§2连续函数 连续函数的定义 定义32.1设函数f(x)在点x的某个邻域中有定义,并且成立 lim f(x)=f(xo) x→x0 则称函数f(x)在点x连续,而称x是函数f(x)的连续点。 “函数f(x)在点x连续”的符号表述(或称“s-δ”表述): VE>0,3δ>0,Vx(|x-x0k8):f(x)-f(x)kE
§2 连续函数 连续函数的定义 定义3.2.1 设函数 f x( ) 在点 x0的某个邻域中有定义，并且成立 lim x x → 0 f x( ) = f x( ) 0 ， 则称函数 f x( ) 在点 x0 连续，而称 x0是函数 f x( ) 的连续点。 “函数 f x( ) 在点 x0 连续”的符号表述（或称“ε −δ ”表述）： ∀ ε > 0，∃ δ > 0，∀ x ( 0 | | x x − < δ ) ： 0 | ( ) ( )| fx fx − < ε
§2连续函数 连续函数的定义 定义3.21设函数f(x)在点x的某个邻域中有定义,并且成立 lim f(x)=f(xo) x→x0 则称函数f(x)在点x连续,而称x是函数f(x)的连续点。 “函数f(x)在点x连续”的符号表述(或称“s-δ”表述): VE>0,3δ>0,Vx(|x-x0k8):f(x)-f(x)kE。 定义32.2若函数f(x)在区间(a,b)的每一点都连续,则称函数 f(x)在开区间(a,b)上连续
§2 连续函数 定义3.2.2 若函数 f x( ) 在区间 ba ),( 的每一点都连续，则称函数 f x( ) 在开区间 ba ),( 上连续。 连续函数的定义 定义3.2.1 设函数 f x( ) 在点 x0的某个邻域中有定义，并且成立 lim x x → 0 f x( ) = f x( ) 0 ， 则称函数 f x( ) 在点 x0 连续，而称 x0是函数 f x( ) 的连续点。 “函数 f x( ) 在点 x0 连续”的符号表述（或称“ε −δ ”表述）： ∀ ε > 0，∃ δ > 0，∀ x ( 0 | | x x − < δ ) ： 0 | ( ) ( )| fx fx − < ε
例3.2.1函数f(x)=在区间(0,1)上连续。 证设x是(0,1)中任意一点。对于任意给定的s>0,要找δ>0, 使得当|x-xkδ时,有 x-x ,从而 XXo 2 取6=m.52,当区一k6时, x-x\1、少<E, 所以f(x)=-在(O,1)上连续。 证毕
例3.2.1 函数 f ( ) x = 1 x 在区间(0, 1)上连续。 证 设 x0是(0, 1)中任意一点。对于任意给定的ε > 0，要找δ > 0， 使得当 0 | | x x − 02 ，从而 xx x 0 0 2 2 > 。 取δ = min ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ ε 2 , 2 200 xx ，当 − xx 0|| < δ 时， 0 11 xx − = 0 0 xx − xx 0 2 0 2| | x x x ε − < < ， 所以 f x( ) = 1 x 在(0, 1) 上连续。 证毕
为了讨论函数在闭区间上的连续性,需要单侧连续的概念: 定义3.2.3 若limf(x)=f(x),则称函数f(x)在x左连续 若lmf(x)=f(x),则称函数∫(x)在x右连续。 imf(x)=f(x)可表述为:E>0,彐δ>0,yx(-60,3δ>0,Vx(0≤x-x0<6) x→)xa+ f(x)-f(x0)E
为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要单侧连续的概念： 定义3.2.3 若 lim x x → −0 f x( ) = f x( ) 0 ，则称函数 f x( ) 在 x 0左连续； 若 lim x x → +0 f x( ) = f x( ) 0 ，则称函数 f x( ) 在 x 0右连续 。 lim x x → −0 f x( ) = f x( ) 0 可表述为： ∀ ε > 0，∃ δ > 0，∀ x （ 0 − δ 0，∃ δ > 0，∀ x （ 0 0 ≤ x x − < δ ）： 0 | fx fx () ( ) − |< ε
为了讨论函数在闭区间上的连续性,需要单侧连续的概念: 定义3.2.3 若limf(x)=f(x),则称函数f(x)在x左连续 x→>x0 若lmf(x)=f(x),则称函数∫(x)在x右连续。 imf(x)=f(x)可表述为:E>0,彐δ>0,yx(-60,3δ>0,x(0≤x-x0<) x→)xa+ If(x)-f(roke 定义3.2.4若∫(x)在(ab)连续,且在左端点a右连续,在右端点 b左连续,则称函数∫(x)在闭区间[ab上连续
