北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第十章 双线性函数与辛空间（10.3）双线性函数

§3双线性函数 定义3V是数域P上一个线性空间,f(a,B)是上一个二元函数,即对V 中任意两个向量a,B,根据∫都唯一地对应于P中一个数f(a,B).如果f(a,B) 有下列性质 1)f(a,kB1+k2B2)=k1f(a,B1)+k2f(a,月2); 2)f(ka1+k2a2,B)=k,f(a1,B)+k2f(a2,B), 其中∝,a,a2,B,B,B2是V中任意向量,k,k2是P中任意数,则称f(a,B)为V上 的一个双线性函数 这个定义实际上是说对于V上双线性函数f(a,B),将其中一个变元固定时 是另一个变元的线性函数 例1欧氏空间V的内积是V上双线性函数 例2设f(ax),f2(a)都是线性空间上的线性函数,则 f(a, B)=f(a)2(B), a,BEl 是上的一个双线性函数 例3设P是数域P上n维列向量构成的线性空间.X,Y∈P"再设A是P上 级方阵令 f(X,Y=XAr 则f(X,Y)是P”上的一个双线性函数 如果设X'=(x1,x2,…,xn),Y=(y,y2,…,yn),并设 A f(X,r)

§3 双线性函数 定义 3 V 是数域 P 上一个线性空间， f (,  ) 是 V 上一个二元函数，即对 V 中任意两个向量 ,  ，根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f (,  ) .如果 f (,  ) 有下列性质： 1） ( , ) ( , ) ( , )  11 2 2 1  1 2   2 f k + k = k f + k f ; 2） ( , ) ( , ) ( , ) f k11 + k22  = k1 f 1  + k2 f 2  , 其中 1 2 1 2 , , ,, , 是 V 中任意向量， 1 2 k ,k 是 P 中任意数，则称 f (,  ) 为 V 上 的一个双线性函数. 这个定义实际上是说对于 V 上双线性函数 f (,  ) ，将其中一个变元固定时 是另一个变元的线性函数. 例 1 欧氏空间 V 的内积是 V 上双线性函数. 例 2 设 ( ), ( ) f 1  f 2  都是线性空间 V 上的线性函数，则 f (,) = f 1 () f 2 (), ,  V 是 V 上的一个双线性函数. 例 3 设 n P 是数域 P 上 n 维列向量构成的线性空间. n X,Y  P 再设 A 是 P 上 n 级方阵.令 f (X,Y) = X AY , (1) 则 f (X,Y) 是 n P 上的一个双线性函数. 如果设 ( , , , ), ( , , , ) 1 2 n 1 2 n X  = x x  x Y = y y  y ，并设               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 则 = = = n i n j ij i j f X Y a x y 1 1 ( , ) . (2)

(1)或(2)实际上是数域P上任意n维线性空间V上的双线性函数f(a,B)的 一般形式可以如下地说明这一事实取V的一组基E1,E2,…,En设 (E1,E2…,En VI y2 Dr f(a,B)=八①∑x,∑yE)=∑∑f(E,E,)xy f(E;,E;),l,j=1,2 2 则(3)就成为(1)或(2) 定义4设f(a,B)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数 E1,E2…,En是V的一组基,则矩阵 f(s1E1)∫(E1,E2)…f(E1En) A= f(E2,E1)∫(E2,E2)…f(E2,En) f(en, E,) f(En, E2)..f(En, En) 叫做f(a,B)在E1,E2,…,En下的度量矩阵 上面的讨论说明,取定V的一组基s1,E2…,En后,每个双线性函数都对应于 一个n级矩阵,就是这个双线性函数在基s1,E2,…,En下的度量矩阵度量矩阵被双

（1）或（2）实际上是数域 P 上任意 n 维线性空间 V 上的双线性函数 f (,  ) 的 一般形式.可以如下地说明这一事实.取 V 的一组基 n  , , , 1 2  .设 X x x x n n n ( , , , ) ( , , , ) 1 2 2 1 1 2           =               = , Y y y y n n n ( , , , ) ( , , , ) 1 2 2 1 1 2           =               = , 则    = = = = = = n i n j i j i j n i n j i i j j f f x y f x y 1 1 1 1 (, ) (  ,  ) ( , ) . (3) 令 aij = f ( i , j ), i , j = 1,2,  ,n ,               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 则（3）就成为（1）或（2）. 定义 4 设 f (,  ) 是数域 P 上 n 维线性空间 V 上的一个双线 性函数. n  , , , 1 2  是 V 的一组基，则矩阵               = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n f f f f f f f f f A                         (4) 叫做 f (,  ) 在 n  , , , 1 2  下的度量矩阵. 上面的讨论说明，取定 V 的一组基 n  , , , 1 2  后，每个双线性函数都对应于 一个 n 级矩阵，就是这个双线性函数在基 n  , , , 1 2  下的度量矩阵.度量矩阵被双

