§5微分形式 有向面积与向量的外积 前面导出二重积分变量代换公式 f(yyf(u) a(x,) dudv T(D) o(u,v) 时已经指出,加了绝对值号的 Jacobi行列式(xy)的几何意义是xy平 () 面的面积微元dxdy与uv平面的面积微元dudv之间的比例系数。那么, 不加绝对值号的 Jacobi行列式(xy)的几何意义又是什么呢?一个顺 (u,v) 理成章的回答应该是,它代表带符号的面积微元之间的比例系数
有向面积与向量的外积 前面导出二重积分变量代换公式 ( ) (, ) ( , )d d ( ( , ), ( , )) d d (,) T x y f x y x y f xuv yuv u v u v ∂ = ∂ ∫∫ ∫∫ D D 时已经指出，加了绝对值号的 Jacobi 行列式 ),( ),( vu yx ∂∂ 的几何意义是xy平 面的面积微元d dx y 与uv平面的面积微元d du v之间的比例系数。那么， 不加绝对值号的 Jacobi 行列式 ),( ),( vu yx ∂∂ 的几何意义又是什么呢？一个顺 理成章的回答应该是，它代表带符号的面积微元之间的比例系数。 §5 微分形式
带符号的面积称为有向面积。下面从最简单的平行四边形出发, 给出一个定义有向面积的例子。 设a=(a1,a2),b=(b,b2)为平面R2上两个线性无关向量,Ⅱ为R2上 由向量a和b所张成的平行四边形,我们规定:如果从向量a出发在∏ 中旋转到b是逆时针方向(即a的方向,b的方向和指向读者的方向 成右手定则,见图13.5.1),这个平行四边形的面积为正,否则为负。 图13.51
带符号的面积称为有向面积。下面从最简单的平行四边形出发， 给出一个定义有向面积的例子。 设 ),( a = aa 21 ， ),( b = bb 21 为平面 2 R 上两个线性无关向量，Π为 2 R 上 由向量 a 和 b 所张成的平行四边形，我们规定：如果从向量 a 出发在Π 中旋转到 b 是逆时针方向（即 a 的方向，b 的方向和指向读者的方向 成右手定则，见图 13.5.1），这个平行四边形的面积为正，否则为负。 b Π a 图 13.5.1
容易看出,二阶行列式2正是由a和b所张成的平行四边形 ∏的有向面积:由解析几何知道,它的绝对值就是Ⅱ在普通意义下的 面积。将这两个向量用极坐标表示为 a=(r cos,, r sin 80), b=(r cos 62, r, sin 62), 若从a出发在Ⅱ中旋转到b是逆时针方向的,则有B0 与∏的有向面积的符号规定一致。 若交换a和b的位置,即从a出发在∏中旋转到b是顺时针方向 的,则结果反号。 我们将这种运算称为向量a与b的外积,记为a入b,即 ∧
容易看出，二阶行列式 21 21 bb aa 正是由 a 和 b 所张成的平行四边形 Π的有向面积：由解析几何知道，它的绝对值就是Π在普通意义下的 面积。将这两个向量用极坐标表示为 )sin,cos(),sin,cos( θ θ 1111 θ θ 2222 = = rrbrra ， 若从 a 出发在Π中旋转到 b 是逆时针方向的，则有 121 θ ， 与Π的有向面积的符号规定一致。 若交换 a 和 b 的位置，即从 a 出发在Π中旋转到 b 是顺时针方向 的，则结果反号。 我们将这种运算称为向量 a 与 b 的外积，记为 a ∧ b，即 a ∧ b = 21 21 bb aa
易验证外积运算具有以下性质: (1)反称性 ab=-a入b,a.b∈R 由此立即得出 a入a=0,a∈R (2)双线性(分配律) a∧(b+c)=aAb+ a+b)∧C=a∧c+b∧C, b,c∈R2.A∈R (Aa)b=a∧(b)=A(a∧b)
易验证外积运算具有以下性质： （ 1） 反称性 a ∧ b = - a ∧ b，a, b ∈ 2 R , 由此立即得出 a ∧ a = 0， a ∈ 2 R 。 （ 2） 双线性（分配律） a ∧ (b + c) = a ∧ b + a ∧ c, (a + b ) ∧ c = a ∧ c + b ∧ c, a, b, c ∈ 2 R , λ∈ R 。 ( λ a ) ∧ b = a ∧ ( λb ) = λ( a ∧ b )
