第十六章 Fourier级数 §1函数的 Fourier级数展开 人们最熟悉的简单函数无非两类:幂函数和三角函数。英国数学 家 Taylor在18世纪初找到了用幂函数的(无限)线性组合表示一般 函数f(x)的方法,即通过 Taylor展开将函数化成幂级数形式 f(x)=∑ (x-x0 l! 经过理论上的完善之后,它很快成为了微分学(乃至整个函数论) 的重要工具之
第十六章 Fourier 级数 人们最熟悉的简单函数无非两类：幂函数和三角函数。英国数学 家 Taylor 在 18 世纪初找到了用幂函数的（无限）线性组合表示一般 函数 f x( )的方法，即通过 Taylor 展开将函数化成幂级数形式 ∑ ∞ = = − 0 0 0 )( )( ! )( )( n n n xx n xf xf ， 经过理论上的完善之后，它很快成为了微分学（乃至整个函数论） 的重要工具之一。 §1 函数的Fourier级数展开
但是,函数的 Taylor展开在应用中有一定的局限性。首先在实际 问题中总是(也只能)使用 Taylor级数的部分和,即∫(x)的n次 Taylor 多项式 P(x)=/(n)+f(xx=<(x(x)2+…+m(x-x) (n (x 来近似地代替函数f(x),这时候它要求f(x)有至少n阶的导数,这是 条件比较苛刻的条件;同时,一般来说 Taylor多项式仅在点x附近 与f(x)吻合得较为理想,也就是说,它只有局部性质。为此有必要寻 找函数的新的级数展开方法
但是，函数的 Taylor 展开在应用中有一定的局限性。首先在实际 问题中总是（也只能）使用 Taylor 级数的部分和，即 f x( )的n次 Taylor 多项式 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxP )( ! )( )( !2 )( ))(()()( 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 ++− − ′′ += ′ +− " 来近似地代替函数 xf )( ，这时候它要求 f x( )有至少n阶的导数，这是 一条件比较苛刻的条件；同时，一般来说 Taylor 多项式仅在点x0 附近 与 f x( )吻合得较为理想，也就是说，它只有局部性质。为此有必要寻 找函数的新的级数展开方法
形如 +∑( a. cos nx+ b sin nx) 2 mI 的函数项级数称为三角级数,其中an,an和b(n=12,…)为常数。 19世纪初,法国数学家和工程师 Fourier在研究热传导问题时, 找到了在有限区间上用三角级数表示一般函数f(x)的方法,即把f(x) 展开成所谓的 Fourier级数
形如 a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin ) 的函数项级数称为三角级数，其中a0，an和bn（n = ,2,1 "）为常数。 19 世纪初，法国数学家和工程师 Fourier 在研究热传导问题时， 找到了在有限区间上用三角级数表示一般函数 f x( )的方法，即把 f x( ) 展开成所谓的 Fourier 级数
与 Taylor展开相比, Fourier展开对于f(x)的要求要宽容得多, 并且它的部分和在整个区间都与f(x)吻合得较为理想。因此, Fourier 级数是比 Taylor级数更有力适用性更广泛的工具,它在声学、光学 热力学、电学等研究领域极有价值,在微分方程求解方面更是起着基 本的作用。可以说, Fourier级数理论在整个现代分析学中占有核心 的地位
与 Taylor 展开相比，Fourier 展开对于 f x( )的要求要宽容得多， 并且它的部分和在整个区间都与 f x( )吻合得较为理想。因此，Fourier 级数是比 Taylor 级数更有力、适用性更广泛的工具，它在声学、光学、 热力学、电学等研究领域极有价值，在微分方程求解方面更是起着基 本的作用。可以说，Fourier 级数理论在整个现代分析学中占有核心 的地位
与 Taylor展开相比, Fourier展开对于f(x)的要求要宽容得多, 并且它的部分和在整个区间都与f(x)吻合得较为理想。因此, Fourier 级数是比 Taylor级数更有力适用性更广泛的工具,它在声学、光学 热力学、电学等研究领域极有价值,在微分方程求解方面更是起着基 本的作用。可以说, Fourier级数理论在整个现代分析学中占有核心 的地位。 以下介绍有关 Fourier级数的一些基本知识与内容: 如何将一个给定的函数f(x)展开为 Fourier级数(称为 Fourier 展开); > Fourier级数的收敛条件; Fourier级数的性质及某些相关问题
以下介绍有关 Fourier 级数的一些基本知识与内容： ¾ 如何将一个给定的函数 f x( )展开为 Fourier 级数（称为 Fourier 展开）； ¾ Fourier 级数的收敛条件； ¾ Fourier 级数的性质及某些相关问题。 与 Taylor 展开相比，Fourier 展开对于 f x( )的要求要宽容得多， 并且它的部分和在整个区间都与 f x( )吻合得较为理想。因此，Fourier 级数是比 Taylor 级数更有力、适用性更广泛的工具，它在声学、光学、 热力学、电学等研究领域极有价值，在微分方程求解方面更是起着基 本的作用。可以说，Fourier 级数理论在整个现代分析学中占有核心 的地位
