§4反常重积分 无界区域上的反常重积分 设D为平面R2上的无界区域,它的边界是由有限条光滑曲线组 成的。假设D上的函数f(x,y)具有下述性质:它在D中有界的、可求 面积的子区域上可积。并假设所取的割线为一条面积为零的曲线, 它将D割出一个有界子区域,记为D,并记 d(D)= infix2+y2(x,y)∈厂 为厂到原点的距离。 图1341
无界区域上的反常重积分 设 D为平面 2 R 上的无界区域，它的边界是由有限条光滑曲线组 成的。假设 D上的函数 f xy (,) 具有下述性质：它在 D中有界的、可 求 面积的子区域上可积。并假设所取的割线 Γ 为一条面积为零的曲线， 它将 D割出一个有界子区域，记为 DΓ ，并记 { } 2 2 d x y xy ( ) inf | ( , ) Γ =+ ∈ Γ 为 Γ 到原点的距离。 图 13.4.1 §4 反常重积分 D Γ D Γ
定义13.4.1若当4(门)趋于无穷大,即D趋于D时, ∫(x,ydy的极限存在,就称f(x,y)在D上可积,并记 f(x, y)dxdy= lim f(x, y)drd d(厂)→+∞ 这个极限值称为f(x,y)在D上的反常二重积分,这时也称反常二重积 分/(x,ydy收敛。如果右端的极限不存在,就称这一反常二重积 分发散
定义 13.4.1 若当 d( ) Γ 趋于无穷大，即 DΓ 趋于 D 时， f ( , )d d x y x y Γ ∫∫ D 的极限存在，就称 f xy (,) 在 D 上可积，并记 ( ) ( , )d d lim ( , )d d d f x y x y f x y x y Γ Γ →+∞ = ∫∫ ∫∫ D D 。 这个极限值称为 f xy (,) 在 D上的反常二重积分，这时也称反常 二 重 积 分 f ( , )d d x y x y ∫∫ D 收敛 。如果右端的极限不存在，就称这一反常二重积 分发散
先考虑函数是非负的情况。 引理13.41设f(x,y)为无界区域D上的非负函数。如果{n}是 列曲线,它们割出的D的有界子区域{D}满足 D 及limd(rn)=+∞, n→0 则反常积分j(xy在D上收敛的充分必要条件是:数列 ∫/(x)d收敛。且在收敛时成立 「f(xy)dy=lm「/(xydy n→)0
先考虑函数是非负的情况。 引理 13.4.1 设 f xy (,) 为无界区域 D上的非负函数 。如果{ } Γ n 是 一列曲线，它们割出的 D的有界子区域{ } D n 满足 DD D 1 2 ⊂ ⊂⊂ ⊂ " " n ，及 lim ( ) n n d Γ →∞ = +∞， 则反常积分 f ( , )d d xy xy ∫∫ D 在 D上收敛的充分必要条件是：数列 ( , )d d n f xy xy ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫∫ D 收敛。且在收敛时成立 f xy xy ( , )d d ∫∫ D lim ( , )d d n n f xy xy →∞ = ∫∫ D
证必要性是显然的。下面证明充分性。 如果/(xy)d收敛,记m(xy)y=1。现在证明 D im‖f(x,y)dxdy=lo d(厂)→+ 对于曲线F,令)=甲(2+y21(∈r由假设 imd(n)=+∞得知,当n充分大时,成立4(n)>p(D),因此由数列 ∫/(xy)d}的单调增加性得到 ∫(x, y)drdy s(xy)ddy≤/
证 必要性是显然的。下面证明充分性。 如果 ( , )d d n f xy xy ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫∫ D 收敛，记lim ( , )d d n n f xy xy I →∞ = ∫∫ D 。现在证明 ( ) lim ( , )d d d f xy xy I Γ Γ →+∞ = ∫∫ D 。 对于曲线 Γ，令 ρ( ) Γ { } 2 2 =+ ∈ sup | ( , ) x y xy Γ 。由假设 lim ( ) n n d Γ →∞ = +∞得知，当 n充分大时，成立 ( ) () n d Γ > ρ Γ ，因此由数列 ( , )d d n f xy xy ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫∫ D 的单调增加性得到 ( , )d d ( , )d d n f xy xy f xy xy I Γ ≤ ≤ ∫∫ ∫∫ D D
