第十二章多元函数的微分学 §1偏导数与全微分 偏导数 定义12.1.1设D∈R2为开集, z=f(x,y)2(x,y)∈D 是定义在D上的二元函数,(x0,y)∈D为一定点。如果存在极限 lim /(xo+ Ax, yo)-1(xo Jo) 那么就称函数∫在点(x0,y)关于x可偏导,并称此极限为∫在点 (x,y)关于x的偏导数,记为 az ax(2,))。 (xn,y)(或∫(x0,y0),9(
偏导数 定义 12.1.1 设 D⊂ 2 R 为开集， z f xy xy = ( , ), ( , )∈ D 是定义在 D 上的二元函数， ),( 00 yx ∈D 为一定点。如果存在极限 x yxfyxxf x Δ −Δ+ →Δ ),(),( lim 0 0 00 0 ， 那么就称函数 f 在点 ),( 00 yx 关于 x 可偏导，并称此极限为 f 在点 ),( 00 yx 关于x的偏导数，记为 ),( 00 yx x z ∂ ∂ （或 ),( 00 yxf x ， ),( 00 yx x f ∂ ∂ ）。 第十二章 多元函数的微分学 §1 偏导数与全微分
如果函数f在D中每一点都关于x可偏导,则D中每一点(x,y)与 其相应的∫关于x的偏导数f(x,y)构成了一种对应关系即二元函数关 系,它称为f关于x的偏导函数(也称为偏导数),记为 (或∫(x,y), 类似地可定义∫在点(x,x)关于y的偏导数≤(xny)(或 f,(x,yb(x,)及关于y的偏导函数(或/(xy,可)。 若∫在点(x,y)关于x和y均可偏导,就简称∫在点(x0,υ)可偏 导
如果函数 f 在 D 中每一点都关于x可偏导，则 D 中每一点 yx ),( 与 其相应的 f 关于x的偏导数 yxf ),( x 构成了一种对应关系即二元函数关 系，它称为 f 关于 x的偏导函数（也称为偏导数），记为 x z ∂ ∂ （或 yxf ),( x ， x f ∂ ∂ ）。 类似地可定义 f 在 点 ),( 00 yx 关 于 y 的偏导数 ),( 00 yx y z ∂ ∂ （ 或 ),( 00 yxf y ， ),( 00 yx yf ∂∂ ）及关于 y 的偏导函数 yz∂∂ （或 yxf ),( y ， yf ∂∂ ）。 若 f 在点 ),( 00 yx 关于 x 和 y 均可偏导，就简称 f 在点 ),( 00 yx 可偏 导
现在来看偏导数的几何意义。考虑函数 f(x,y),(x,y)∈D, 它的图像是一张曲面。平面y=y0与这张曲面的交线l(见图121.1) 方程为 yo =f(x,y0) yo 图121.1
现在来看偏导数的几何意义。考虑函数 z f xy xy = ( , ), ( , ) ∈ D， 它的图像是一张曲面。平面 0 = yy 与这张曲面的交线 l （见图 12.1.1 ） 方程为 l : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ).,( , , 0 0 yxfz yy xx X Y Z 0 x z f xy = (, ) T O y 0 图12.1.1
利用曲线的切向量的方向余弦表示式,该曲线在点(x02y)处的切向量 T的方向余弦满足 COS(T,x): cos(T, y): cos(T, 2)=1: 0: f(o, yo) 也就是说,f(x0,y)是平面y=y上的曲线l在点(xny)处的切线关 于x轴的斜率。这是一元情况的直接推广。 yo 图121.1
利用曲线的切向量的方向余弦表示式，该曲线在点 ),( 00 yx 处的切向 量 T 的方向余弦满足 0 0 cos( , ) : cos( , ) : cos( , ) 1: 0 : ( , ) x TTT x y z fxy = ， 也就是说， ),( 00 yxf x 是平面 0 = yy 上的曲线 l 在点 ),( 00 yx 处的切线关 于 x 轴的斜率。这是一元情况的直接推广。 X Y Z 0 x z f xy = (, ) T O y 0 图12.1.1
从偏导数的定义可以看出,对某个变量求偏导数,只要在求导时 将其他变量看成常数就可以了,这种思想可以推广到一般的n元函数 上去:设x9=(x,x2…,x2)为开集DcR中一定点。定义n元函数 l=f(x1,x2…,xn),(x,x2,…x)∈D 在x0点关于x,(i=12,…n)的偏导数为 ax f(x1,…x12x+△x12x1,…,xn)-f 00 Im Ax.→0 (如果等式右面的极限存在的话)。 如果函数∫在开集(或区域)D上每一点关于每个x都可偏导 (i=12,…,n),则称f在D上可偏导
从偏导数的定义可以看出，对某个变量求偏导数，只要在求导 时 将其他变量看成常数就可以了，这种思想可以推广到一般的 n元函 数 上去：设 ),,,( 0 0 2 0 1 0 n x = " xxx 为开集 n D ⊂ R 中一定点。定义 n元函数 ),,,( 21 n = " xxxfu ， 1 2 (, , , ) n xx x " ∈ D 在 0 x 点关于 i x （ = ",,2,1 ni ）的偏导数为 )( 0 x i x f ∂ ∂ = ),,,( 0 0 2 0 1 n i xxx x f " ∂ ∂ = i iiii n n x x xxxfxxxxxxf i Δ − Δ+ + − →Δ ),,,(),,,,,,( lim 0 0 2 0 1 0 0 1 00 1 0 1 0 " " " （如果等式右面的极限存在的话） 。 如果函数 f 在开集（或区域） D 上每一点关于每个 i x 都可偏导 （ = ",,2,1 ni ），则称 f 在 D 上可偏导