周期为2π的函数的 Fourier展开 以下总是假设f(x)在[π上 Riemann可积或在反常积分意义下 绝对可积(为方便起见,以下都简称为“可积或绝对可积”),然后按 ∫(x)在[π,π)上的值周期延拓到(-∞+∞),换句话说,f(x)是定义在整 个实数范围上的以2π为周期的周期函数
周期为2π的函数的 Fourier 展开 以下总是假设 f x( )在[−π, π]上 Riemann 可积或在反常积分意义下 绝对可积（为方便起见，以下都简称为“可积或绝对可积”），然后按 xf )( 在[−π, π)上的值周期延拓到 −∞ + ∞),( ，换句话说，f x( )是定义在整 个实数范围上的以2π为周期的周期函数
Fourier展开的基础是三角函数的正交性。 在例7.3.17中证明了函数族 d, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . Sin nx, cos nx, . 是长度为2的区间上的正交函数列: cos mx cos nxdx = sin mxsin nxdx=πδnn,m,n∈N, cos mx· sin ndx=0 m=0,2,…,n∈N+, 1· cos mxdx=2π·δ m=0,1,2,…
Fourier 展开的基础是三角函数的正交性。 在例 7.3.17 中证明了函数族 " nxnxxxxx "},cos,sin,,2cos,2sin,cos,sin,1{ 是长度为2π的区间上的正交函数列： π π cos cos d mx nx x ∫− π π sin sin d mx nx x − = ∫ , π m n = ⋅δ ， + ,nm ∈ N , π π cos sin d 0 mx nx x − ⋅ = ∫ ， m = ,2,1,0 "， + n ∈ N , π π 1 cos d mx x − ⋅ = ∫ ,0 2π m ⋅δ ， m = ,2,1,0
先假定f(x)可以表示成如下形式的级数 ∑ (a. cos nx+b, sin nx), 也就是说假定等式右边的三角级数收敛于f(x),那么该如何来确定三 角级数中的系数an和b
先假定 ．． f x( )可以表示成如下形式的级数 f x( ) = a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )， 也就是说假定 ．． 等式右边的三角级数收敛于 xf )( ，那么该如何来确定三 角级数中的系数an和bn
先假定f(x)可以表示成如下形式的级数 ∑ (a. cos nx+b, sin nx), 也就是说假定等式右边的三角级数收敛于f(x),那么该如何来确定三 角级数中的系数an和b。 为了回答这一问题,将等式两边同乘以 cos mx(m=012…),然 后对等式两边在[-兀,x上积分,假定等式右边的三角级数可以逐项积 分,并利用上述三角函数的正交性, f(x)cos mdx 2 cos mdx+ an cos nx cos mxdx+ ∑bJ, sin nx cos mxdx aD0+∑ aas=an兀
为了回答这一问题，将等式两边同乘以cos mx （ m = ,2,1,0 "）， 然 后对等式两边在[− π, π]上积分，假定 ．． 等式右边的三角级数可以逐项 积 分，并利用上述三角函数的正交性， π π f ( )cos d x mx x − = ∫ π 0 π 1 ( cos sin ) cos d 2 n n n a a nx b nx mx x ∞ − = ⎡ ⎤ + +⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑ ππ π 0 ππ π 1 1 cos d cos cos d sin cos d 2 n n n n a mx x a nx mx x b nx mx x ∞ ∞ −− − = = =+ + ∫∫ ∫ ∑ ∑ 0 ,0 , 1 π π m nm n n a a δ δ ∞ = = + ∑ π m = a ， 先假定 ．． f x( )可以表示成如下形式的级数 f x( ) = a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )， 也就是说假定 ．． 等式右边的三角级数收敛于 xf )( ，那么该如何来确定三 角级数中的系数 a n 和 bn
于是就得到(将下标m改写为n) ∫f( rcos ndx,n=012 将等式两边同乘以 sin mx(m=1,2,)后在[-兀π上积分,同理可 得到 f(x)sin ndx 1,2, 上面两式称为 Euler-Fourier公式。 注意将三角级数的常数项写成而不是a,就是为了使系数an 2 (n=012…)有上述统一的表达式
于是就得到（将下标m改写为n） an = π π 1 ( )cos d π f x nx x ∫ − ， n = ,2,1,0 "。 将等式两边同乘以sin mx（m = ,2,1 …）后在[−π, π]上积分，同理可 得到 bn = π π 1 ( )sin d π f x nx x ∫ − ， n = ,2,1 "。 上面两式称为 Euler-Fourier 公式。 注意将三角级数的常数项写成 20 a 而不是 0 a ，就是为了使系数 n a （n = ,2,1,0 "）有上述统一的表达式