§3连续函数的性质 紧集上的连续映射 为了将一元连续函数在闭区间上的重要性质推广到多元连续函 数,为此先定义多元函数在点集的边界点连续的概念。 定义11.3.1设点集KcR",∫:K→R为映射(向量值函数), x∈K。如果对于任意给定的s>0,存在δ>0,使得当x∈O(xn,D)∩K 时,成立 ∫(x)-f(x)<6(即f(x)∈Of(x),E), 则称∫在点x连续。 如果映射∫在K上每一点连续,就称∫在K上连续,或称映射 f为K上的连续映射
紧集上的连续映射 为了将一元连续函数在闭区间上的重要性质推广到多元连续函 数，为此先定义多元函数在点集的边界点连续的概念。 定义 11.3.1 设点集 K ⊂ n R ，f : K→ m R 为映射（向量值函数）， x K 0 ∈ 。如果对于任意给定的ε > 0，存在δ > 0，使得当 0 xx K ∈O( ,) δ ∩ 时，成立 )()( <− ε 0 xfxf （即 )),(()( 0 ∈O xfxf ε ）， 则称 f 在点 0 x 连续。 如果映射 f 在 K 上每一点连续，就称 f 在 K 上连续，或称映射 f 为 K 上的连续映射。 §3 连续函数的性质
也就是说,当x是K的内点时,这就是原来的定义;当x是K 的边界点时,只要求∫在xn的δ邻域中属于K的那些点上满足不等 式 f(x)-f(ro<e 请读者与一元函数的单侧连续定义相比较
也就是说，当 x0是 K 的内点时，这就是原来的定义；当 x0是 K 的边界点时，只要求 f 在 x0的δ 邻域中属于 K 的那些点上满足不等 式 )()( <− ε xfxf 0 。 请读者与一元函数的单侧连续定义相比较
也就是说,当x是K的内点时,这就是原来的定义;当x是K 的边界点时,只要求∫在xn的δ邻域中属于K的那些点上满足不等 式 f(x)-f(ro<e 请读者与一元函数的单侧连续定义相比较。 闭区间实质上是一维空间中的有界闭集,在讨论高维空间上连 续函数的性质时,应该要求∫的定义域是高维空间中的有界闭集, 即紧集
闭区间实质上是一维空间中的有界闭集，在讨论高维空间上连 续函数的性质时，应该要求 f 的定义域是高维空间中的有界闭集， 即紧集。 也就是说，当 x0是 K 的内点时，这就是原来的定义；当 x0是 K 的边界点时，只要求 f 在 x0的 δ 邻域中属于 K 的那些点上满足不 等 式 )()( <− ε xfxf 0 。 请读者与一元函数的单侧连续定义相比较
定理11.3.1连续映射将紧集映射成紧集。 证设K是R"中紧集,f:K→R"为连续映射。要证明K的像集 f(K)={y∈R"|y=∫(x)x∈K} 是紧集,根据定理11110,只要证明中的任意一个无限点集必有聚 点属于∫(K)就可以了。因为每一个无限点集都有可列无限点集,即 点列的子集,所以只要证明∫(K)的任意一个点列必有聚点属于f(K) 即可
定理 11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集。 证 设 K 是 n R 中紧集， : → m f K R 为连续映射。要证明 K 的像集 ( ) { | ( ), } m fK y y fx x K =∈ = ∈ R 是紧集，根据定理 11.1.10，只要证明中的任意一个无限点集必有聚 点属于 f K( )就可以了。 因为每一个无限点集都有可列无限点集，即 点列的子集，所以只要证明 f ( ) K 的任意一个点列必有聚点属于 f ( ) K 即可
定理11.3.1连续映射将紧集映射成紧集。 证设K是R"中紧集,f:K→R为连续映射。要证明K的像集 f(K)={y∈R"|y=∫(x)x∈K} 是紧集,根据定理11.10,只要证明中的任意一个无限点集必有聚 点属于∫(K)就可以了。因为每一个无限点集都有可列无限点集,即 点列的子集,所以只要证明f(K)的任意一个点列必有聚点属于f(K) 设{yk}为f(K)的任意一个点列。对于每个yk,任取一个满足f(x) yk的xk∈K(k=12,…),则{xk}为紧集K中的点列,它必有聚点属 于K,即存在{xk}的子列{x}满足 limx=a∈K 由∫在a点的连续性得 lim yk, =lim f(xk)=f(a), →∞ →∞ 即f(a)是{yk}的一个聚点,它显然属于f(K)。因此,f(K)是紧集
设{yk}为 f K( )的任意一个点列。对于每个 yk，任取一个满足 f (xk) = yk的 xk∈ K （k = ,2,1 "），则{xk}为紧集 K 中的点列，它必有聚点属 于 K，即存在{xk}的子列 }{ l k x 满足 = ∈ ∞→ ax l k llim K 。 由 f 在 a 点的连续性得 lim = = afxfy )()(lim ∞→ l ∞→ l k l k l ， 即 af )( 是{yk}的一个聚点，它显然属于 f ( ) K 。因此， f ( ) K 是紧集。 定理 11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集。 证 设 K 是 n R 中紧集， : → m f K R 为连续映射。要证明 K 的像集 ( ) { | ( ), } m fK y y fx x K =∈ = ∈ R 是紧集，根据定理 11.1.10，只要证明中的任意一个无限点集必有聚 点属于 f K( )就可以了。 因为每一个无限点集都有可列无限点集，即 点列的子集，所以只要证明 f ( ) K 的任意一个点列必有聚点属于 f ( ) K 即可
