§3导数四则运算和反函数求导法则 从定义出发求导函数 些简单的函数可以直接通过导数的定义来求导函数: 常数函数y=C的导数恒等于零。 例4.3.1求y=sinx的导函数。 解(x+△x)-sinx=2cos(x+ sin 由cosx的连续性与 sin 22(△x→0),可知 sIn lin sin(x+△x)-Sinx lim cos x lim cOSX, Ax→>0 根据定义,即得 (sin x)=coS x o
从定义出发求导函数 一些简单的函数可以直接通过导数的定义来求导函数： 常数函数 y C= 的导数恒等于零。 例4.3.1 求 y x = sin 的导函数。 解 2 sin 2 cos2sin)sin( xx xxxx Δ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ Δ +=−Δ+ ，由cos x的连续性与 )0( 2 ~ 2 sin →Δ Δ Δ x xx ，可知 0 sin( ) sin lim x xx x Δ → x + Δ − Δ 2 2 sin lim 2 coslim 0 0 x x x x x x Δ Δ ⎟⋅ ⎠⎞ ⎜⎝⎛ Δ = + →Δ →Δ =cos x， 根据定义，即得 (sin ) cos x x ′ = 。 §3 导数四则运算和反函数求导法则
例4.3.2求y=lnx的导函数。 解ln(x+Ax)-lnx=ln x+△ In 1+ 由m1+ (Ax→>0),可知 In| 1+ ln(x+△x)-lnx Im =-lim Ax→0 △x Ax→>0 △x x 根据定义,即有 nx
例4.3.2 求 y x = ln 的导函数。 解 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ += Δ+ =−Δ+ x x x xx xxx lnln)ln( 1ln , 由 →Δ )0(~1ln Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + x x x x x ，可知 0 0 ln 1 ln( ) ln 1 1 lim lim x x x xx x x xx x x x Δ → Δ → ⎛ ⎞ Δ ⎜ ⎟ + +Δ − ⎝ ⎠ = = Δ Δ ， 根据定义，即有 (ln ) x x ′ = 1
例43.3求y=e的导函数 解利用等价关系式e-1~Ax(4x→0),可得 x+△xx lim x e.im =e Ax→0△x →0△x 即有 (e) 进一步,利用等价关系a-1~Axna(a>0,a≠1),可得 (a2)’=(lna)a2
例4.3.3 求 x y = e 的导函数。 解 利用等价关系式e 1 ~ ( 0) x x x Δ − Δ Δ→ ，可得 0 0 e e e1 lim e lim e xx x x x x x x x x +Δ Δ Δ → Δ → − − = ⋅ = Δ Δ ， 即有 (e ) e x x ′ = 。 进一步，利用等价关系 ≠>⋅Δ− )1,0(ln~1 Δ aaaxa x ，可得 ( ) (ln ) a aa x x ′ =
例43.3求y=e的导函数 解利用等价关系式e-1~Ax(4x→0),可得 x+△xr lim e.im =e Ax→0△x →0△x 即有 (e) 进一步,利用等价关系a-1~ Ax. In a(a>0,a≠1),可得 (a2)’=(lna)a2 注意:y=e的导函数恰为它的本身,这就是高等数学中讨论指数 函数和对数函数时经常将底数取成e的缘故。以后会知道,若一个函 数的导函数等于它本身,那么这个函数与y=e至多相差一个常数因 子,即它必为 Ce 的形式
注意：y x = e 的导函数恰为它的本身,这就是高等数学中讨论指数 函数和对数函数时经常将底数取成e的缘故。以后会知道，若一个函 数的导函数等于它本身，那么这个函数与 y x = e 至多相差一个常数因 子，即它必为 y C x = e 的形式。 例4.3.3 求 x y = e 的导函数。 解 利用等价关系式e 1 ~ ( 0) x x x Δ − Δ Δ→ ，可得 0 0 e e e1 lim e lim e xx x x x x x x x x +Δ Δ Δ → Δ → − − = ⋅ = Δ Δ ， 即有 (e ) e x x ′ = 。 进一步，利用等价关系 ≠>⋅Δ− )1,0(ln~1 Δ aaaxa x ，可得 ( ) (ln ) a aa x x ′ =
例434求幂函数y=x(x>0)的导函数,其中a为任意实数 解利用等价关系(1+x)-1-x(△x>0),有 △x (+Ar)=x Im Ax→>0 x x 1+ Im 于是得到
