§4隐函数 前面讨论的函数大多是=f(xy)形式,如z=x和z=Vx2+y2等。 这种函数表达形式通常称为显函数。 但在理论与实际问题中更多遇到的是函数关系无法用显式来表 达的情况。如在一元函数中提过的反映行星运动的 Kepler方程 F(x,y)=y-x-Esin y=0,0<8<1 这里x是时间,y是行星与太阳的连线扫过的扇形的弧度,是行星 运动的椭圆轨道的离心率。从天体力学上考虑,y必定是x的函数, 但要将函数关系用显式表达出来却无能为力 这种自变量和因变量混合在一起的方程(组)F(x,y)=0,在一定 条件下也表示y与x之间的函数关系,通称隐函数。 那么自然要问,这种函数方程(组)在什么条件下确实表示了 个隐函数(向量值隐函数),如何保证该隐函数连续和可微?
前面讨论的函数大多是 = yxfz ),( 形式，如 z = xy 和 22 += yxz 等。 这种函数表达形式通常称为显函数。 但在理论与实际问题中更多遇到的是函数关系无法用显式来表 达的情况。如在一元函数中提过的反映行星运动的 Kepler 方程 yxF ),( = − − ε yxy = < ε < 10,0sin ， 这里 x 是时间， y 是行星与太阳的连线扫过的扇形的弧度，ε 是行星 运动的椭圆轨道的离心率。从天体力学上考虑， y 必定是x 的函数， 但要将函数关系用显式表达出来却无能为力。 这种自变量和因变量混合在一起的方程（组）Fxy (, ) 0 = ，在一定 条件下也表示 y 与 x 之间的函数关系，通称隐函数。 那么自然要问，这种函数方程（组）在什么条件下确实表示了一 个隐函数（向量值隐函数），如何保证该隐函数连续和可微？ §4 隐函数
单个方程的情形 定理124.1(一元隐函数存在定理)若二元函数F(x,y)满足条 件 (1)F(xn2y)=0; (2)在闭矩形D={xy)x-xa,|y-yb上,F(x,y)连续,且 具有连续偏导数; (3)F(x2yb)≠0。 那么 (i)在点(x,y)附近可以从函数方程 F(x,y)=0 唯一确定隐函数 y=f(x),x∈O(x0,p), 它满足F(x,f(x)=0,以及y=f(x); (i)隐函数y=f(x)在x∈O(x0,p)上连续; (i)隐函数y=f(x)在x∈O(x0,p)上具有连续的导数,且 dy F(x, y) dx F(x, y)
那么 （ⅰ）在点 ),( 00 yx 附近可以从函数方程 yxF = 0),( 唯一确定隐函数 ),(),( = ∈ xOxxfy 0 ρ , 它满足 xfxF = 0))(,( ，以及 )( 0 0 = xfy ； （ⅱ）隐函数 = xfy )( 在 ),( ∈ xOx 0 ρ 上连续； （ⅲ）隐函数 = xfy )( 在 ),( ∈ xOx 0 ρ 上具有连续的导数，且 d (, ) d (, ) x y y F x y x F xy = − 。 单个方程的情形 定理 12.4.1（一元隐函数存在定理） 若二元函数 yxF ),( 满足条 件： （1） 0),( yxF 00 = ； （2）在闭矩形 0 0 D = {(, ) x y | | xx a −≤ −≤ | , | | y y b}上， yxF ),( 连续，且 具有连续偏导数； （3） 0),( y yxF 00 ≠
证不失一般性,设F,(xn,y)>0。 先证明隐函数的存在性。 使得在闭矩形D={(x,y)x-xba,|y-y0B上成a≤an00与F,(x,y)的连续性,可知存在0 >0 于是,对固定的x,y的函数F(x2,y)在[y-B,y+是严格单调 增加的。又由于F(x,y)=0,从而 F(x0,y0-B)0
证 不失一般性，设 0),( y yxF 00 > 。 先证明隐函数的存在性。 由 0),( y yxF 00 > 与 yxF ),( y 的连续性，可知存在 0),( y 。 于是，对固定的 0 x ，y 的函数 ),( 0 yxF 在 ],[ 0 − β yy 0 + β 是严格单调 增加的。又由于 0),( yxF 00 = ，从而 0),(,0),( yxF 00 − β +