设f(x)是R中紧集K上的连续函数,那么f(K)是R中的紧集, 因此是有界闭集,并且集合∫(K)有最大值和最小值。于是就可得到 以下结论 定理11.3.2(有界性定理)设K是R"中紧集,f是K上的连 续函数。则∫在K上有界
设 f (x) 是 n R 中紧集 K 上的连续函数，那么 f ( ) K 是R 中的紧集， 因此是有界闭集，并且集合 f ( ) K 有最大值和最小值。于是就可得到 以下结论： 定理 11.3.2（有界性定理） 设 K 是 n R 中紧集, f 是 K 上的连 续函数。则 f 在 K 上有界
设f(x)是R中紧集K上的连续函数,那么f(K)是R中的紧集, 因此是有界闭集,并且集合∫(K)有最大值和最小值。于是就可得到 以下结论 定理11.3.2(有界性定理)设K是R中紧集,∫是K上的连 续函数。则∫在K上有界。 定理11.3.3(最值定理)设K是R"中紧集,f∫是K上的连续 函数。则∫在K上必能取到最大值和最小值,即存在51,52∈K, 使得对于一切x∈K成立 f(5)≤f(x)≤f(5)
定理 11.3.3（最值定理） 设 K 是 n R 中紧集, f 是 K 上的连续 函数。则 f 在 K 上必能取到最大值和最小值，即存在 ξ1，ξ2 ∈ K， 使得对于一切 x ∈ K 成立 f ( ξ1) ≤ f (x) ≤ f ( ξ2) 。 设 f (x) 是 n R 中紧集 K 上的连续函数，那么 f ( ) K 是 R 中的紧集， 因此是有界闭集，并且集合 f ( ) K 有最大值和最小值。于是就可得到 以下结论： 定理 11.3.2（有界性定理） 设 K 是 n R 中紧集, f 是 K 上的连 续函数 。 则 f 在 K 上有界
定义113.2设K是R”中点集,∫:K→R"为映射。如果对于任 意给定的ε>0,存在δ>0,使得 f(x)-f(x)<6 对于K中所有满足|x-x"kδ的x,x"成立,则称∫在K上一致连续。 致连续的映射一定是连续的,但反之不然(参见本节习题3)
定义 11.3.2 设 K 是 n R 中点集，f : K→ m R 为映射。如果对于任 意给定的ε > 0，存在δ > 0，使得 ′ − xfxf ′′)()( < ε 对于 K 中所有满足| | x' x − ′′ < δ 的 ′, xx ′′成立，则称 f 在 K 上一致连续。 一致连续的映射一定是连续的，但反之不然（参见本节习题 3）
定理113.4(一致连续性定理)设K是R”中紧集,∫:K→R"为 连续映射。则∫在K上一致连续。 证对于任意给定的E>0,由于∫在K上连续,因此对于任意的 a∈K,存在δ>0,使得当x∈O(a,6。)∩K时, f∫(x)-f(an)卜 8-2 显然开集族{Oa,,a∈k}是K的一个开覆盖。由于K是紧集, 因此存在其中有限个开集Oa o a 覆盖了 K
定理 11.3.4（一致连续性定理） 设 K 是 n R 中紧集，f : K → m R 为 连续映射 。 则 f 在 K 上一致连续 。 证 对于任意给定的 ε > 0，由于 f 在 K 上连续，因此对于任意的 a ∈ K，存在 δ a > 0 ，使得当 ∈ O ax δ a ),( ∩ K 时， | ( ) ( )| 2 ε fx fa − < 。 显然开集族 , , 2 a O ⎧ ⎛ ⎞ δ ⎫ ⎨ ⎜ ⎟ ∈ ⎬ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ a aK 是 K 的一个开覆盖。由于 K 是紧集， 因此存在其中有限个开集 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 , 1 1 a O δ a ， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 , 2 2 a O δ a ，…， , 2 p a O p ⎛ ⎞ δ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a 覆盖了 K
记。=mim6n},那么对于K中满足|x2-x"kδ的任意x和x,不 21≤/sp 妨设xc02/(1≤r≤),则有 x"-a1|≤|x"-x|+|x'-a1|<oa+n=0a, 于是成立f(x")-f(a,)k5。因此 f(x)-f(x"≤f(x")-∫(a)+|f(x)-f(a,) 由定义,∫在K上一致连续
记 }{min 21 1 a j pj δ δ ≤≤ = ，那么对于 K 中满足 ′ − xx ′′ || < δ 的任意 x′和 x′′，不 妨设 x′ ∈ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ 2 , t a O t δ a (1≤t≤p)，则有 t t t t t a =+<− δδδ aa ′′ ≤− ′′ − ′ + ′ 21 21 | ax||xx||ax | ， 于是成立 2 |)()(| ε ′′ afxf t <− 。因此 ′ − xfxf ′′)()( ≤ |)()(| − afxf t ′′ + |)()(| − afxf t ′ ε ε ε =+< 22 。 由定义， f 在 K 上一致连续