另一方面,由于数列A(xy收敛于/,对于任意正数, 存在正整数N,使得 f(, y)dxdy>I-8 因此当d()>p()时,有 12f(x, y)dxdy2f(,y)drdy 此即 im‖|f(x,y)dxdy=
另一方面，由于数列 ( , )d d n f x y x y ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ∫∫D 收敛于I ，对于任意正数ε ， 存在正整数N ，使得 ( , )d d N f xy xy I > −ε ∫∫ D 。 因此当 () ( ) N d Γ ρΓ > 时，有 ( , )d d ( , )d d N I f x y x y f x y x y I Γ ≥≥> −ε ∫∫ ∫∫ D D 。 此即 ( ) lim ( , )d d d f x y x y I Γ Γ →+∞ = ∫∫ D
例134.1设D={(xya2≤x2+y20)记r=√x2+y p>0 为定义在D上的函数。证明积分/(xy)c当p>2时收敛;当p≤2时 发散。 证取n={(x,y)x2+y2=p2}(p>a),它割出的D的有界部分 为 Dn={(x,y)a2≤x2+y2≤p2} 利用极坐标变换得到 f(x, y)dxdy= d0 r-Pdr=2T 令p趋于正无穷大,最后一个积分当p>2时收敛,当p≤2时发散。由 引理13.4.1即可得知所需的结论。 从以上推导可以看出,当D为扇形区域 asr<+,a≤≤B(a,B∈[O,2x])} 时,上述结论也成立
例 13.4.1 设 222 D = ≤ + 0）。记r xy = +2 2 ， f xy r p p (,) ( ) = > 1 0 为定义在D上的函数。证明积分 f ( , )d d xy xy ∫∫ D 当 p > 2时收敛；当 p ≤ 2时 发散。 证 取 22 2 {( , ) | xy x y } ( ) a Γ ρ ρ = += > ρ ，它割出的D的有界部分 为 222 2 {(, ) xy a x y | } Dρ = ≤+≤ ρ 。 利用极坐标变换得到 2π 1 1 0 ( , )d d d d 2π d p p a a f xy xy r r r r ρ ρ ρ θ − − = = ∫∫ ∫ ∫ ∫ D 。 令 ρ 趋于正无穷大，最后一个积分当 p > 2时收敛，当 p ≤ 2时发散。由 引理 13.4.1 即可得知所需的结论。 从以上推导可以看出，当D为扇形区域 { } a r ≤ < +∞ ≤ ≤ ∈ , (, [ α θ β αβ 0, 2π ]) 时，上述结论也成立
定理13.4.1(比较判别法)设D为R2上具有分段光滑边界的无 界区域,在D上成立0≤f(x,y)≤g(x,y)。那么 (1)当』(xy)ddy收敛时,』f( x, y )dxdy也收敛; (2)当/(x,ydy发散时,8(x,y)d也发散 证明从略
定理 13.4.1（比较判别法） 设 D为 2 R 上具有分段光滑边界的无 界区域，在D上成立0 ≤ f xy gxy (,) (,) ≤ 。那么 （1）当 gxy xy ( , )d d ∫∫ D 收敛时， f ( , )d d xy xy ∫∫ D 也收敛； （2）当 f ( , )d d xy xy ∫∫ D 发散时， gxy xy ( , )d d ∫∫ D 也发散。 证明从略
反常二重积分有一个重要特点:可积与绝对可积是等价的。 定理13.4.2设D为R2上具有分段光滑边界的无界区域,则 f(x,y)在D上可积的充分必要条件是:(x,y)在D上可积。 证记 f(x,y),当f(x,y)≥0, 0 当f(x,y)0, x,y f(x,y),当f(x,y)≤0。 显然,这两个函数都是非负的,且不大于(x,y) 因此,由比较判别法,若f(x,y)在D上可积,则f(x,y)和f(x,y) 均在D上可积,于是 f(x, y)=f(x,y)-f(x,y) 也在D上可积。充分性得证