定义3.2.4 若 f x( ) 在 ba ),( 连续，且在左端点a右连续，在右端点 b左连续，则称函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 上连续。 为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要单侧连续的概念： 定义3.2.3 若 lim x x → −0 f x( ) = f x( ) 0 ，则称函数 f x( ) 在 x0左连续； 若 lim x x → +0 f x( ) = f x( ) 0 ，则称函数 f x( ) 在 x0右连续。 lim x x → −0 f x( ) = f x( ) 0 可表述为：∀ ε > 0，∃ δ > 0，∀ x（ 0 −δ 0，∃ δ > 0，∀ x（ 0 0 ≤ x x − < δ ）： 0 | fx fx () ( ) − |< ε
例3.2.2f(x)=x(1-x)在闭区间[0,1上连续。 证设x∈(0,1)是任意一点,令n=min{x0,1-x}>0,当x-x0kn时, x∈(0,1),因而 √x(1-x)-√x0(1-x0) (1-x)+√x0(1-x0) x(1-x0) 对任意给定的c>0,取δ=min{n,√x(1-x)},当x-xk6时,成 立 √x(1-x)-√x0(1-x)|< x-x0|<E, (1-x0) 所以f(x)=√x(1-x)在(0,1)上连续
例3.2.2 f x( ) = x x ( ) 1− 在闭区间[0,1]上连续。 证 设 0 x ∈(0,1)是任意一点，令η = min { x0 , 0 1− x } > 0，当 0 | | x x − 0，取δ = min {η， 0 0 x x (1 ) − ε ｝，当 0 | | x x − < δ 时，成 立 | x x ( ) 1− - x x 0 0 ( ) 1− | 0 0 1 x x (1 ) < − | | x x − 0 < ε ， 所以 f x( ) = x x ( ) 1− 在(0,1)上连续
现考虑区间的端点,对任意给定的E>0,取δ=2, 则当0≤x<δ时, f(x)-f(0)|√x<E; 而当-δ<x-1≤0时, (x)-f(1)k√1-x<E。 这说明f(x)在x=0右连续,在x=1左连续 由此得出f(x)=√x(1-x)在闭区间[,上连续
现考虑区间的端点，对任意给定的 ε > 0，取 2 δ = ε ， 则当 0 ≤ x < δ 时， | ( ) (0) | fx f x − ≤ < ε ； 而当 − δ < −≤ x 1 0时， | ( ) (1) | 1 fx f x − ≤ −< ε 。 这说明 f x( ) 在 x = 0右连续，在 x = 1左连续。 由此得出 f x( ) = x x ( ) 1 − 在闭区间[0,1]上连续
注上述定义3.2.1至定义3.2.4可统一地表示为如下形式: 设函数f(x)定义在某区间x上(X可以是开区间,闭区间或半开半 闭区间)。如果vx∈X与vE>0,38>0,Wx∈X(x-xk<): f(x)-f(x)<E,则称函数f(x)在区间x上连续
注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式： 设函数 xf )( 定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半 闭区间）。如果∀ ∈ Xx0 与∀ε > 0，∃δ > 0， ( ) xxXx 0 <−∈∀ δ ： )()( <− ε 0 xfxf ，则称函数 xf )( 在区间 X 上连续
注上述定义3.2.1至定义3.2.4可统一地表示为如下形式 设函数f(x)定义在某区间X上(x可以是开区间,闭区间或半开半 闭区间)。如果vex与vE>0,38>0,x∈X(x-xo0,取δ=E,当|x-xk6时,成立 Sinx-sin x x-x<8o 所以f(x)=sinx在(-+∞)上连续。 同样可以按定义证明∫(x)=cosx在(+∞)上连续
例3.2.3 f ( ) sin x x = 在 −∞ +∞),( 上连续。 证 设 x0 ∈ −∞ +∞),( 是任意一点，由于 | 0 sin sin x x − | = 0 0 2 cos sin 2 2 xx xx + − ≤ | | x x − 0 ， 对任意给定的ε > 0，取δ = ε ，当 0 | | x x − 0，∃δ > 0， ( ) xxXx 0 <−∈∀ δ ： )()( <− ε 0 xfxf ，则称函数 xf )( 在区间 X 上连续
例3.2.4指数函数f(x)=a2(a>0a≠1)在(-∞+∞)上连续 证首先,对任意一点x0∈(-0+0),有 a-a0=a20(a Xo 所以证imax=a就归结为证lima=1 x→>x 若t→0+,则当a>1时,成立 1<a1 因lima=1,由极限的夹逼性,得到
例 3.2.4 指数函数 f x( ) =a x （a a > ≠ 0, 1）在 −∞ +∞),( 上连续。 证 首先，对任意一点x0 ∈ −∞ +∞),( ，有 x a − a x0 =a x0 ( 0 1 x x a − − )。 所以证 lim x x → 0 a x =a x0 就归结为证lim t→0 1 t a = 。 若t → +0 ，则当a >1时，成立 1 t < a ≤ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡t a 1 1 ， 因lim n→∞ 1 n a = ，由极限的夹逼性，得到 lim t→ +0 1 t a =