线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的 反之,任给数域P上一个n级矩阵 2 a a nI a n2 对V中任意向量a=(61E2…,En)X及B=(E1,E2,…,En),其中 X=(x1,x2,…xn),Y'=(y1,y2…yn)用 (a,B)=XAY 定义的函数是上一个双线性函数容易计算出f(a,B)在s1E2…,En下的度量 矩阵就是A 因此,在给定的基下,V上全体双线性函数与P上全体n级矩阵之间的一个 双射 在不同的基下,同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的,它们之间的什 么关系呢?设E1,E2…,En及n1,n2…是线性空间V的两组基 n1,n2…,n)=(E1,E2 a,B是V中两个向量 a=(E1,E2,…,En)X=(71,2,…7n)X1, B=(E1,E2,…,En)Y=(m1,n2,…,n)1 那么 X=CXY=CY 如果双线性函数f(a,B)在E1,E2…En及n1,n2…7n下的度量矩阵分别为A,B, 则有 f(a,B)=XAY=(CXDA(CY=XI(CAC)YI

线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的. 反之，任给数域 P 上一个 n 级矩阵               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 对 V 中 任 意 向 量  = ( 1 , 2 ,  , n )X 及  = ( 1 , 2 ,  , n )Y ，其中 ( , , , ) 1 2 n X  = x x  x ， ( , , , ) 1 2 n Y = y y  y 用 = = =  = n i n j ij i j f X AY a x y 1 1 (, ) 定义的函数是 V 上一个双线性函数.容易计算出 f (,  ) 在 n  , , , 1 2  下的度量 矩阵就是 A . 因此，在给定的基下， V 上全体双线性函数与 P 上全体 n 级矩阵之间的一个 双射. 在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什 么关系呢？设 n  , , , 1 2  及   n , , , 1 2  是线性空间 V 的两组基： (1 ,2 ,  ,n ) = ( 1 , 2 ,  , n )C ,  是 V 中两个向量 1 2 1 2 1  = ( , ,  , n )X = ( , ,  ,n )X , 1 2 1 2 1  = ( , ,  , n )Y = ( , ,  ,n )Y 那么 1 1 X = CX , Y = CY 如果双线性函数 f (,  ) 在 n  , , , 1 2  及   n , , , 1 2  下的度量矩阵分别为 A, B ， 则有 1 1 1 1 f ( , ) X AY (CX ) A(CY ) X (CAC)Y    =  =  = . 又

f(a,B)=X BY 因此 B=CAC 这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的 定义5设f(a,B)是线性空间V上一个双线性函数,如果 f(a,B)=0 对任意B∈V,可推出a=0,f就叫做非退化的 可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的设双线性函数 f(a,B)在基E1E2…En下的度量矩阵为A,则对 a=(61,62…En)X,B=(61,E2…,En)y,有 f(a,B=XAr 如果向量α满足 f(a,B)=0,VB∈, 那么对任意Y都有 XAY=0 因此 X=0 而有非零向量X’使上式成立的充要条件为A是退化的,因此易证双线性函数 f(a,B)是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵 对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简但对一般矩阵用合同变换化简是 比较复杂的对于对称矩阵已有较完整的理论. 定义6f(a,B)是线性空间V上的一个双线性函数,如果对V上任意两个向 量a,B都有 f(a,B)=f(B, a) 则称f(a,B)为对称双线性函数如果对V中任意两个向量a,B都有

1 1 f ( , ) X BY    = . 因此 B = CAC 这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的. 定义 5 设 f (,  ) 是线性空间 V 上一个双线性函数，如果 f (,  ) = 0 对任意  V ，可推出  = 0， f 就叫做非退化的. 可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数 f (,  ) 在 基 n  , , , 1 2  下的度量矩阵为 A ，则对  = ( 1 , 2 ,  , n )X ,  = ( 1 , 2 ,  , n )Y ，有 f (,  ) = X AY 如果向量  满足 f (,  ) = 0 ,  V , 那么对任意 Y 都有 XAY = 0 因此 XA = 0 而有非零向量 X  使上式成立的充要条件为 A 是退化的，因此易证双线性函数 f (,  ) 是非退化的充要条件为其度量矩阵 A 为非退化矩阵. 对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是 比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论. 定义 6 f (,  ) 是线性空间 V 上的一个双线性函数，如果对 V 上任意两个向 量 ,  都有 f (,  ) = f ( ,), 则称 f (,  ) 为对称双线性函数.如果对 V 中任意两个向量 ,  都有