由于F(x,y)在D上连续性,于是存在ρ>0,使得在线段 p0,而在线段 xo-p0, 根据零点存在定理,必有j∈(1-B,y+B)使得F(x,y)=0。又因为在D 上F>0,因此这样的y是唯一的
由于 yxF ),( 在 * D 上连续性，于是存在 ρ > 0 ，使得在线段 0 − ρ + ，而在线段 0 − ρ + ， 根据零点存在定理，必有 ),( ∈ 0 − β yyy 0 + β 使得 yxF = 0),( 。又因为在 * D 上 > 0 Fy ，因此这样的 y 是唯一的
将y与x的对应关系记为j=f(x),就得到定义在(x0-p,x0+p)上 的函数y=f(x),它满足F(x,f(x)=0,而且显然成立y0=f(x) yo+ B 05y0 F<0 xo-p x xo xo+p x 图1242
将 y 与 x 的对应关系记为 y = xf )( ，就得到定义在 ),( 0 − ρ xx 0 + ρ 上 的函数 = xfy )( ，它满足 xfxF ≡ 0))(,( ，而且显然成立 )( 0 0 = xfy 。 y y0 + β F > 0 0 y ),( 00 yx y y0 − β F < 0 O x 0 x 0 x + ρ x 图 12.4.2 0 x − ρ
再证隐函数y=f(x)在(x0-p,x+p)上的连续性 设x为(x0-p,x0+p)上的任一点。对于任意给定的>0(c充分 小),由于F(x,y)=0(y=f(x),由前面的讨论知道 F(x,y-E)0。 而由于F(x,y)在D上的连续性,一定存在δ>0,使得当x∈O(x,δ)时, F(x,y-E)0。 通过类似前面的讨论即得到,当x∈O(x,δ)时,相应的隐函数值必满 足f(x)∈(y-E,y+),即 f(x)-f(xka 这就是说,y=f(x)在(x0-p,x+)上连续
再证隐函数 = xfy )( 在 ),( 0 − ρ xx 0 + ρ 上的连续性。 设 x 为 ),( 0 − ρ xx 0 + ρ 上的任一点。对于任意给定的ε > 0（ε 充分 小），由于 yxF = 0),( （ = xfy )( ），由前面的讨论知道 yxF − ε + 0),(,0),( 。 而由于 yxF ),( 在 * D 上的连续性，一定存在δ > 0 ，使得当 ∈ xOx δ ),( 时， yxF − ε + 0),(,0),( 。 通过类似前面的讨论即得到，当 ∈ xOx δ ),( 时，相应的隐函数值必满 足 ∈ − ε yyxf + ε ),()( ，即 − xfxf |)()(| < ε 。 这就是说， = xfy )( 在 ),( 0 − ρ xx 0 + ρ 上连续
最后证明y=f(x)在(x-p,x+p)上的可导性 设x为(x0-p,x0+p)上的任一点。取Ax充分小使得x+Ax∈ (x0-p,x+p),记=f(x)以及y+Ay=f(x+△x),则显然成立F(x,y)=0 和F(x+△x,y+Ay)=0。 应用多元函数的微分中值定理,得到 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y) F(x+Ax,y+的y)Ax+F,(x+的Ax,y+的Ay)Ay, 其中0<0<1。注意到在D上F≠0,因此 F2(x+6Ax,y+的Ay) F,(x+6Ax,y+的△y) 令Δx→0,注意到F和F的连续性,就得到 F(x,y) F(x,y) F(, f() F,(x, f(x))