例13.5.1设e,e2为R2上的一组基(不一定要求正交), m1=a1e1+a12e2 I,=a21e1+a22e 是R2中的任意两个向量,那么由外积的性质得到 a1∧a2=(a1e1+a12e2)^(a21+a2e2 ana2enetaua2e,ne,,Ae,tanabe, ne2 =a1(2e1^e2++a12a21e2∧e a1a2c1221)e1e2 e1∧
例 13.5.1 设 1 e ， 2 e 为 2 R 上的一组基（不一定要求正交）， 2221212 2121111 , eea eea aa aa += = + 是 2 R 中的任意两个向量，那么由外积的性质得到 ∧ aa 21 = ( 212111 + aa ee )∧ ( 222121 + aa ee ) = aa 2111 1 e ∧ 1 e + aa 2211 1 e ∧ 2 e + aa 2112 2 e ∧ 1 e + aa 2212 2 e ∧ 2 e = aa 2211 1 e ∧ 2 e ++ aa 2112 2 e ∧ 1 e =( aa 2211 - aa 2112 ) 1 e ∧ 2 e 2221 1211 aa aa = 1 e ∧ 2 e
上式两端的a1^a2和e1∧2分别表示由a1,a2和e,巳2所张成的平 行四边形的有向面积,而行列式-就是这两个有向面积之间的 比例系数。若行列式大于零,说明这两个有向面积的符号相同,即从 e到e2的旋转方向与从a1到a2的旋转方向相同;若行列式小于零,说 明这两个有向面积的符号相反,即从e到e的旋转方向与从a1到a,的 旋转方向相反
上式两端的 ∧ aa 21 和 1 e ∧ 2 e 分别表示由a1，a2和 1 e ， 2 e 所张成的平 行四边形的有向面积，而行列式 2221 1211 aa aa 就是这两个有向面积之间的 比例系数。若行列式大于零，说明这两个有向面积的符号相同，即从 1 e 到 2 e 的旋转方向与从 到aa 21 的旋转方向相同；若行列式小于零，说 明这两个有向面积的符号相反，即从 1 e 到 2 e 的旋转方向与从 21到aa 的 旋转方向相反
微分形式 从例13.5.1得到启发,若能将重积分变量代换公式中的微元关系 (x,y) udy u. v 写成形式 a(x, y) dua dy (,v) 而dx∧dy和du∧dv理解为带符号的面积微元,就无须对变量代换的 Jacobi行列式取绝对值了。但是,这里的dx,dy(或du,d)并非向量, 因此需要引入微分形式和外积的概念
微分形式 从例 13.5.1 得到启发，若能将重积分变量代换公式中的微元关系 dxdy = ),( ),( vu yx ∂∂ dudv 写成形式 dx∧ dy = ),( ),( vu yx ∂∂ du ∧ dv， 而 dx∧ dy 和 du ∧ dv 理解为带符号的面积微元，就无须对变量代换的 Jacobi 行列式取绝对值了。但是，这里的 dx，dy (或 du，dv)并非向量， 因此需要引入微分形式和外积的概念
设U为R"上的区域,记x=(x1,x2…,xn),C(U)为U上具有连续偏 导数的函数全体。将{dx,dx2…,dxn}看作一组基,其线性组合 a1(x)ldx1+a2(x)dx2+…+an(x)dx,a、(x)∈C(U)(i=1,2…,n) 称为一次微分形式,简称1-形式。1-形式的全体记为A。 对于任意o,n∈A: Q=a1(x)dx1+a2(x)dx2+…+an(x)dxn, n=b,()dx,+b2(xdx 2+.+6,(x)dx 我们定义O+n和Ao(L∈C(U)为 O+7=(a1(x)+b(x)dx1+(a2(x)+b2(x)dx2+…+(an(x)+bn(x)dxn 1=((x)a1(x)dx1+(1(x)a2(x)dx2+…+((x)an(x)dxn 这显然满足交换律、结合律以及对C(U)的乘法分配律。若定义A中 的“零元”为 0=0dx1+0dx2+…+0dxn, 而且定义-为 o=(,()dx,+(a2(x)dx2+.+(a, (x)dx 那么N成为C(U)上的向量空间
