§5场论初步 在实际应用中,常常需要考察某种物理量(如温度,密度,电场 强度,力,速度等)在空间的分布和变化规律,从数学和物理上看这 就是场的概念。 设2R3是一个区域,若在时刻t,Ω每一点(x,y,2)都有一个确 定的数值f(x,y,,1)(或确定的向量值∫(x,y,2,)与它对应,就称函数 ∫(x,y,z,)为Ω上的数量场(或向量场)。例如,某一区域上每一点的温 度确定了一个数量场,它称为温度场;而某流体在某一区域上每一点 的速度确定了一个向量场,它称为速度场,如此等等。如果一个场不 随时间的变化而变化,就称该场为稳定场;否则称为不稳定场。在本 节中除非特别声明,我们只考虑稳定场
在实际应用中，常常需要考察某种物理量（如温度，密度，电场 强度，力，速度等）在空间的分布和变化规律，从数学和物理上看这 就是 场的概念。 设 Ω 3 ⊂ R 是一个区域，若在时刻 t，Ω中每一点(,,) x y z 都有一个确 定的数值 f xyzt (, ,,)（或确定的向量值 f tzyx ),,,( ）与它对应，就称函数 f xyzt (, ,,) 为 Ω上的数量场（或向量场 ）。例如，某一区域上每一点的温 度确定了一个数量场，它称为温度场；而某流体在某一区域上每一点 的速度确定了一个向量场，它称为速度场，如此等等。如果一个场不 随时间的变化而变化，就称该场为稳定场；否则称为不稳定场。在本 节中除非特别声明，我们只考虑稳定场。 §5 场论初步
梯度 2上任何一个三元函数f(xy,都可以看成是2上的一个数量 场。设∫(x,y,x)在Ω上具有连续偏导数,则其梯度为 grad f=fi+f j+fk, 而且沿方向 l=cos(L, x)i+cos(, y)j+cos(L, z k 的方向导数可以表示为 01 grad f·l
梯度 Ω上任何一个三元函数 zyxf ),,( 都可以看成是Ω上的一个数量 场。设 f xyx (,,)在Ω上具有连续偏导数，则其梯度为 x y z grad f = ff f i jk + + ， 而且沿方向 = il + + zlylxl ),cos(),cos(),cos( kj 的方向导数可以表示为 f f l ∂ = ⋅ ∂ grad l
曲面 f(x,y,z)=c(常数) 称为/的等值面。若/,,不同时为零,那么n=f+fj+fk为 f+f+f 等值面上的一个单位法向量,并且有 af grad fl及 grad/s or
曲面 ),,( = czyxf （常数） 称为 f 的等值面。若 zyx ,, fff 不同时为零，那么 222 zyx zyx fff fff ++ + + = kji n 为 等值面上的一个单位法向量，并且有 f f n ∂ = ∂ grad 及 f f n∂ = ∂ grad n
曲面 f(x,y,z)=c(常数) 称为/的等值面。若,不同时为零,那么n=计+为 If +fy+f: 等值面上的一个单位法向量,并且有 af grad fl及 grad=Cr 这说明,∫在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方 向相同,这个法线方向就是f的方向导数取到最大值grad川的方向, 于是,沿着与梯度方向相同的方向,f的函数值增加最快。而沿着与 梯度方向相反的方向,∫的方向导数取到最小值-| gradf,于是,沿 着与梯度方向相反的方向,函数值减少最快
这说明， f 在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方 向相同，这个法线方向就是 f 的方向导数取到最大值 grad f 的方向， 于是，沿着与梯度方向相同的方向， f 的函数值增加最快。而沿着与 梯度方向相反的方向， f 的方向导数取到最小值− grad f ，于是，沿 着与梯度方向相反的方向，函数值减少最快。 曲面 ),,( = czyxf （常数） 称为 f 的等值面。若 zyx ,, fff 不同时为零，那么 222 zyx zyx fff fff ++ + + = kji n 为 等值面上的一个单位法向量，并且有 f f n ∂ = ∂ grad 及 f f n∂ = ∂ grad n
由数量场f产生的向量场grad′=fi+∫j+fk称为梯度场 再看一个实际例子。经测量某积雪山顶的高度可用函数z=f(x,y) 来表示,图145.1是等高线图,即f(xy)=c的图形。当雪融化时,由 于重力的作用,雪水会沿高度下降最快的方向,即- grad f方向流动, 溪流就是这样形成的。 图1451
由数量场 f 产生的向量场 x y z grad f f = i + + f j f k 称为梯度场。 再看一个实际例子。经测量某积雪山顶的高度可用函数 = yxfz ),( 来表示，图 14.5.1 是等高线图，即 ),( = cyxf 的图形。当雪融化时，由 于重力的作用，雪水会沿高度下降最快的方向，即−grad f 方向流动， 溪流就是这样形成的。 图14.5.1
通量与散度 设Ω2上稳定流动的不可压缩流体(假定其密度为1)的速度场为 v=v(x, y, =)i+v, (x,y, 2)j+v(x, y, z)k, 其中v,vn,v:具有连续偏导数。设是是2中的一片定向曲面,则单位时 内通过∑流向指定侧的流量为 B=[V,(x, ,=dyds +v, (x, 3)dedx +v (x, ), )drdy =[v nds=[vds 其中n= coS aI+ cos Bi+ cork为在(x,y,x)处的、在指定侧的单位法向 量