例121.1设f(xy)=x2+2xy+y,求f(xy),f(x,y),f(0)和 f(0,1) 解把y看成常数,对x求导便得 f(x,y)=4x'+4xy 于是f,(01)=0。 把x看成常数,对y求导便得 f,(x,y)=2x2+4y 于是f,(01)=4
例 12.1.1 设 424 2),( ++= yyxxyxf ，求 yxf ),( x ， yxf ),( y ， )1,0( x f 和 )1,0( y f 。 解 把 y 看成常数，对x求导便得 xyxyxf x 44),( 3 += 。 于是 = 0)1,0(x f 。 把 x看成常数，对 y 求导便得 32 42),( yxyxf y += 。 于是 = 4)1,0( y f
例121.2求函数n=ln(x+y2+3)的偏导数。 解 Ox x+y4+2 2 oy x+y+2 z x+y-+
例 12.1.2 求函数 ln( )32 ++= zyxu 的偏导数。 解 32 1 x zyx u ++ = ∂ ∂ ， 32 2 zyx y y u ++ = ∂ ∂ ， 32 2 3 zyx z z u ++ = ∂ ∂
例121.2求函数n=ln(x+y2+3)的偏导数。 解 Ox x+y4+2 2 oy x+y+2 z x+y-+ 例12.1.3设z=x”(x>0,x≠1),证明它满足方程 az 1 az =2z y x nx o 证由于2=yx2,c=xlmx,因此 az 1 az x xNx= 2x y x oy y nx
例 12.1.3 设 xxxz ≠>= )1,0( y ，证明它满足方程 z y z xx z y x 2 ln 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 由于 xx y z yx x z y y ln, 1 = ∂∂ = ∂∂ − ，因此 zxxx x yx y x y z xx z y x y y y 22ln ln 1 ln 1 1 ==⋅+⋅= ∂ ∂ + ∂ ∂ − 。 例 12.1.2 求函数 ln( )32 ++= zyxu 的偏导数。 解 32 1 x zyx u ++ = ∂ ∂ ， 32 2 zyx y y u ++ = ∂ ∂ ， 32 2 3 zyx z z u ++ = ∂ ∂
“可导必定连续”是一元函数中的一条熟知的性质,但对多元函 数来讲,类似性质并不成立,即可偏导未必连续。 例12.1.4设 xy (x,y)≠(0,0), x ty 0,(x,y)=(0,0) 计算f(0,0),f,(0,0)。 解由定义得到 Ax.0 0 f2(0,0)=lim f(0+△x,0)-f(00) 0 m =m 0 Ax→)0 Ax→>0 △x x→>0△ 同理∫,(0.0)=0。这说明了f(x,y)在(0,0)点可偏导。 但我们已经知道,f(x,y)在(0,0)点不连续
“可导必定连续”是一元函数中的一条熟知的性质，但对多元函 数来讲，类似性质并不成立，即可偏导未必连续。 例 12.1.4 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = + ).0,0(),(,0 ),0,0(),(, ),( 22 yx yx yx xy yxf 计算 )0,0(),0,0( x y ff 。 解 由定义得到 0 0 lim 0 0 0 lim )0,0()0,0( lim)0,0( 0 22 0 0 = Δ = Δ − +Δ Δ ⋅ = Δ −Δ+ = →Δ →Δ x →Δ x x x x fxf f x x x x 。 同理 = 0)0,0( y f 。这说明了 yxf ),( 在 )0,0( 点可偏导。 但我们已经知道， yxf ),( 在 )0,0( 点不连续
方向导数 偏导数反映的是二元函数沿x轴方向或y轴方向的变化率。而在 平面R2上,当然也可以讨论函数沿任一射线方向的变化率。 R2中的单位向量v总可以表示为v=(cosa,sina),这里a为ν与x轴 正向的夹角,因此v代表了一个方向,cosa,sina(=cosB)就是v的方向 余弦(其中B为v与y轴正向的夹角)。设P(x0,y)∈R2,则以P为起 点,方向为v的射线(图121.2)的参数方程为 x=op +ty=(xo +t a, yo +tsin a), t20 v=(cos a, sin a) Po(o, yo) x 图1212
方向导数 偏导数反映的是二元函数沿 x轴方向或 y 轴方向的变化率。而在 平面 2 R 上，当然也可以讨论函数沿任一射线方向的变化率。 2 R 中的单位向量v 总可以表示为v = α α)sin,(cos ，这里α 为v 与 x轴 正向的夹角，因此v 代表了一个方向， α α = β )cos(sin,cos 就是v 的方向 余弦（其中β 为v 与 y 轴正向的夹角）。设 P yx 000 ),( ∈ 2 R ，则以 P0 为起 点，方向为v 的射线（图 12.1.2）的参数方程为 0 tvOPx =+= )sin,cos( 0 + α 0 + tytx α ， t ≥ 0。 y v = α α)sin,(cos α O x 图 12.1.2 0 0 0 P ( ) x y