cot x)=-csc xdx csc xdx=-cotx+C d(sec x)=tan x sec xdx tan x sec xdx= secx+C d(csc x)=-cot x csc xdx cot x csc xdx=-cscx+c dx arcsin x arcsinx+c d(arctan x) arctan+C 1+ +x
基本的不定积分公式： 微 分 不 定 积 分 (e ) e x x d d = x e e x x x C = + ∫ d (ln ) x x x = d d ln | | x x C x = + ∫ d 1 ( ) x xx α α α − d d = 1 1 1 xx x C ( 1) α α α α + + = + ≠− ∫ d d d (sin ) cos x xx = cos sin xx x C = + ∫ d d d (cos ) sin x xx = − sin cos xx x C = − + ∫ d 2 d d (tan ) sec x xx = 2 sec tan xx x C = + ∫ d 2 d d (cot ) csc x xx = − 2 csc cot xx x C = − + ∫ d d d (sec ) tan sec x x xx = tan sec sec x xx x C = + ∫ d d d (csc ) cot csc x x xx = − cot csc csc x xx x C = − + ∫ d 2 (arcsin ) 1 x x x = − d d 2 arcsin 1 x x C x = + − ∫ d 2 (arctan ) 1 x x x = + d d 2 arctan 1 x x C x = + + ∫ d
不定积分的线性性质和上面的不定积分表可以帮助我们求出 些简单函数的不定积分。 例6.14求jtam2xdx 解利用三角恒等式tan2x=sec2x-1, ∫ tanxi=∫(sx1)dx= jsec2'xdx-jldx= tanx-x+C
不定积分的线性性质和上面的不定积分表可以帮助我们求出一 些简单函数的不定积分。 例6.1.4 求 2 tan x x ∫ d 。 解 利用三角恒等式 1sectan2 2 xx −= ， 2 tan x x ∫ d 2 2 = − = −⋅ (sec 1) sec 1 x x xx x ∫ ∫ ∫ d dd = tan − + Cxx
不定积分的线性性质和上面的不定积分表可以帮助我们求出 些简单函数的不定积分。 例6.14求jtam2xdx 解利用三角恒等式tan2x=sec2x-1, ∫ tanxi=∫(sx1)dx= jsec2'xdx-jldx= tanx-x+C 例6.15求∫ Sinf-dx o 解利用三角函数的半角公式sm2x=1osx, 2 SIn 2 1-cosxdr-2J(-cos x)dx=i(x-sinx)+C
例6.1.5 求 2 sin 2x x ∫ d 。 解 利用三角函数的半角公式 2cos1 2 sin2 − xx = ， 2 1 cos 1 1 sin (1 cos ) ( sin ) 2 22 2 x x x x xx x x C − = = − =− + ∫∫ ∫ dd d 。 不定积分的线性性质和上面的不定积分表可以帮助我们求出一 些简单函数的不定积分。 例6.1.4 求 2 tan x x ∫ d 。 解 利用三角恒等式 1sectan2 2 xx −= ， 2 tan x x ∫ d 2 2 = − = −⋅ (sec 1) sec 1 x x xx x ∫ ∫ ∫ d dd = tan − + Cxx