§5偏导数在几何中的应用 空间曲线的切线和法平面 条空间曲线可以看成一个质点在空间运动的轨迹。取定一个直 角坐标系,设质点在时刻t位于点P(x(),y(,()处,即它在任一时刻 的坐标可用 x=x(t y=y(),a≤t≤b z=2t 来表示,随着t的连续变动,相应点(x,y,)的轨迹就是空间中的一条 曲线。 这种表达式称为空间曲线的参数方程,它也可以写成向量的形式 r()=x(1)i+y(1)j+2(1)k,a≤t≤b
空间曲线的切线和法平面 一条空间曲线可以看成一个质点在空间运动的轨迹。取定一个直 角坐标系，设质点在时刻 t位于点 tztytxP ))(),(),(( 处，即它在任一时刻 的坐标可用 bta tzz tyy txx ≤≤ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ),( ),( ),( 来表示，随着 t的连续变动，相应点 zyx ),,( 的轨迹就是空间中的一条 曲线。 这种表达式称为空间曲线的参数方程，它也可以写成向量的形式 = + + kjir ,)()()()( ≤≤ btatztytxt 。 §5 偏导数在几何中的应用
定义12.5.1若r()=x()+y()j+=(1)k在[ab上连续,并且 r()≠0,t∈[a,b],则称 r()=x(ti+y(t)j+x()k,a≤t≤b 所确定的空间曲线为光滑曲线。 光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动
定义 12.5.1 若 ′ = ′ + ′ + ′ tztytxt )()()()( kjir 在 ba ],[ 上连续，并且 r′ ≠ 0 ∈ batt ],[,)( ，则称 = + + kjir ,)()()()( ≤ ≤ btatztytxt 所确定的空间曲线为光滑曲线。 光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动
现在讨论光滑曲线厂上一点P(x(t0),y(n),z(10)处的切线。空间曲 线的切线的定义与平面的情况相同,即为割线的极限位置。 记x=x(1),y=y(t0)0=z(t)。取r上另一点P(x(,yV(),(1),则 过P和P的割线方程为 y-=yo x()-x(0)y(1)-y(t0)(1)-(t0) 将其改写为 y-yo x()-x(0)y()-y(t0)()-2(t0 再令t→>1,就得到曲线厂在P点的切线方程 x-o y-yo x'(to) y(to) 2(t
现在讨论光滑曲线Γ 上一点 ))(),(),(( 0000 tztytxP 处的切线。空间曲 线的切线的定义与平面的情况相同，即为割线的极限位置。 记 )(),(),( 0 00 00 0 = = = tzztyytxx 。取Γ 上另一点 ))(),(),((1 tztytxP ，则 过P0 和P1的割线方程为 )()()()()()( 0 0 0 0 0 0 tztz zz tyty yy txtx xx − − = − − = − − 。 将其改写为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )()()()()()( tt tztz zz tt tyty yy tt txtx xx − − − = − − − = − − − ， 再令 0 → tt ，就得到曲线Γ 在P0点的切线方程 )()()( 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy tx xx ′ − = ′ − = ′ −
注当x(t)≠0,y(n)≠0,=()=0时,这个公式应理解为 y-yo 2=2 当x()≠0,y()=0,x(xn)=0时,这个公式应理解为 y=yo 向量r(n)=(x(a),y(n),=(4)就是曲线r在P点的切线的一个方 向向量,也称为r在P点的切向量
注 当 0)(,0)(,0)(′ 0 ≠ ′ 0 ≠ ′ tztytx 0 = 时，这个公式应理解为 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = ′ − = ′ − . , )()( 0 0 0 0 0 zz ty yy tx xx 当 0 00 xt yt zt ′′′ ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 ≠ = = 时，这个公式应理解为 0 0 , . y y z z ⎧ = ⎨⎩ = 向量 ))(),(),(()( 0 0 00 r′ = ′ ′ ′ tztytxt 就是曲线Γ 在 P0 点的切线的一个方 向向量，也称为Γ 在P0点的切向量
过P点且与切线垂直的平面称为曲线r在P点的法平面。显然, 该法平面的一个法向量就是r在P点的切向量,因此曲线厂在P点的 法平面方程可写成 x'(t0(x-x)+y(o0)(y-y)+z(t0)(-20)=0, 或写成等价的向量形式 r'(t0)·(x-x)=0
过P0点且与切线垂直的平面称为曲线Γ 在P0点的法平面。显然， 该法平面的一个法向量就是Γ 在P0点的切向量，因此曲线Γ 在P0 点的 法平面方程可写成 0))(())(())((′ 0 − 0 + ′ 0 − 0 + ′ 0 − zztzyytyxxtx 0 = ， 或写成等价的向量形式 0)()(′ t0 ⋅ − xxr 0 =
如果曲线的方程为 y=f(x),==g(x) 把它看成以x为参数的参数方程 x三x g(x), 即得到它在P(x0,f(xg{(x)点的切线方程为 2-g(x0) f(x0) 法平面方程为 (x-x0)+f(x0)(y-f(x0)+g(x)(z-g(x0)=0
如果曲线的方程为 = = xgzxfy )(),( ， 把它看成以x为参数的参数方程 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = = ),( ),( , xgz xfy xx 即得到它在 ))(),(,( 000 0 xgxfxP 点的切线方程为 )( )( )( )( 1 0 0 0 0 0 xg xgz xf xfyxx ′ − = ′ − = − ； 法平面方程为 0))()(())()(()( − 0 + ′ 0 − 0 + ′ 0 − xgzxgxfyxfxx 0 =