设U 为 n R 上的区域，记 ),,,( 21 n x = " xxx ， 1 C ( ) U 为U 上具有连续偏 导数的函数全体。将{ n d,,d,d xxx 21 " }看作一组基，其线性组合 n n d)(d)( d)( xaxaxa1 21 2 x + x +"+ x ， ai x)( ∈ 1 C ( ) U （ = ",,2,1 ni ） 称为一次微分形式，简称 1-形式。1-形式的全体记为Λ1。 对于任意ω η, ∈Λ1： d)(d)( ,d)( d)(d)( ,)d( 211 2 211 2 n n n n xxbxxbxxb xxaxxaxxa += ++ = + + + " " η ω 我们定义ω + η 和λω （ 1 λ∈C ( ) U ）为 n n。 n n n xxaxxxax xxax xxbxaxxbxaxxbxa d))()((d))()((d))()(( ,d))()((d))()((d))()(( 1 1 2 2 1 1 21 2 2 λλω λ λ ω η = + ++ =+ + + + + + + " " 这显然满足交换律、结合律以及对 1 C ( ) U 的乘法分配律。若定义Λ1中 的“零元”为 n xx d0d0d00 x = 1 + 2 +"+ ， 而且定义−ω 为 ,d))((d))((d))(( 1 1 2 2 n n −ω = − + − xxaxxa +"+ − xxa 那么Λ1成为 1 C ( ) U 上的向量空间
进一步,在{dx1,dx2…,dxn}中任取2个组成二元有序元,记为 dx∧dx,(i,j=12,…,n),称为dx与dx的外积。 仿照向量的外积,规定 dx.∧d 2 x:∧dx n 因此共有C2个有序元 ∧dx 1≤i<j≤ 同A的构造类似,以这些有序元为基就可以构造一个C(U)上的向量 空间A2。A2的元素称为二次微分形式,简称2形式。于是A2的元素 就可表为 ∑g,(xdx∧dx 这称为2-形式的标准形式
进一步，在{ n d,,d,d xxx 21 " }中任取 2 个组成二元有序元，记为 ji ∧ dd xx = " nji ),,2,1,( ，称为 i dx 与 j dx 的外积。 仿照向量的外积，规定 ,dddd ji ij ∧ = − ∧ xxxx ∧ = 0dd ii xx , = ",,2,1, nji 。 因此共有 2 Cn 个有序元 njixx ∧ ji 1,dd ≤ < ≤ 。 同Λ1的构造类似，以这些有序元为基就可以构造一个 1 C ( ) U 上的向量 空间Λ2 。 2 Λ 的元素称为二次微分形式，简称 2-形式。于是Λ2 的元素 就可表为 ∑ ≤<≤ ∧ nji jiji xxxg 1 dd)( 。 这称为 2-形式的标准形式
般地,在{dx1,dx2…,dxn}中任意选取k个组成有序元,记为 dxdx2∧…^dx, 这里i12…是从集合{12,…n中选取的任意k个整数。规定 dx.∧∴∧dx.∧dx.…∧dx.=-dx:∧…∧dx.∧dx.…∧dx.,1<r<k 而且如果i,i2…中有两个是相同的,则规定dx,^dx,A…^dxn=0。 因此共有C个有序元 dx^dx2A…dx,1≤i1<h2<…<≤n 以这些有序元为基构造一个C(U)上的向量空间A。A的元素称为k 次微分形式,简称k-形式。于是一般k-形式就可表示为 8142(x)dxA 这称为k-形式的标准形式
一般地，在{ n d,,d,d xxx 21 " }中任意选取k 个组成有序元，记为 k ii i ddd xxx 1 2 ∧ ∧"∧ ， 这里ii i 1 2 k ,, , " 是从集合{, , , } 1 2 " n 中选取的任意k 个整数。规定 r r k r r k i ii i i i i i dddddddd xxxxxxxx 1 1 1 1 ∧ ∧∧ ∧ = − ∧ ∧ ∧ ∧ " + " " + " ，1 1 ≤ r ≤ k − , 而且如果ii i 1 2 k ,, , " 中有两个是相同的，则规定 0ddd 1 2 ∧ ∧ ∧ = k ii i " xxx 。 因此共有Ckn 个有序元 niiixxx ii i k k ∧ ∧"∧ 1,ddd ≤ < 21 < " < ≤ 1 2 。 以这些有序元为基构造一个 1 C ( ) U 上的向量空间 k Λ 。 k Λ 的元素称为 k 次微分形式，简称 k-形式。于是一般k -形式就可表示为 ∑ ≤<<<≤ ∧∧∧ niii iii ii i k k k xxxxg " " " 21 21 1 2 1 ,,, ddd)( 。 这称为 k-形式的标准形式