§2含参变量的反常积分 含参变量反常积分的一致收敛 含参变量的反常积分也有两种:无穷区间上的含参变量反常积分 和无界函数的含参变量反常积分。 设二元函数f(x,y)定义在a+∞)x,d上,若对某个y∈[cd,反 常积分∫(xy)dx收敛,则称含参变量反常积分厂f(xyh)x在y处 收敛,并称y为它的收敛点。记E为所有收敛点组成的点集,则E 就是函数 1(y)= f(x,y)da 的定义域,也称为厂f(x,ydx的收敛域
含参变量反常积分的一致收敛 含参变量的反常积分也有两种：无穷区间上的含参变量反常积 分 和无界函数的含参变量反常积分 。 设二元函数 yxf ),( 定义在 + ∞ × dca ],[),[ 上，若对某个 ],[ 0 ∈ dcy ，反 常积分 0 ( , )d a f x y x +∞ ∫ 收敛，则称含参变量反常积分 0 ( , )d a f x y x +∞ ∫ 在 0 y 处 收敛，并称 0 y 为它的收敛点。记 E 为所有收敛点组成的点集，则 E 就是函数 ( ) ( , )d a I y f x y x +∞ = ∫ 的定义域，也称为 ( , )d a f x y x +∞ ∫ 的收敛域 。 §2 含参变量的反常积分
为讨论I(y)的连续性、可微性和可积性,引进一致收敛的概念 定义15.2.1设二元函数f(x,y)定义在[a,+∞)×[c,上,且对任意 的y∈[c,d],反常积分 ∞ x y)dx 存在。如果对于任意给定的的E>0,存在与y无关的正数A,使得当 A>A4时,对于所有的y∈[c,4],成立 (y)<E, f(x, y)dx]<a, A 则称厂(xy)dx关于y在上一致收敛(于10y)在参变量明确时, 也常简称「。f(x,yd在cd上一致收敛 对∫f(xy与/(x,y可同样定义关于y的一致收敛概念
为讨论 yI )( 的连续性、可微性和可积性，引进一致收敛的概念。 定义 15.2.1 设二元函数 yxf ),( 定义在 +∞ × dca ],[),[ 上，且对任意 的 ∈ dcy ],[ ，反常积分 ( ) ( , )d a I y f x y x +∞ = ∫ 存在。如果对于任意给定的的ε > 0，存在与 y 无关的正数 A0，使得当 > AA 0时，对于所有的 ∈ dcy ],[ ，成立 ( , )d ( ) A a f xy x Iy − < ε ∫ ， 即 ( , )d A f xy x ε +∞ < ∫ ， 则称 ( , )d a f x y x +∞ ∫ 关于 y 在 dc ],[ 上一致收敛（于 yI )( ）。在参变量明确时， 也常简称 ( , )d a f x y x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛。 对 ( , )d a f x y x ∫−∞ 与 f ( , )d x y x +∞ ∫−∞ 可同样定义关于 y 的一致收敛概念
例152.1含参变量a的反常积分。e“d关于a在[ao,+∞)上 致收敛(a0>0),但在(0,+∞)上不一致收敛。 解先说明∫ce"dr在[an,+)上一致收敛。由于当a≥a时, 令ax=t 0≤ead dt 而 lim 4→+o 所以对于任意给定的E>0,存在正数4,使得当A>A4时,l <Eo 这时成立 dx<e <8 A 这说明∫。e"dx在an,+)上一致收敛
例 15.2.1 含参变量α 的反常积分 0 e dx x α +∞ − ∫ 关于α 在 ),[α 0 + ∞ 上一 致收敛（α 0 > 0），但在 + ∞),0( 上不一致收敛。 解 先说明 0 e dx x α +∞ − ∫ 在 ),[α 0 + ∞ 上一致收敛。由于当α ≥ α 0时， 0 0 1 11 0 e d ed e e x t x tA A A A x t α α α α α αα α = +∞ +∞ − −− − ≤ = =≤ ∫ ∫ 令 ， 而 0e 1 lim 0 0 = − +∞→ A A α α ， 所以对于任意给定的ε > 0，存在正数 A0，使得当 > AA 0时， 0 0 1 e α A ε α − < 。 这时成立 e dx A x α +∞ − < ∫ 0 0 1 e α A ε α − < ， 这说明 0 e dx x α +∞ − ∫ 在 ),[α 0 + ∞ 上一致收敛
再说明∫。ce"dr在(0+∞)上不一致收敛。对于任意取定的正数 A,由于 而me=+0,所以必存在某个a(4)∈(0+0),使得∫cadr>l 因此∫edx在(+)上不一致收敛
再说明 0 e dx x α +∞ − ∫ 在 + ∞),0( 上不一致收敛。对于任意取定的正数 A，由于 1 ed e x A A x α α α +∞ − − = ∫ ， 而 +∞= − +→ αA α α e 1 lim 0 ，所以必存在某个α A +∞∈ ),0()( ，使得 ( ) e d1 A x A x α +∞ − > ∫ 。 因此 0 e dx x α +∞ − ∫ 在 + ∞),0( 上不一致收敛
对于无界函数的含参变量反常积分,同样也有一致收敛的概念: 定义15.2.1设二元函数f(x,y)定义在[a,b)x,d4]上,且对任意的 y∈[e,d],以b为奇点的反常积分 1(y)=f(x, y)d 存在。如果对于任意E>0,存在与y无关的δ>0,使得当0<n<δ时, 对所有y∈[e,d成立 f(, y)dx-1()<8 即 f(, y)dx <a 则称∫(x,y关于y在上一致收敛(于(y)在参变量明确时, 也常简称!(xyx在c上一致收敛
对于无界函数的含参变量反常积分，同样也有一致收敛的概念： 定义 15.2.1'设二元函数 yxf ),( 定义在 × dcba ],[),[ 上，且对任意的 ∈ dcy ],[ ，以 b为奇点的反常积分 ( ) ( , )d b a I y f = x y x ∫ 存在。如果对于任意 ε > 0，存在与 y 无关的 δ > 0，使得当 0 < η < δ 时， 对所有 ∈ dcy ],[ 成立 ( , )d ( ) b a f xy x Iy η ε − − < ∫ , 即 ( , )d b b f xy x η ε − < ∫ ， 则称 ( , )d b a f x y x ∫ 关于 y 在 dc ],[ 上一致收敛 （ 于 yI )( ）。在参变量明确时， 也常简称 ( , )d b a f x y x ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛
致收敛的判别法 下面仅以「f(x,y)dx为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况,结果是类似的。 定理1521( Cauchy收敛原理)含参变量反常积分f(xy)dx 在[c,上一致收敛的充分必要条件为:对于任意给定的E>0,存在与 y无关的正数A,使得对于任意的A,A>A,成立 f(x,y)dx<E,y∈[e,d
一致收敛的判别法 下面仅以 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况，结果是类似的。 定理 15.2.1（Cauchy 收敛原理） 含参变量反常积分 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛的充分必要条件为：对于任意给定的ε > 0，存在与 y 无关的正数 A0，使得对于任意的 0 ′, > AAA ，成立 ( , )d A A f xy x ε ′ < ∫ ， ∈ dcy ],[
致收敛的判别法 下面仅以「f(x,y)dx为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况,结果是类似的。 定理1521( Cauchy收敛原理)含参变量反常积分f(xy)dx 在[c,上一致收敛的充分必要条件为:对于任意给定的E>0,存在与 y无关的正数A,使得对于任意的A,A>A,成立 1(x,y)d0,使得对于任意大的正数A,总存在 A,A>A及y∈[cd],使得 f(x,y4)dx2≥6 那么含参变量反常积分。(x灿x在4上非一致收敛
由 Cauchy 收敛原理立即得知： 推论 15.2.1 若存在 0 ε 0 > ，使得对于任意大的正数 A0，总存在 0 ′ , > AAA 及 ],[ 0 dcy A ∈ ，使得 0 0 ( , )d A A A f xy x ε ′ ≥ ∫ ， 那么含参变量反常积分 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上非一致收敛。 一致收敛的判别法 下面仅以 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况，结果是类似的。 定理 15.2.1（Cauchy 收敛原理） 含参变量反常积分 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛的充分必要条件为：对于任意给定的ε > 0，存在与 y 无关的正数 A0，使得对于任意的 0 ′, > AAA ，成立 ( , )d A A f xy x ε ′ < ∫ ， ∈ dcy ],[
定理15.2.2( Weierstrass判别法)如果存在函数F(x)使得 (1)|f(x,y)F(x),a≤x<+o,c≤y≤d, (2)反常积分F(x)dr收敛。 那么含参变量的反常积分f(xy在上一致收敛
定理 15.2.2（Weierstrass 判别法） 如果存在函数 xF )( 使得 （1） ≤ ),(|),(| ≤ < +∞, ≤ ≤ dycxaxFyxf ， （2）反常积分 ( )d a F x x +∞ ∫ 收敛。 那么含参变量的反常积分 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛
定理15.2.2( Weierstrass判别法)如果存在函数F(x)使得 f(x,y)F(x),a≤ ≤y≤ (2)反常积分F(x)dr收敛。 那么含参变量的反常积分f(xy在上一致收敛。 证因为∫F(xd收敛,由反常积分的 Cauchy收敛原理,对于任 意给定的E>0,存在正数A4,使得对于任意的A,A>A,成立 x)ax A4时,对于任意y∈e,d],不等式 A f(x, y) dxs F(x)dx< 成立,由定理1521,「F(xx在上一致收敛
证 因为 ( )d a F x x +∞ ∫ 收敛，由反常积分的 Cauchy 收敛原理，对于任 意给定的ε > 0，存在正数 A0，使得对于任意的 0 ′, > AAA ，成立 ( )d A A Fx x ε ′ AAA 时，对于任意 ∈ dcy ],[ ，不等式 ( , )d ( )d A A A A f xy x Fx x ε ′ ′ ≤ < ∫ ∫ 成立，由定理 15.2.1， ( )d a F x x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛。 定理 15.2.2（Weierstrass 判别法） 如果存在函数 xF )( 使得 （1） ≤ ),(|),(| ≤ < +∞, ≤ ≤ dycxaxFyxf ， （2）反常积分 ( )d a F x x +∞ ∫ 收敛。 那么含参变量的反常积分 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛
-ax 例1522证明∫ dx关于a在0+o)上一致收敛 解由于 -aOX e 0<x<+00、0≤a<+ 而 +∞e x在[0,+∞)上 01+x dx=收敛,由 Weierstra别法, 01+X 致收敛
例 15.2.2 证明 2 0 e d 1 x x x − α +∞ + ∫ 关于 α 在 + ∞),0[ 上一致收敛。 解 由于 +∞<≤+∞<≤ + ≤ + < − α α 0,0, 1 1 1 e 0 2 2 x xx x ， 而 2 0 1 π d 1 2 x x +∞ = + ∫ 收敛，由 Weierstrass 判别法， 2 0 e d 1 x x x − α +∞ + ∫ 在 + ∞),0[ 上 一 致收敛