f(a,B)=-f(,a) 则称f(a,B)为反对称双线性函数 设f(a,B)是线性空间T上的一个对称双线性函数,对V的任一组基 ,由于 f(E1,E1)=f(E,E) 故其度量矩阵是对称的,另一方面,如果双线性函数f(a,B)在E1,E2,…En下的 度量矩阵是对称的,那么对V中任意两个向量a=(1,E2…,En)X及 B=(E1,E2…,EnY都有 f(a,B)=XAr=rAX=rAX=f(B, a) 因此f(a,B)是对称的,这就是说,双线性函数是对称的,当且仅当它在任一组 基下的度量矩阵是对称的 同样的,双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是 反对称矩阵 我们知道,欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数,而且它在任一基下的度 量矩阵是正交矩阵 定理5设V是数域P上n维线性空间,f(a,B)是V上对称双线性函数,则 存在V的一组基E1,E2,…,En,使f(a,B)在这组基下的度量矩阵为对角矩阵 如果∫(α,B)在E1E2…n下的度量矩阵为对角矩阵,那么对 ∑x:F,B=∑ f(a,B)有表示式 f(a,B)=d xy,+d2x2y2+.+d, x,y 这个表示式也是f(a,B)在E1,E2,…,En下的度量矩阵为对角形的充分条件 推论1设W是复数上n维线性空间,f(a,B)是V上对称双线性函数,则存

f (,  ) = − f (,) 则称 f (,  ) 为反对称双线性函数. 设 f (,  ) 是线性空间 V 上的一个对称双线性函数，对 V 的任一组基 n  , , , 1 2  ，由于 ( , ) ( , ) i j j i f   = f   故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数 f (,  ) 在 n  , , , 1 2  下的 度量矩阵是对称的，那么对 V 中任意两个向量  = ( 1 , 2 ,  , n )X 及  = ( 1 , 2 ,  , n )Y 都有 f (,  ) = X AY = YAX = YAX = f (,) . 因此 f (,  ) 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组 基下的度量矩阵是对称的. 同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是 反对称矩阵. 我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度 量矩阵是正交矩阵. 定理 5 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间， f (,  ) 是 V 上对称双线性函数，则 存在 V 的一组基 n  , , , 1 2  ，使 f (,  ) 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵. 如 果 f (,  ) 在 n  , , , 1 2  下的度量矩阵为对角矩阵，那么对   = = = = n i i i n i i i x y 1 1   ,   , f (,  ) 有表示式 n n n f = d x y + d x y ++ d x y 1 1 1 2 2 2 (, ) . 这个表示式也是 f (,  ) 在 n  , , , 1 2  下的度量矩阵为对角形的充分条件. 推论 1 设 V 是复数上 n 维线性空间， f (,  ) 是 V 上对称双线性函数，则存

在V的一组基61,62,…En,对V中任意向量a=∑x,B=∑y,有 f(a,B)=x1y+x2y2+…+x,y(0≤r≤m) 推论2设是实数n上维线性空间,f(a,B)是V上对称双线性函数,则存 在V的一组基E1,62,…,En对V中任意向量a=∑xE,B=∑yE1,有 f(a,B)=x1y+…+xpy-xpm1y+1-…-x,y(0≤p≤r≤n) 对称双线性函数与二次齐次函数是1-1对应的 定义7设V是数域P上线性空间,f(a,B)是V上双线性函数当a=B时, V上函数f(a,a)称为与f(a,B)对应的二次齐次函数 给定上一组基61,…En,设f(a,B)的度量矩阵为A=(2)对中任 意向量a=∑x,6,有 f(a,a)=∑∑ax (5) 式中x,x,的系数为an+an因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为 (n)及B=() 只要 b+b, i,j=1, 2, 那么它们对应的二次齐次函数就相同,因此有很多双线性函数对应于同一个二次 齐次函数,但是如果要求A为对称矩阵,即要求双线性函数为对称的,那么一个 次齐次函数只对应一个对称双线性函数从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达 式就是以前学过的二次型它与对称矩阵是1-1对应的,而这个对称矩阵就是唯 的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数 定理6设f(a,B)是n维线性空间V上的反对称双线性函数,则存在V的 组基E1,E1…E,E,71…,使