最后证明 = xfy )( 在 ),( 0 − ρ xx 0 + ρ 上的可导性。 设 x 为 ),( 0 − ρ xx 0 + ρ 上的任一点。取 Δx 充分小使得 + Δxx ∈ ),( 0 − ρ xx 0 + ρ ，记 = xfy )( 以及 + Δ = + Δxxfyy )( ，则显然成立 yxF = 0),( 和 + Δ+Δ yyxxF = 0),( 。 应用多元函数的微分中值定理，得到 = + Δ + Δ − yxFyyxxF ),(),(0 = x +θΔ +θΔ Δ + y θΔ+ +θΔ ),(),( ΔyyyxxFxyyxxF ， 其中 < θ < 10 。注意到在 * D 上Fy ≠ 0 ，因此 ),( ),( yyxxF yyxxF x y y x Δ+Δ+ + Δ Δ+ −= Δ Δ θθ θ θ 。 令Δx → 0，注意到Fx 和Fy的连续性，就得到 d (, ) d (, ) x x x y y F x y x Fx y = = − 。 即 ))(,( ))(,( )( xfxF xfxF xf yx ′ −=
定理1241只是保证了在一定的条件下,函数方程F(x,y)=0在局 部(不一定是整体)确定了y关于x的函数关系y=∫(x),而并不意味 这种关系能用显式具体表示出来。例如 Kepler方程 y-x-8siny=0, 00,所以y对x的 依赖关系,即隐函数y=f(x)是肯定存在的。但遗憾的是,它不能用 显式表示
定理 12.4.1 只是保证了在一定的条件下，函数方程 yxF = 0),( 在局 部（不一定是整体）确定了 y 关于 x的函数关系 = xfy )( ，而并不意味 这种关系能用显式具体表示出来。例如 Kepler 方程 − − ε yxy = 0cos1),( y ，所以 y 对 x 的 依赖关系，即隐函数 = xfy )( 是肯定存在的。但遗憾的是，它不能用 显式表示
定理1241可以直接推广到多元函数的情形 定理124.2(多元隐函数存在定理)若n+1元函数F(x1,x2…,xn,y) 满足条件: (1)F )=0; (2)在闭长方体D={(x,y)川y-y9b,|x-x3ka,1=1,2,…,m}上,函 数F连续,且具有连续偏导数F,F.,i=1,…,n; (3)F,(x,x2,…,x,y)≠0
定理 12.4.1 可以直接推广到多元函数的情形。 定理 12.4.2（多元隐函数存在定理）若n +1元函数 ),,,,( 21 " n yxxxF 满足条件： （1） 0),,,,( 0 00 2 01 " n yxxxF = ； （2）在闭长方体 0 0 {(, ) | | | , | | , 1,2, , } ii i D = −≤ −≤ = x y y y b x x ai n " 上，函 数F 连续，且具有连续偏导数 niFF i xy = ",,2,1,, ； （3） 0),,,,( 0 00 2 0 y 1 " n yxxxF ≠
那么 (i)在点(x,x3,…,x,y)附近可以从函数方程 F(x1x2…,xn,y)=0 唯一确定隐函数 y=f(x12x2,…,xn),(x12x2,…,xn)∈O(x1,x2,…,x),p), 它满足F(x1,x2…,xn,f(x1,x2…,xn)=0,以及y=f(x,x2…,x); (i)隐函数y=f(x,x2…,x,)在O(x,x2,…,x),p)上连续; (i)隐函数y=∫(x1,x2…x)在O(x,x2,…,x),p)上具有连续的偏 导数,且 (x1,x2,…,xn,y) 2n 2
那么 （ⅰ）在点 ),,,,( 0 00 2 01 yxxx " n 附近可以从函数方程 0),,,,( 21 " n yxxxF = 唯一确定隐函数 ),,,(),,,,( 21 n 21 n = " " xxxxxxfy )),,,,(( 0 0 2 0 ∈ 1 " xxxO n ρ ， 它满足 0)),,,(,,,,( 21 " n 21 " xxxfxxxF n = ，以及 ),,,( 0 0 2 01 0 n = " xxxfy ； （ⅱ）隐函数 ),,,( 21 n = " xxxfy 在 )),,,,(( 0 0 2 01 " xxxO n ρ 上连续； （ⅲ）隐函数 ),,,( 21 n = " xxxfy 在 )),,,,(( 0 0 2 01 " xxxO n ρ 上具有连续的偏 导数，且 ni yxxxF yxxxF x y y n x n i i ,,2,1, ),,,,( ),,,,( 21 21 " "" −= = ∂∂