例4.3.4 求幂函数 y x a = ( x > 0 )的导函数,其中a为任意实数。 解 利用等价关系 x xa x x a Δ ⎟ − ⎠⎞ ⎜⎝⎛ Δ + ~11 ( x →Δ 0 ),有 , 11 lim 11 lim )( lim 1 0 1 0 0 − →Δ − →Δ →Δ = Δ ⎟ − ⎠⎞ ⎜⎝⎛ Δ + = Δ ⋅ ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ ⎟ − ⎠⎞ ⎜⎝⎛ Δ + = Δ −Δ+ a a x a a a x aa x ax x x x x x x x x x x x x xxx 于是得到 ( ) x ax a a ′ = −1
注意:对于具体给定的实数a,幂函数y=x“的定义域与可导范 围可能扩大,例如 y=x”(n为自然数)的定义域为(-∞,+∞),它的导函数为 x∈(-∞,+∞); y=1(n为自然数)的定义域为(∞,0(0+40),它的导函数为 x∈(-∞,0)∪(0,+∞) 2 y=x3的定义域为(-∞,+∞),它的导函数为 2 0)(0,+∞) y=x2的定义域为[+),它的导函数为 x∈
注意：对于具体给定的实数 a，幂函数 y x a = 的定义域与可导范 围可能扩大，例如： n y x = （ n为自然数）的定义域为(,) −∞ +∞ ，它的导函数为 1, (,) n y nx x − ′ = ∈ −∞ +∞ ； 1 n y x = （ n为自然数）的定义域为( ,0) (0, ) −∞ ∪ +∞ ，它的导函数为 1 , ( ,0) (0, ) n n y x x + − ′ = ∈ −∞ ∪ +∞ ； 2 3 y = x 的定义域为(,) −∞ +∞ ，它的导函数为 3 2 , ( ,0) (0, ) 3 y x x ′ = ∈ −∞ ∪ +∞ ； 1 2 y = x 的定义域为[0, + ∞ ) ，它的导函数为 1 , (0, ) 2 y x x ′ = ∈ +∞
求导的四则运算法则 定理43.1设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c和C2,它们的线性组合c1f(x)+g(x)也在该区间上可导,且满 足如下的线性运算关系 [Cf(x)+C28(x)=cf(x)+c2g(x) 证由∫(x)和g(x)可导性,根据定义,可得 cf(x)+C2g(x)=lim [cf(x+Ax)+C28(x+Ax)-[cf(x)+c2g(x) Ax→)0 △x f(x+△x)-f(x) g(x+△x)-g(x) C m Ax→0 c1f(x)+c28(x) 证毕
求导的四则运算法则 定理4.3.1 设 f x( )和 g x( )在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c1和c2，它们的线性组合cf x cgx 1 2 () ) + ( 也在该区间上可导，且满 足如下的线性运算关系 [ ( ) )] ( ) ) cf x cgx cf x cg x 12 1 2 + ( ′ = ′ + ′( 。 证 由 f x( )和 g x( )可导性,根据定义，可得 [ ] 1 2 c f () () x c g x ′ + = [ 1 2 12 ] [ ] 0 ( ) ( ) () () limx c f x xc g xx c f x c g x Δ → x +Δ + +Δ − + Δ = 1 0 ( ) () lim x f x x f x c Δ → x + Δ − ⋅ Δ + 2 0 ( ) () lim x g x x g x c Δ → x + Δ − ⋅ Δ = 1 2 cf x cg x ′( ) ( ). + ′ 证毕
求导的四则运算法则 定理43.1设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的,则对任意 常数和C2,它们的线性组合cf(x)+c2g(x)也在该区间上可导,且满 足如下的线性运算关系 c1f(x)+c28(x)y=c1f'(x)+c28'(x) 证由∫(x)和g(x)可导性,根据定义,可得 /()+g()=in/(x+4)+sx+△)-()+8(x) Ax→0 △x f(x+△x)-f(x) C, lim 8(x+Ar)-g(x) Ax→0 c1f(x)+c28(x) 证毕 对于函数c1f(x)+c2g(x)的微分,也有类似的结果: d[c;f(x)+c28(x)]=c[f(x)]+c2d[g(x)]