反常二重积分有一个重要特点：可积与绝对可积是等价的。 定理 13.4.2 设 D 为 2 R 上具有分段光滑边界的无界区域，则 f xy (,) 在 D上可积的充分必要条件是：| ( , )| f xy 在 D上可积 。 证 记 f xy f xy f xy f xy + = ≥ − ≤ ⎧ ⎨ ⎩ (,) , ( , ) , ( , ), ( , ) 0 0 0 当 当 。 显然，这两个函数都是非负的，且不大于| ( , )| f xy 。 因此，由比较判别法， 若| ( , )| f xy 在 D上可积， 则 f xy + (,) 和 f xy − (,) 均在 D上可积，于是 yxfyxfyxf ),(),(),( + − −= 也在 D上可积。充分性得证
下面证明必要性,用反证法。设f(x,y)在D上可积,但|f(x,y)在D 上不可积。由于 f(x,y=f(x, y)+f(x,y) 那么非负函数f(x,y)和f(x,y)中至少有一个在D上不可积。不妨设 f(x,y)在D上不可积。由引理13.4.1知,对于任意大的正数K,存 在一条曲线r,使得在它割出的D的有界子区域D上成立 ∫(x,y)dxdy>K 因此由归纳法可知,存在一族曲线{n},它们割出的D的有界子区域 D}满足DcD2c…cDnc…,及liml(n)=+ 且成立 ∫f(xydy?』/(x,y)dady+n(m=2,) Dn 因此 f"(,y)drdy>ls(x, y)ldrdy+n (n=1, 2, " Dn
下面证明必要性，用反证法。设 f xy (,) 在 D上可积，但| ( , )| f xy 在 D 上不可积。由于 | ( , )| f xy = f xy + (,)+ f xy − (,)， 那么非负函数 f xy + (,)和 f xy − (,)中至少有一个在D上不可积。不妨设 f xy + (,)在 D上不可积。由引理 13.4.1 知，对于任意大的正数K ，存 在一条曲线Γ ，使得在它割出的D的有界子区域DΓ 上成立 f ( , )d d xy xy K Γ + > ∫∫ D 。 因此由归纳法可知，存在一族曲线{ } Γ n ，它们割出的D的有界子区域 { } Dn 满足 1 2 lim ( ) n n n d Γ →∞ DD D ⊂ ⊂⊂ ⊂ " "，及 = +∞ 。 且成立 1 ( , )d d 2 | ( , ) | d d ( 1,2, ) n n f xy xy f xy xy n n + + > += ∫∫ ∫∫ " 。 D D 因此 1 ( , )d d | ( , ) | d d ( 1,2, ) n n n f xy xy f xy xy n n + − + > += ∫∫ ∫∫ " 。 D D D
由于f(x,y)在Dn1-D上可积,可知f(x,y)在Dn1-Dn上可积(见 本章§1习题4),其 Darboux小和收敛于它在Dn1-Dn上的积分。所以 充分细分Dn-D后,f(xy)的 Darboux小和 ∑mAon>∫f(x,yd-1>J1(xy)ddy+n-1(m=12…), 其中Δσn为细分D1-D后所得小区域σn的面积(i=1,…,Sn),mn为 ft(x,y)在小区域σn上的下确界。由上式知,存在许多Dn-D,上的小 区域σn,在它们上面成立mn>0,记P为所有这样的小区域的并集。 那么 ∫∫r(xy)ddy2man小(x)ddy+n-1 2
由于 f xy (,) 在 D D n n +1 − 上可积，可知 f xy + (,)在D D n n +1 − 上可积（见 本章§1 习题 4），其 Darboux 小和收敛于它在D D n n +1 − 上的积分。所以 充分细分D D n n +1 − 后， yxf ),( + 的 Darboux 小和 1 1 ( , )d d 1 | ( , ) | d d 1 ( 1, 2, ) n S i i n n i n n n m fx σ y x y f x y x yn n + = − + ∑ Δ > − > +− = ∫∫ ∫∫ " D D D ， 其中 in Δσ 为细分D D n n +1 − 后所得小区域 in σ 的面积（ Si n = ",,2,1 ）， i mn 为 yxf ),( + 在小区域 in σ 上的下确界。由上式知，存在许多D D n n +1 − 上的小 区域 in σ ，在它们上面成立 > 0 i mn ，记 Pn为所有这样的小区域的并集。 那么 1 ( , )d d | ( , ) | d d 1 ( 1,2, ) n S i i n n i n n f xy xy m f xy xy n n σ + = ∫∫ ≥ Δ > +− = ∑ ∫∫ " P D