通量与散度 设Ω上稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1）的速度场为 v = x i + y j + z zyxvzyxvzyxv ),,(),,(),,( k ， 其中 zyx ,, vvv 具有连续偏导数。设Σ是Ω中的一片定向曲面，则单位时 间内通过Σ流向指定侧的流量为 ( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d d xyz v xyz yz v xyz zx v xyz xy S Σ Σ Φ = ++= ⋅ ∫∫ ∫∫ v n d Σ = ⋅ ∫∫ v S， 其中 = α + β + coscoscos γ kjin 为Σ在(,,) x y z 处的、在指定侧的单位法向 量
显然,Φ>0说明向指定侧穿过曲面Σ的流量多于向相反方向穿 过曲面E的流量;φ0说明从曲面内 的流出量大于流入量,此时在Σ内必有产生流体的源头(源);φ<0 说明从曲面内的流出量小于流入量,此时在Σ内必有排泄流体的漏 洞(汇)
显然，Φ > 0说明向指定侧穿过曲面Σ 的流量多于向相反方向穿 过曲面Σ 的流量；Φ 0说明从曲面内 的流出量大于流入量，此时在Σ 内必有产生流体的源头（源）；Φ < 0 说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在Σ 内必有排泄流体的漏 洞（汇）
要判断场中一点M(x,y,z)是否为源或汇,以及源的“强弱”或汇 的“大小”,可以作一张包含M的封闭曲面∑(定向为外侧),考察∑ 所围区域收缩到M点时(记为F→M),=』vds的值。但因为 →M时有Φ→>0,所以考虑 v·dS lim lim V→Mm V→MmV (mV为v的体积)。由 Gauss公式,并利用积分中值定理, d=νdS v, dydz +v, dzdx+v. dxdy v dxdydz= m ax ay az ax a y az M 其中M为V上某一点
要判断场中一点 zyxM ),,( 是否为源或汇，以及源的“强弱”或汇 的“大小”，可以作一张包含 M 的封闭曲面Σ （定向为外侧），考察Σ 所围区域V收缩到 M 点时（记为V → M ）， d Σ Φ = ⋅ ∫∫ v S 的值。但因为 V → M 时有Φ →0，所以考虑 d lim lim M M m m Φ Σ → → ⋅ = ∫∫ V V v S V V （mV 为V 的体积）。由 Gauss 公式，并利用积分中值定理， d dd dd dd ddd xyz x x y y z z M v yz v zx v xy v v v v v v xyz m xyz xyz Σ Σ Φ = ⋅= + + ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ++ = ++ ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂∂∂ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ 。 V v S V 其中 ~M 为V 上某一点
于是 av ov. a (x,y),O",(x,y2 v(x,V,二 Im lim MmVM→M( Ox ay az a y az 因此,可以用 n,(x,y,=),O,(x,y,z) Ov (x, y, 3) av 来判别场中的点是源还是汇,以及源的“强弱”或汇的“大小
于是 (, ,) (, ,) (, ,) lim lim x x y y z z M M M M v v v v v v x y z x y z x y z m xyz x y z Φ → → ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ++ = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ V V 。 因此，可以用 z zyxv y zyxv x zyxvx y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ),,( ),,( ),,( 来判别场中的点是源还是汇，以及源的“强弱”或汇的“大小”
定义14.5.1设 a(x,y, z)=P(x,y, =)i+o(x,y,2j+R(x,y,z k Q 是一个向量场,P(x,y),Q(x,y,),R(x,y,)在Ω上具有连续偏导数。∑ 为场中的定向曲面,称曲面积分 a·dS 为向量场a沿指定侧通过曲面z通量。 设M为这个场中任一点。称 aP aR (M)+(M) y 为向量场a在M点的散度,记为diva(M)
定义 14.5.1 设 a i jk (, ,) (, ,) (, ,) (, ,) , (, ,) xyz Pxyz Qxyz Rxyz xyz =+ + ∈Ω 是一个向量场， zyxRzyxQzyxP ),,(),,,(),,,( 在Ω上具有连续偏导数。Σ 为场中的定向曲面，称曲面积分 d Σ Φ = ⋅ ∫∫ a S 为向量场a 沿指定侧通过曲面Σ的通量。 设 M 为这个场中任一点。称 M )()()( z R M y Q M x P ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 为向量场a 在 M 点的散度，记为 a M )(div