对于函数cf x cgx 1 2 () ) + ( 的微分，也有类似的结果： )][)]([)])([ 1 2 1 2 d + ( = d + d (xgcxfcxgcxfc 。 求导的四则运算法则 定理4.3.1 设 f x( )和 g x( )在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c1和c2，它们的线性组合cf x cgx 1 2 () ) + ( 也在该区间上可导，且满 足如下的线性运算关系 [ ( ) )] ( ) ) cf x cgx cf x cg x 12 1 2 + ( ′ = ′ + ′( 。 证 由 f x( )和 g x( )可导性,根据定义，可得 [ ] 1 2 c f () () x c g x ′ + = [ 1 2 12 ] [ ] 0 ( ) ( ) () () limx c f x xc g xx c f x c g x Δ → x +Δ + +Δ − + Δ = 1 0 ( ) () lim x f x x f x c Δ → x + Δ − ⋅ Δ + 2 0 ( ) () lim x g x x g x c Δ → x + Δ − ⋅ Δ = 1 2 cf x cg x ′( ) ( ). + ′ 证毕
因为lgx=mx,由定理43,1和对数函数的导数公式,有 (n x) xina 例4.3.5求y=5ogx+3x的导函数(a>0.,a≠1)。 解 y=(5log2x+3√x)=5( doga x)+3(√x 53 xlna2√x
因为 a x x a ln ln log = ，由定理4.3.1和对数函数的导数公式，有 ( ) ax x a x a ln 1 )(ln ln1 log = ′ = ′ 。 例4.3.5 求 xxy a += 3log5 的导函数 > aa ≠ )1,0( 。 解 5 3 (5log 3 ) 5(log ) 3( ) . ln 2 a a y xx x x x a x ′ ′ ′′ = += + =+
定理4.3.2设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的,则它们的 积函数也在该区间上可导,且满足 ∫f(x)·g(x)y=∫(x)g(x)+f(x)g'(x); 相应的微分表达式为 df(x)·g(x)]=g(x)u∫(x)+f(x)[g(x) 证因为 f(x+△x)·g(x+△x)-f(x)·g(x △x f(x+x):g(x+△x)-f(x+△x)g(x)+[f(x+△x)·g(x)-f(x)·g(x) f(x+Ax)8(x+Ax\-gix8(x) J(x+ Ax)-f(x) △x 由f(x)和g(x)可导性(显然f(x)也具有连续性),即可得到 [f(x)·g(x)=li f(x+△x)·g(x+△x)-f(x)·g(x) Ax→)0 △x =lim/(x+△)ims(x+△t)-g(对+8(x)m<x+Ax)=f(x) △x→0 f(x)g(x)+f(xg(x) 证毕
定理4.3.2 设 f x( )和 g x( )在某一区间上都是可导的,则它们的 积函数也在该区间上可导，且满足 [ ( ) )] ( ) ) ( ) ) f x gx f xgx f xg x ⋅ ( ′ = ′ ( + ′( ； 相应的微分表达式为 d ⋅ ( = ( d + d (xgxfxfxgxgxf )][)()]([))])([ 。 证 因为 ( ) ) () ) [ ( ) ) ( ) )] [ ( ) ) ( ) )] ) ) ( ) () ( ) ) , f x x gx x f x gx x f x x g x x f x x g x f x x g x f x g x x gx x gx f x x f x fx x g x x x +Δ ⋅ ( +Δ − ⋅ ( Δ +Δ ⋅ ( +Δ − +Δ ⋅ ( + +Δ ⋅ ( − ⋅ ( = Δ ( +Δ − ( +Δ − = +Δ + ( Δ Δ 由 f x( )和 g x( )可导性（显然 f ( ) x 也具有连续性），即可得到 0 0 0 0 ( ) ) () ) [ ( ) ( )] lim ) ) ( ) () lim ( ) lim ) lim x x x x f x x gx x f x gx f x gx x gx x gx f x x f x fx x g x x x Δ → Δ → Δ → Δ → + Δ ⋅ ( +Δ − ⋅ ( ⋅ = ′ Δ ( +Δ − ( +Δ − = +Δ + ( Δ Δ 。 = f ′ ′ ( ) ( ) ( ) ( ). xgx f xg x + 证毕