在 V 的一组基 n  , , , 1 2  ，对 V 中任意向量   = = = = n i i i n i i i x y 1 1   ,   ，有 ( , ) (0 ) f   = x1 y1 + x2 y2 ++ xr yr  r  n . 推论 2 设 V 是实数 n 上维线性空间， f (,  ) 是 V 上对称双线性函数，则存 在 V 的一组基 n  , , , 1 2  ，对 V 中任意向量   = = = = n i i i n i i i x y 1 1   ,   ，有 ( , ) (0 ) f   = x1 y1 ++ x p y p − x p+1 y p+1 −− xr yr  p  r  n . 对称双线性函数与二次齐次函数是 1—1 对应的. 定义 7 设 V 是数域 P 上线性空间， f (,  ) 是 V 上双线性函数.当  =  时， V 上函数 f (,) 称为与 f (,  ) 对应的二次齐次函数. 给定 V 上一组基 n  , , , 1 2  ，设 f (,  ) 的度量矩阵为 ( ) n n A aij  = .对 V 中任 意向量 = = n i i i x 1   有 = = = n i n j ij i j f a x x 1 1 (,) . (5) 式中 i j x x 的系数为 aij + a ji .因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为 ( ) n n A aij  = 及 ( ) n n B bij  = 只要 aij + a ji = bij + bji , i, j = 1,2,  ,n , 那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次 齐次函数，但是如果要求 A 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个 二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达 式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是 1—1 对应的，而这个对称矩阵就是唯 一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数. 定理 6 设 f (,  ) 是 n 维线性空间 V 上的反对称双线性函数，则存在 V 的一 组基 r r  s  , , , , , , , 1 −1  − 1  使

f(E1,E)=1, f(E;,E)=0, +j≠0 f(a,n)=0,a∈V,k=1,…,s 从定理5可知,V上的对称双线性函数f(a,B)如果是非退化的则有V的 组基s1,2,…,En满足 f(aa) 0.i=1.2 2 (s,E,)=0,j≠ 前面的不等式是非退化条件保证的,这样的基叫做V的对于f(a,B)的正交基 而从定理6可知,V上的反对称双线性函数f(a,B)如果是非退化的,则有V 的一组基E1,E1…,E,E使 f(sE)=1,i=1,2,…F f(E1,E)=0, l+J≠ 0. 由于非退化的条件,定理6中的n,…,n,不可能出现因此具有非退化反对称双线 性函数的线性空间一定是偶数维的 对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间V,也可以将这些双线 性函数看成V上的一个“内积”,仿照欧氏空间来讨论它的度量性质,一般的长 度,角度很难的进去,但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性 函数的线性变换等 定义8设V是数域P上的线性空间,在V上定义一个非退化线性函数,则V 称为一个双线性度量空间当∫是非退化对称双线性函数时,V称为P上的正交 空间;当V是n维实线性空间,f是非退化对称双线性函数时,V称为准欧氏空 间;当∫是非退化反对称双线性函数时,称为辛空间有着非退化双线性函数f 的双线性度量空间常记为(,)

     =  = = +  − = = ( , ) 0 , , 1, , . ( , ) 0, 0 ; ( , ) 1 , 1, , ; f V k s f i j f i r k i j i i          (6) 从定理 5 可知， V 上的对称双线性函数 f (,  ) 如果是非退化的则有 V 的一 组基 n  , , , 1 2  满足    =   = ( , ) 0, . ( , ) 0 , 1,2, , ; f j i f i n i j i i      前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做 V 的对于 f (,  ) 的正交基. 而从定理 6 可知， V 上的反对称双线性函数 f (,  ) 如果是非退化的，则有 V 的一组基 − r −r  , , , , 1 1  使    = +  − = = ( , ) 0, 0. ( , ) 1 , 1,2, , ; f i j f i r i j i i      由于非退化的条件，定理 6 中的  s , , 1  不可能出现.因此具有非退化反对称双线 性函数的线性空间一定是偶数维的. 对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间 V ，也可以将这些双线 性函数看成 V 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长 度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性 函数的线性变换等. 定义 8 设 V 是数域 P 上的线性空间，在 V 上定义一个非退化线性函数，则 V 称为一个双线性度量空间.当 f 是非退化对称双线性函数时， V 称为 P 上的正交 空间；当 V 是 n 维实线性空间， f 是非退化对称双线性函数时， V 称为准欧氏空 间；当 f 是非退化反对称双线性函数时，称 V 为辛空间.有着非退化双线性函数 f 的双线性度量空间常记为 (V, f )