空间曲线还可以表示为空间中两张曲面的交。设曲线的方程为 F(x,y,z)=0 IG(x,y, =) P(x0,y0,=0)为F上一点,且 Jacobi矩阵 FFF GGG 在P点是满秩的,即 rank j=2。求曲线厂在P点的切线与法平面方程
空间曲线还可以表示为空间中两张曲面的交。设曲线 Γ 的方程为 ⎩ ⎨ ⎧ = = .0),,( ,0),,( zyxG zyxF ),,( 0000 zyxP 为 Γ 上一点，且 Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = zyx zyx GGG FFF J 在 P0 点是满秩的， 即rank 2 J = 。求曲线 Γ 在 P0 点的切线与法平面方程
由于矩阵J在P点满秩,不失一般性,假设在P点成立 a(F,G)Fy F: ≠0 a(, 由隐函数存在定理,在P点附近唯一确定了满足y=f(x),=0=g(x)的 隐函数 y=f(x),z=g(x),x∈O(x,E)。 且有 OFG a(F,G a(F,G a(F,G ∫(x0)= (0 P),g(x0) (B) 2,X y2 (x,y) a(,z 于是,曲线厂在P点的切线方程为 X-X aF,G) (B) a(F,G) a(F,G) (0) (y,z) O(=,x) x 法平面方程为 O(F,G) (0)(x-x) a(F,G) OF,G (P)(y-y)+ (B)(z--0)=0 a(, 2) a(=,x) (x,y)
由于矩阵J 在P0 点满秩，不失一般性，假设在P0 点成立 0 ),( ),( = ≠ ∂ ∂ zy zy GG FF zy GF 。 由隐函数存在定理，在P0点附近唯一确定了满足 )(),( 0 00 0 = = xgzxfy 的 隐函数 = = xgzxfy )(),( ， ),( 0 ∈ xOx ε 。 且有 )( ),( ),( )( ),( ),( )(,)( ),( ),( )( ),( ),( )( 0 0 0 0 0 P0 zy GF P yx GF xgP zy GF P xz GF xf ∂∂ ∂∂ ′ = ∂∂ ∂∂ ′ = 。 于是，曲线Γ 在P0 点的切线方程为 )( ),( ),( )( ),( ),( )( ),( ),( 0 0 0 0 0 0 P yx GF zz P xz GF yy P zy GF xx ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ； 法平面方程为 0))(( ),( ),( ))(( ),( ),( ))(( ),( ),( 0 0 0 0 0 0 =− ∂∂ +− ∂∂ +− ∂∂ zzP yx GF yyP xz GF xxP zy GF
由空间解析几何知道,由一点及两个线性无关(即非平行)的 向量确定一张过该点的平面(称为这两个向量张成的平面),平面上 的任一向量都可以表为这两个向量的线性组合。 定理12.51曲线{(,3)=0在点的法平面就是由梯度向量 (x, y, 2) gradF(P)和grdG(P)张成的过P的平面。 证记该曲线为F。由于矩阵J= F,F,F满秩,因此 gradF()=(F2(),F,(P0),F(P0 gradG(P)=(G(P),G,(P),G(Po) 线性无关,因此它们可以张成一个过P点的平面兀
由空间解析几何知道，由一点及两个线性无关（即非平行）的 向量确定一张过该点的平面（称为这两个向量张成的平面 ），平面 上 的任一向量都可以表为这两个向量的线性组合。 定理 12.5.1 曲线⎩ ⎨ ⎧ = = 0),,( ,0),,( zyxG zyxF 在 P0 点的法平面就是由梯度向 量 0 grad F( ) P 和 0 gradG P( ) 张成的过 P0 的平面 。 证 记该曲线为 Γ 。由于矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = zyx zyx GGG FFF J 满秩，因此 0 grad F( ) P ))(),(),(( = x 0 y 0 z PFPFPF 0 与 0 gradG P( ) ))(),(),(( = x 0 y 0 z PGPGPG 0 线性无关，因此它们可以张成一个过 P0 点的平面 π
要证明平面π就是曲线r在P点的法平面,只要证明厂在P点的 切向量与π垂直,即与 gradF(P)和 gradS(P)均垂直即可 因为曲线r在P点的切向量为 O(y,2)0((FG(P) 0(F,G)/D、O(F,G) 于是 t gradF(P)=F(D)O(F, G) 0(yxP)+F(P、O(F,G) (0)+F2(P O(F,G) () (x,y) F(P) F(P)F(P F2(P)F,(B)F(P)=0 同理τ gradS/P)=0。因此平面π就是曲线r在P点的法平面
要证明平面π就是曲线Γ 在P0 点的法平面，只要证明Γ 在P0 点的 切向量与π垂直，即与 0 gradF( ) P 和 0 gradG P( ) 均垂直即可。 因为曲线Γ 在P0 点的切向量为 000 (,) (,) (,) ( ), ( ), ( ) (,) (, ) (, ) FG FG FG P P P yz zx xy ⎛ ⎞ ∂∂∂ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂∂ τ ， 于是 0 0 00 00 0 000 000 000 (,) (,) (,) () () () () () () (,) (, ) (, ) () () () ( ) ( ) ( ) 0. () () () xyz xyz xyz xyz F G F G F G F(P ) F P P F P P F P P y z z x x y FP FP FP FP FP FP GP GP GP ∂ ∂ ∂ ⋅= + + ∂ ∂∂ = = τ grad 同理 0 τ ⋅gradG(P ) = 0。因此平面π就是曲线Γ 在P0 点的法平面
